相似三角形中考復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)+題型分類練習(xí))

....專業(yè).專注相似三角形知識(shí)概述1.平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等．②相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。③相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比④面積比等于相似比的平方溫馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k′=1．③相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出．5.相似三角形的判定定理①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交，所得的三角形與原三角形相似；②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；③兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。溫馨提示：（1）判定三角形相似的幾條思路：①條件中若有平行，可采用判定定理1；②條件中若有一對(duì)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對(duì)角相等或找夾邊對(duì)應(yīng)成比例；③條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等．④條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對(duì)應(yīng)成比例。（2）在綜合題中，注意相似知識(shí)的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。（3）運(yùn)用相似的知識(shí)解決一些實(shí)際問題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識(shí)的問題，要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6.位似①定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．因此，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．②性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．注意：（1）位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形．（2）兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直線上7.三角形的重心①三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．②三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功．通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖．“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖．其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀牵耙娨粚?duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖．若圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的．溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形．相似三角形專題分類練習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是（）A．200cmB．200dmC．200mD．200km2.若則下列各式中不正確的是（）A．B．C．D．3.若，則=_______；已知，則=________；已知，且，則。4.若且，則∶=_________。5.2和8的比例中項(xiàng)是_________；線段2㎝與8㎝的比例中項(xiàng)為_________。6.已知a：b：c＝2：3：4，且2a＋3b－2c＝10，求a，b，c的值。題型二：相似的性質(zhì)1.如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3∶4，則它們的周長(zhǎng)比為_________。2.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為3.如圖,DE∥BC，AD∶BD=2∶3，則ΔADE的面積∶四邊形DBCE的面積=_________。4.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面積與△CAB的面積之比為1：4.其中正確的有：_____個(gè)5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ADE與△BCE面積之比為4：9，那么△ADE與△ABE面積之比為________6.平行四邊形ABCD中，AB=28，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC，DE交AB于點(diǎn)M，MF交CD于點(diǎn)N，則CN=_________。ABCDABCDE第3題第4題第5題第6題7.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，AC，DE把平行四邊形ABCD分成的四部分的面積分別為S1，S2，S3，S4．下面結(jié)論：①只有一對(duì)相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正確的結(jié)論是（）A．①③B．③C．①D．①②8.如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是S1、S2，那么S1、S2的大小關(guān)系是（）A．S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.S1、S2的大小關(guān)系不確定9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，則△AEG的面積與四邊形BEGF的面積之比為（）A.1∶2B.1∶4C.4∶9D.2∶310.如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于點(diǎn)O，∶＝4∶9，則AE∶EC為（）A.2∶1B.2∶3C.4∶9D.5∶411.已知三個(gè)邊長(zhǎng)為2，3，5的正方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為_______．第7題第8題第9題第10題第11題12.如圖在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12cm，AH＝8cm，求矩形的各邊長(zhǎng)。13.已知如圖，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中點(diǎn)，DF⊥AE，F(xiàn)為垂足，求△DFA的面積和四邊形CDFE的面積。題型三：相似的有關(guān)證明1.已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中點(diǎn)，直線ED分別與對(duì)角線AC和BC的延長(zhǎng)線交于M、N點(diǎn)NDNDCAEBM2.如圖，D在AB上，且DE∥BC，交AC于E，F(xiàn)在AD上，且，求證：△AEF∽△ACD．3.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)．題型四：函數(shù)與相似1.如圖，正方形ABCD中，AB＝1，G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn)，（E點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合）設(shè)BE＝，過E作GA平行線交AB于F，設(shè)AFEC面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。2.如圖，ABCD是矩形，AH＝2，HD＝4，DE＝2，EC＝1，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)（F與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），過F作EH的平行線交AB于G，設(shè)BF為，四邊形HGFE面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。3.如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD，AD＝3cm，BC＝6cm，CD＝4cm，現(xiàn)要截出矩形EFCG，（E點(diǎn)在AB上，與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），設(shè)BE＝，矩形EFCG周長(zhǎng)為，（1）寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量取值范圍；（2）取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形ABCD面積的。ABOPCxy4.如圖，已知拋物線y＝x2－1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、ABOPCxy5.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問以A、B、F，為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由．題型五、圓與相似1.（2013?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長(zhǎng)為（）A.4B.5C.6D.72.如圖，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，⊙O的切線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長(zhǎng)。3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為直角邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點(diǎn)D，與BC交于另一點(diǎn)E．（1）求證：△AOC≌△AOD；（2）若BE=1，BD=3,求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積S．4.如圖⊙O是△ABC外接圓，AB是直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE⊥DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB。（1）求證:DE是⊙O的切線；(2)若AB=6,AE=4,求BC和BD的長(zhǎng)5.（2012遼寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F。（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的長(zhǎng)。

6.（2013?十堰）如圖1，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，OE⊥CB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．（1）求證：⊙O與CB相切于點(diǎn)E；（2）如圖2，若⊙O過點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積．題型六、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題1．D是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，過A、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與△ABC相似，畫出示意圖。DACDACBCABD 2．已知Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分成兩部分，問點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與△OAB相似？畫出所有符合要求的線段，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。第2題第3題第4題3．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（4，0），B（0，2），如果點(diǎn)C在x軸上（C與A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似。4．已知：如圖，P是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3，BF⊥BP，垂足為B，請(qǐng)?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M，使以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似。5.正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；DBAMCN（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與xDBAMCN（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值.6.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），EF⊥AB,EG⊥AC，垂足分別為F,G．（1）求證：；（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)AB=AC時(shí)，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．7.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，－3），直線＝－x與BC邊相交于D點(diǎn)．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝ax2－x經(jīng)過點(diǎn)A，試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．66yxOCDB-3＝－xA8．如圖，拋物線y＝－x2＋x－2與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求證：△AOC∽△COB；xyACBODPQ（2）過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個(gè)單位的速度由xyACBODPQ9．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．題型三：位似1.如圖所示，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E.已知OA＝10cm，OA′＝20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是________．2.如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).⑴以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2⑵連接⑴中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）3.如圖，點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn)，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角