初高中數(shù)學(xué)銜接教材7講配答案(濃縮版) (二)

親愛的新高一的同學(xué)們:

祝賀你們步入高中時代，下面有一個擺在我們面前的棘手問題急常我們師生共同努力才

能解決，即“初高中銜接問題”。由于課程改革，目前湖北省初中是新課標(biāo)，而高中也是新

課程的學(xué)習(xí)，初高中不銜接問題現(xiàn)在顯得比較突出。面對教學(xué)中將存在的問題，我們高一數(shù)

學(xué)組的老師們假期里加班加點(diǎn)，趕制了一份校本銜接教材，意在培養(yǎng)大家自學(xué)能力，同時降

低同學(xué)們初高中銜接中的不適應(yīng)度，從而為新學(xué)期做好準(zhǔn)備。

第■-^分

初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識點(diǎn)

1絕對值：

⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。

a(a>0)

⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù),0的絕對值是0,即\a\=[0(。=0)

-a(a<0)

⑶兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

⑷兩個絕對值不等式：|x\<a(a>0)<=>-a<x<?；|x|>a(a>0)=x<或x>。

2乘法公式：

⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-h)(a2+ab+h2)

⑶立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

⑷完全平方公式：3±療=〃2±2而+/,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

⑸完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±by

3分解因式：

⑴把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項(xiàng)式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。

⑶關(guān)于方程ox=力解的討論

①當(dāng)。工0時，方程有唯一解x=￡；

②當(dāng)。=0,人工0時，方程無解

③當(dāng)。=0,8=0時，方程有無數(shù)解；此時任一實(shí)數(shù)都是方程的解。

5二元一次方程組：

（1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

（2）適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

（3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

（4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。

6不等式與不等式組

（1）不等式：

①用符不等號（>、,、<）連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

（2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

（3）一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次

不等式。

（4）一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解

集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

7一元二次方程：ax2+bx+c=0（?0）

①方程有兩個實(shí)數(shù)根OA=Z?2-4tzc>0

A>0

②方程有兩根同號O?C

菁七=—>0

A>0

③方程有兩根異號O"c

XyX=—<0

2一a

bc

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：X+^2=—-,X]X--

]a2a

x：+x2=（X+x2產(chǎn)-,歸一/1=J（X]+々:一4斗馬二='b|”

2

M+X：=（X,+工2）（片-XyX2+.玲=（玉+工2）[（玉+工2）—3%/]

8函數(shù)

（1）變量：因變■,自變?。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的

數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

（2）-次函數(shù)：①若兩個變量y,工間的關(guān)系式可以表示成丁二米+例〃為常數(shù)次不等于

0）的形式，則稱y是五的一次函數(shù)。②當(dāng)6=0時，稱），是x的正比例函數(shù)。

（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個函數(shù)的自變量無與對應(yīng)的因變量.v的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐

標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)y=Z工的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)左<0,b<0,則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)Z<0,力>0時，則經(jīng)1、2、

4象限；當(dāng)左>0,力<0時，則經(jīng)I、3、4象限；當(dāng)％>0,8>0時，則經(jīng)I、2、3

象限。

④當(dāng)2>0時，y的值隨工值的增大而增大，當(dāng)女<0時，y的值隧工值的增大而減少。

（4）二次函數(shù)：

①一般式:y=ax2+Z?x+c=a(x+—)2—,對稱軸是1=—―,

2a4。2a

--=/b4ac-b2

頂點(diǎn)是(一一,--------)x;

2a4a

②頂點(diǎn)式：y=a（x+小產(chǎn)+2（4/0）,對稱軸是％=-m,頂點(diǎn)是（一加，女）;

③交點(diǎn)式：y=。*一％）（%-王）（。。0）,其中（％,0）,（9，°）是拋物線與x軸的

交點(diǎn)

（5）二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)丁=公2+灰+或。工0）的圖象關(guān)于直線工=一2對稱。

2a

②。＞0時，在對稱軸（x=—）左側(cè)，y值隨x值的增大而減少;在對稱軸（x=一~—）

2a2a

右側(cè)；y的值隨x值的增大而增大。當(dāng)x二-乙b時，y取得最小值-^-ci-c---b-~-

2a4。

③。＜0時，在對稱軸（1二一2）左側(cè)，y值隨工值的增大而增大;在對稱軸（x=—2）

2a2a

右側(cè)；y的值隨x值的增大而減少。當(dāng)x=-上~時，y取得最大值--------

2a4a

9圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那

么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱

的兩點(diǎn)確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互

相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做他的對稱中心。②中心對稱圖

形上的每一對對應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。

10平面直角坐標(biāo)系

（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做x

軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)0

稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)：設(shè)Mt/,%)是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，

①若M和AT關(guān)于y軸對稱，則有1%=一/。

IY=%

②若M和M'關(guān)于x軸對稱，則有|*二/。

[X=一必

③若〃和關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有1%=一天。

[y=-%

④若"和關(guān)于直線對稱，則有|西二%。

1必=、2

⑤若M和“關(guān)于直線對稱，則有卜二2"々或卜=2。-%.

