第20講兩點(diǎn)間的距離公式（兩大題型歸納分層練）

第20講兩點(diǎn)間的距離公式【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01兩點(diǎn)之間的距離公式 2題型02坐標(biāo)法的應(yīng)用 4分層練習(xí) 8夯實(shí)基礎(chǔ) 8能力提升 14創(chuàng)新拓展 20兩點(diǎn)之間的距離公式1．點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)間的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).注意點(diǎn)：(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．(2)已知斜率為k的直線上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)·|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.題型01兩點(diǎn)之間的距離公式【解題策略】計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況|y2－y1|或|x2－x1|求解【典例分析】【例1】已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．【變式演練】【變式1】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知A，B兩點(diǎn)都在直線上，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為.【答案】【分析】設(shè)，則，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以，故答案為：【變式2】（2223高二上·全國·單元測試）已知點(diǎn)，，則．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：【變式3】（2324高二上·山西太原·期末）已知的三個頂點(diǎn)分別為，，.(1)求邊所在直線的方程；(2)判斷的形狀.【答案】(1)；(2)是等腰直角三角形.【分析】（1）求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）求出直線的斜率，結(jié)合（1）中信息及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷即得.【詳解】（1）依題意，直線的斜率，則直線的方程為：，化簡得：.（2）直線的斜率，顯然，即，是直角三角形，又，則是等腰三角形，所以是等腰直角三角形.題型02坐標(biāo)法的應(yīng)用【解題策略】(1)用解析法解題時，雖然平面圖形的幾何性質(zhì)不依賴于平面直角坐標(biāo)系的建立，但不同的平面直角坐標(biāo)系會使我們的計(jì)算有繁簡之分，因此在建立平面直角坐標(biāo)系時必須“避繁就簡”．(2)利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的常見步驟①建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量．②進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算．③把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論【典例分析】課本例4用坐標(biāo)法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．證明如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．以頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．在?ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,0)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a＋b，c)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2.所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍．【例2】（2223高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，正方形ABCD中，在BC上任取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與B、C重合），過點(diǎn)P作AP的垂線PQ交角C的外角平分線于點(diǎn)Q．用坐標(biāo)法證明：．【答案】證明見解析【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示出和，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，兩點(diǎn)間距離公式可證.【詳解】以B為原點(diǎn)，射線BC、BA分別為x、y軸的正半軸建立坐標(biāo)系．如圖所示，設(shè)正方形邊長為a，則，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．，①，②．聯(lián)立①②可得（或利用三角形全等求得點(diǎn)Q坐標(biāo)）．∵，，∴【變式演練】【變式1】求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．證明如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點(diǎn)．設(shè)A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|.又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．【變式2】已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.【變式3】已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過A點(diǎn)作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且使|AB|＝5，求直線l的方程．解當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直線l的方程為y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.當(dāng)過A點(diǎn)的直線的斜率不存在時，方程為x＝1.此時，與l1的交點(diǎn)為(1,4)，也滿足題意．綜上所述，直線l的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1.【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二上·山東德州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓的半徑是（

）A． B． C．4 D．3【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)距離公式求線段的長，即可得半徑.【詳解】由題意知，，以線段為直徑的圓的半徑是．故選：A2．（2324高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知三點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】，則，解得.故選：D.3．（2324高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可得.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式得.故選：C4．（2324高二上·山東德州·階段練習(xí)）若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離d的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直線過直線與得交點(diǎn)可得，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出d的最小值.【詳解】聯(lián)立，解得，把代入，得，，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為．故選：D．二、多選題5．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）已知點(diǎn)，且，則a的值為（

）A．1 B． C．5 D．【答案】AD【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【詳解】由兩點(diǎn)間距離公式得，所以，所以，即，或．故選：AD.6．（2223高一下·江蘇南通·期末）對于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對選項(xiàng)逐個分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，則，故A正確；B中，因?yàn)橹?，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對于C，設(shè)，則，因?yàn)?，同理，所以，故C正確;D中，因?yàn)锳BCD為正方形，設(shè)正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.三、填空題7．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)、、，且，則.【答案】【分析】利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】已知點(diǎn)、、，且，則，解得.故答案為：.8．（2223高一下·重慶沙坪壩·期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是.【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過的中點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，取最小值；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，取最大值，進(jìn)而求解即可.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，過的中點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，，此時；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，，所以的取值范圍是.故答案為：.

