全國(guó)統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第1講三角函數(shù)的基本概念同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1備考試題文含解析

第四章三角函數(shù)、解三角形第一講三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.已知下列命題:①其次象限角大于第一象限角;②不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角,它們與扇形的半徑的大小無關(guān);③若sinα=sinβ,則α與β的終邊相同;④若cosθ<0,則θ是其次或第三象限的角.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.sin2·cos3·tan4的值()A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在3.已知點(diǎn)P(cos300°,sin300°)是角α終邊上一點(diǎn),則sinα-cosα=()A.32+C.32-4.[2024全國(guó)卷Ⅰ,7,5分][文]tan255°=()A.-2-3 B.-2+3C.2-3 D.2+35.[2024全國(guó)卷Ⅱ,2,5分]若α為第四象限角,則()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0 D.sin2α<06.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π),則1-tanα1+tanA.-7 B.7 C.3 D.-37.[2024北京,8,5分][文]如圖4-1-1,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動(dòng)點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ圖4-1-18.[2024全國(guó)卷Ⅰ,11,5分][文]已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,則|a-b|=()A.15 B.5C.25拓展變式1.在一塊頂角為120°、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形厚鋼板廢料OAB中用電焊切割成扇形,現(xiàn)有如圖4-1-3所示兩種方案,既要充分利用廢料,又要切割時(shí)間更短,則方案更優(yōu).

圖4-1-32.(1)[2024洛陽(yáng)市聯(lián)考]已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與直線y=3x重合,且sinα<0,P(m,n)是角α終邊上一點(diǎn),且|OP|=10(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則m-n等于()A.2 B.-2 C.4 D.-4(2)[2024北京,9,5分][文]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sinα=13,則sinβ=3.(1)[2024全國(guó)卷Ⅰ,9,5分]已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα=()A.53 B.23 C.13(2)[2024全國(guó)卷Ⅲ,4,5分][文]已知sinα-cosα=43,則sin2α=()A.-79 B.-29 C.24.(1)[2024全國(guó)卷Ⅲ,6,5分][文]函數(shù)f(x)=15sin(x+π3)+cos(x-π6)的最大值為A.65 B.1 C.35(2)設(shè)f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos5.已知tanα=2,則cos(52π+2α)=()A.35 B.45 C.-3答案第四章三角函數(shù)、解三角形第一講三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.A舉反例:第一象限角370°不小于其次象限角100°,故①錯(cuò);易知②正確;由于sinπ6=sin5π6,但π6與5π6的終邊不相同,故③錯(cuò);當(dāng)θ=π時(shí),cosθ=-1,此時(shí)θ既不是其次2.A因?yàn)棣?<2<3<π<4<3π2,所以2rad和3rad的角是其次3.D由點(diǎn)P(cos300°,sin300°)是角α終邊上一點(diǎn),可得sinα-cosα=sin300°-cos300°=-34.D由正切函數(shù)的周期性可知,tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=33+11-5.D∵α為第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故選D.6.A解法一sinα+cosα=12,兩邊同時(shí)平方得1+2sinαcosα=14,所以sinαcosα=-38<0,又α∈(0,π),所以sinα>0,則cosα<0,所以sinα-cosα>0.因?yàn)?sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=74,所以sinα-cosα=72.解法二因?yàn)閟inα+cosα=12,所以2sin(α+π4)=12,sin(α+π4)=24<22,又α∈(0,π),故α+π4∈(3π4,π),則cos(α+π4)=-1-sin27.B如圖D4-1-1,設(shè)點(diǎn)O為圓心,連接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一點(diǎn)C,則陰影區(qū)域面積為△ABP和弓形ACB的面積和.因?yàn)锳,B是圓周上的定點(diǎn),所以弓形ACB的面積為定值,故當(dāng)△ABP的面積最大時(shí),陰影區(qū)域面積最大.又AB的長(zhǎng)為定值,故當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧APB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P到弦AB的距離最大,此時(shí)△ABP面積最大,陰影區(qū)域面積也最大.下面計(jì)算當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧APB的中點(diǎn)時(shí)陰影區(qū)域的面積.因?yàn)椤螦PB為銳角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180°-β,則陰影區(qū)域的面積S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×12×2×2sin(180°-β)+12×22×2β=4β+4sin圖D4-1-18.B由題意知a1=b2,即b=2a.因?yàn)閏os2α=2cos2α-1=23,所以cos2α=56,即(1a2+1)2=56,所以a2=151.一由已知可知A=B=π6,AM=BN=1,AD=2,則方案一中扇形的弧長(zhǎng)為2×π6=π3,方案二中扇形的弧長(zhǎng)為1×2π3=2π3;方案一中扇形的面積為12×22×π62.(1)A因?yàn)镻(m,n)在直線y=3x上,所以n=3m①,又sinα<0,所以m<0,n<0.由|OP|=10,得m2+n2=10②.聯(lián)立①②,并結(jié)合m<0,n<0,可得m=-1,n=-3,所以m-n=2.(2)13解法一設(shè)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(x,y),則sinα=13=yx2+y2,因?yàn)榻铅?角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,所以角β的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-x,y解法二由已知可得,sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sinα=13(k∈Z)3.(1)A∵3cos2α-8cosα=5,∴3(2cos2α-1)-8cosα=5,∴3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=2(舍去)或cosα=-23.∵α∈(0,π),∴sinα=1-(2)A將sinα-cosα=43的兩邊同時(shí)平方,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=169,即sin2α=-4.(1)A因?yàn)?/p>