〔乂=必〔乂=必

11.幾何中高中應(yīng)復(fù)習(xí)強(qiáng)化：平行線等分線段定理，平行傳遞性，梯形中位線，圓中垂徑定

理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，兩圓連心線性質(zhì)，平行、垂直的定義,

判定，性質(zhì)，三角形的認(rèn)識、三角形的全等、相似，三角形的的心，梯形、平行四邊形、矩

形、菱形、正方形、正六邊形的定義、性質(zhì)，直角三角形的射影定理等。

12統(tǒng)計與概率：

(D科學(xué)記數(shù)法：一個大于10的數(shù)可以表示成Ax10、的形式，其中A大于等于1小于10,

N是正整數(shù)。

(2)扇形統(tǒng)計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的

大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中,

每部分占總體的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。

(3)各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計

圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占

的百分比。

⑷平均數(shù)：對于N個數(shù)2,……，我們把……也)叫做這個N個數(shù)的

算術(shù)平均數(shù)，記為X。

(5)加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)時往往給每個數(shù)據(jù)加一個權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

(6)中位數(shù)與眾數(shù)：①N個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間

兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據(jù)

叫做這個組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)

所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，

受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據(jù)如果重災(zāi)次數(shù)大

致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。

(7)調(diào)查：①為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對

象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體

進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣

本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間，

人力，物力和財力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的

調(diào)查結(jié)果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。

(8)頻數(shù)與頻率：①每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值

為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分

布直方圖。

(9)數(shù)據(jù)的波動：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個數(shù)據(jù)與

平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來說，一組數(shù)

據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。

(10)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些

事情我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件

都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。

③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

(11)概率：①人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可

能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)

生的概率為1,記作P(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的概率為0,記作尸(不

可能事件)=0；如果A為不確定事件，那么0<尸(4)<1

第二部分

分類例題精講及實(shí)戰(zhàn)演練

一、數(shù)與式的運(yùn)算

一)、必會的乘法公式

【公式1](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+lea

證明：:(a+6+c)2=[(〃+b)+=(〃+b)2+2(a+b)c+c

=a2+lab+b2+Zac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

等式成立

【例1】計算：(X2-V2X+1)2

解：原式=[廠+(―H—r

3

=(x~-+(—■x/2x)**+(―)2+2x2(―V2)x+2尸x§+2x§x(―V2x)

4o/o3,322V21

=x-272xd—X--------XH—

339

說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降基或升鼎排列.

【公式2】(。+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

證明：(。+力)(/—而+〃)=a，-a2b+ab2+a2b-ab2+by=a3+Z?3

說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2.

【例2】計算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3

【公式3】(a-h)(a2+ah+h2)=a3-b3(立方差公式)

1.計算

(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=

(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=

1

小("1211、

(3)—m——\(—rn+—m+—)=

123j469

(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=

2.利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解

(1)27m3-n3=

(2)27m3,1?二

8

(3)X3-125=

(4)m6-n6=

【公式4](a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2

【公式5】(a-b)3=a3-3crb+3ab2-b3

【例3】計算：

111,11

(1)(4+zn)(16-4/n+m7)(2)(—m—〃)(一m4—mn+—n7)

(3)(〃+2)(〃一2)(〃4+4〃2+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2

解：(1)原式=4、+蘇=64+加

(2)原式=((m)3-g〃)3=機(jī)3一]〃3

222336

⑶原式二面-4)(/+4a+4)=(a)-4=?-64

22

(4)原式=(x+y)2*2一孫+y2)2=[(x+yX“2-xy+j)]

=(x3+)3)2=x6+2x3y34-y6

說明：(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式

的結(jié)構(gòu).

(2)為了更好地使用乘法公式，記住I、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、

4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的.

【例4】已知f一31+1=0,求1?+二的值.

x

解：*/x2-3x+l=0「.xwO/.x+—=3

x

原式=(X+，)(X2_]+1)=(++3[(X+1)2_3]=3(32_3)=]8

XXXX

說明：本題若先從方程丁-3工+1=0中解出x的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩

瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算.請注意整體

代換法.本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉.