四、解答題9．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【答案】證明見詳解【分析】首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將幾何圖形上的點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【詳解】如圖，以的直角邊，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則．

設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，的中點(diǎn)為．因?yàn)槭切边叺闹悬c(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．由兩點(diǎn)間距離公式得，，所以，因此直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【能力提升】一、單選題1．（2223高二上·廣西防城港·期末）已知點(diǎn)，則為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】由距離公式求解.【詳解】.故選：A2．（2223高二上·江蘇連云港·期中）已知三點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程計(jì)算即可【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式，及可得：，解得.故選：A3．（2223高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知點(diǎn)A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】由，令，得，設(shè)；令，得，設(shè).所以.故選：A4．（2223高二·全國·課后作業(yè)）已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判斷直線是否平行，利用兩點(diǎn)間距離公式判斷線段是否相等.【詳解】由A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，則，，，，所以四邊形ABCD是梯形.故選：A.二、多選題5．（2122高二上·江蘇無錫·期中）已知直線：，：，，以下結(jié)論正確的是（

）A．不論為何值時，與都互相垂直B．當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果與交于點(diǎn)，則的最大值是【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，利用兩條直線垂直的充要條件即可求解；B選項(xiàng)，求出兩直線恒過的點(diǎn)的坐標(biāo)；C選項(xiàng)，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即可求解；D選項(xiàng)，先求出兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式，即可求解.【詳解】由于1×a+?a×1=0，所以與互相垂直，故不論為何值時，與都互相垂直；A正確；直線：，當(dāng)時，，所以恒過點(diǎn)，：，當(dāng)時，，所以恒過點(diǎn)，故B正確；設(shè)直線：上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將點(diǎn)代入直線，可得：，與在直線：上矛盾，故C錯誤；聯(lián)立方程組：x?ay+2=0ax+y?2=0，解得：x=2a?2a2+1MO=2a?2a2+1故選：ABD6．（2223高二上·安徽滁州·期中）已知在以為直角頂點(diǎn)的等腰三角形中，頂點(diǎn)、都在直線上，下列判斷中正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)是或B．三角形的面積等于C．斜邊的中點(diǎn)坐標(biāo)是D．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是【答案】ACD【分析】取的中點(diǎn)，由，且在上，求得點(diǎn)坐標(biāo)為，可判斷C；由及，求得的坐標(biāo)可判斷A；求得，可判斷B；求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)可判斷D．【詳解】取的中點(diǎn)，因?yàn)槿切螢榈妊切危?，即垂直于直線，則，且，解得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故C正確；所以①，而，且，②，聯(lián)立①②，解得，或，所以的坐標(biāo)是或，故A正確；，，所以，故B錯誤；設(shè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則的中點(diǎn)為，即，所以，，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是，故D正確．故選：ACD．.三、填空題7．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）若，則.【答案】【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.8．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是，則A與B坐標(biāo)分別為，．【答案】，【分析】設(shè)，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，進(jìn)而得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【詳解】設(shè)，，因?yàn)锳B中點(diǎn)，所以，即，，所以，，所以，故答案為：，；.9．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）直線和直線分別過定點(diǎn)和，則|．【答案】【分析】求出直線、所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，即點(diǎn)，將直線的方程變形為，由，可得，即點(diǎn)，所以，.故答案為：.四、解答題10．（2122高二·全國·課后作業(yè)）已知，證明是等邊三角形．【答案】答案見解析【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求解三邊長度，可得證.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以，所以是等邊三角形．【?chuàng)新拓展】一、單選題1．（2223高二上·天津河西·期中）已知點(diǎn)，，為軸上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)，列出方程即可求解.【詳解】設(shè)，則，，由，得，解得，故故選：B2．（2021高二上·山東青島·期中）圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)和的圓的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)根據(jù)數(shù)