【例5】已知a+Z?+c'=O,求〃(—H—)+b(—H—)+c(—H—)的值.

bccaab

解：a+b+c=O,:.a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b

b+c.a+ca+b

原式二a------卜b?----+c------

beacab

a(-a)+b(-b)+c(-c)_er"+b3+c3

①

beacababc

va3+b，=(a+b)[(a+b)2-3ab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc

:.a3+b3+c3=3abe②，把②代入①得原式=-即"=-3

abc

說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.

二)、根式

式子NO)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

(1)(4a)2=a(a>0)(2)必=|a|

(3)yfab=4a?\[b(a>0,b>0)(4)(a>0,/?>0)

【例6】化簡下列各式：

(1)J(百—2)2+府-1)2(2)?1-燈+?2-X)2(X>1)

解：(1)原式二|百-2|+|G-1|=2-退+G-1=1

(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)

*(2)原式=|%-1|+|」-2|=

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

說明：請注意性質(zhì)J/=|。|的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字

母的取值分類討論.

【例7】計算（沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）：（I）

⑵表（3）醫(yī)

解:⑴宗

3(2-73)二牛痘,36

（2）原式=

(2+拘(2-揚(yáng)22-3

⑶原式序=土鏟

Vabab

（4）原式=2離

-Jxx2+」2x2、=>/2x卜2\/2x=3y/2x

說明：

（1）二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：

①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

（2）二次根式的化簡常見類型有下列兩種：

①被開方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或

因式開出來；

②分母中有根式（如」或被開方數(shù)有分母（如、E）.這時可將其化為平形式（如《可

2+75V24b

,轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采

化為正)

33(2-拘

取分子、分母同乘以一個根式進(jìn)行化簡.化為其中2+6與

(2+我(2-揚(yáng)

2-6叫做互為有理化因式).

有理化因式和分母有理化

有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩

個代數(shù)式叫做有理化因式。如&與后；%+久方與一義方互為有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例8】計算:

(1)(G+?+1)(1—布+6)—(而+協(xié))2(2)'l

a-yjaba+yjab

解：(1)JMi^=(1+y/by——(4?++b)=—2u—"I,Jab4-2,\fb4-1

8

(2)原式=------------+-------------=--------+--------

y/a(y[a-\[b)?(?+&)\/a->/b4a+4b

_{4ci+\/b)+(Ja-4b)_2\[a

(x/a+\[b){4a->fb)a-b

說明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式

二次根式的運(yùn)算.

【例9】設(shè)X=21噂,y=2S噂，求V+y3的值.

2-V32+V3

解：x=2+省=Q：")=1+4?y=7-46nx+y=14、jy=l

2-622-3

原式=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3孫]=14(14?-3)=2702

說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時，可根

據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量.

練習(xí)

I.二次根式病=一。成立的條件是()

A.a>0B.a<0C.a<0D.a是任意實(shí)數(shù)

2.若xv3,則內(nèi)二晟壽一次一6|的值是()

A.-3B.3C.-9D.9

3.計算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a+\-b)2-(a-b)(a+2b)

(3)(a4-b)(a2-ab+b2)-(a+b}3(4)(a-4Z7)(—a2+4/?24-ab)

4.化簡(下列〃的取值范圍均使板式有意義):

(I)J—8。3

小、V4ab

（3）—j=---產(chǎn)(4)

a\!b-byja右

5.化簡：

⑴段標(biāo)+10爬一2點(diǎn)后

⑵(x>y>0)

11-ri3x+xy-3y-,

6,若-----=2,貝ij-----:-----的值為()：

xyx-xy-y

5

D.

3

7.設(shè)”"看‘看看'求代數(shù)式X：：了的值.

8.已知。=—x+20,b——x+19,c=—x+21?求代數(shù)式。~+〃~+c?—a/?—Z?c—ac

202020

的值.

9.設(shè)工二正二!■,求d+f+2x-i的值.

2

10.化簡或計算:

⑵2欄.亞7(2_后+普-

五/4V36+2

x\fx+Xy[yx+y[xy+y

xy-y2Xy/x-yyfy

三）、分式

當(dāng)分式4的分子、分母中至少有一個是分式時，4■就叫做繁分式，繁分式的化簡常用

BB

以下兩種方法：（1）利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

【例10】化簡一7—

X

X+

\

X

XX_x(x+1)_x+1

解法一:原式二一7—v__2