2021年江蘇省南京市(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

江蘇省南京市2021中考數(shù)學試卷

注意事項

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上，首在本試卷

上無效.

2.請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓

名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑.如需改動，請用像皮擦干凈后，再選涂

其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一

律無效

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是

符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.截至2021年6月8日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)，直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗超過800000000

次，用科學記數(shù)法表示800000000是（）

A.8xlO8B.0.8xlO9C.8xl09D.O.8xlO10

2.計算結(jié)果是（）

2359

A.aB.ac.aD.a

3,下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

4.北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的莫斯科時間是8：00,小麗和小紅分別在北

京和莫斯科，她們相約在各自當?shù)貢r間9：00~17：00之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（）

A.10：00B.12:00C.15:00D.18：00

5.一般地，如果了"="（〃為正整數(shù)，且〃>1）,那么x叫做a的“次方根，下列結(jié)論中正確的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.當w為奇數(shù)時，2的〃次方根隨"的增大而減小D.當〃為奇數(shù)時，2的〃次方根隨w的增大而增大

6.如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙

板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

7.-(-2)=--------；-H=------------

8.若式子反在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

9.計算*—的結(jié)果是.

10.設(shè)%是關(guān)于x的方程3%+左=0的兩個根，且玉=2々，貝1味=.

11.如圖,在平面直角坐標系中，AOB的邊AO,A3的中點C,D的橫坐標分別是1,4,則點B的橫坐標是

12.如圖，AB是。的弦，C是AB的中點，0C交AB于點。.若AB=8cm,CD=2cm,則］。的半徑為

_______cm.

13.如圖，正比例函數(shù)>與函數(shù)y=g的圖像交于A,B兩點,3C〃x軸，AC//y軸，則

14.如圖，E4,GB,HC,7D,正是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則

ZBAF+ACBG+ADCH+AEDI+ZAEJ=°.

B.

G\\#

15.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC=BD.設(shè)NA3C=tz,則NAOC=（用含々的代數(shù)式表示）.

B

16.如圖，將，A3CD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到「AB'C'O'的位置，使點&落在6C上，B,C'與CD交于點E,若

AB=3,BC=4,BB'=1,則CE的長為.

三、解答題（本大題共U小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟）

17.解不等式l+2（x—1）＜3,并數(shù)軸上表示解集.

2x

18.解方程——+1=——.

x+1x-1

a2b\a-b

19.計算|73--------+-+一廠-

\b~+aba+bcr+ab)ab

20.如圖，AC與5D交于點O,0A=8,NABO=NOCO,E為8C延長線上一點，過點E作跖//CD,交

的延長線于點F.

(1)求證AAO修ADOC；

(2)若AB=2,5C=3,CE=1,求所長.

21.某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣，獲得了100個家庭去

年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分數(shù)據(jù)如下表：

序號1225265051757699100

月均用水量/t1.31.34.54.56.46.8111325.628

(1)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t,你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

(2)為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使75%的家庭水

費支出不受影響，你覺得這個標準應(yīng)該定為多少？

22.不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別.

(1)從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球.求兩次摸出球都是紅球的概率.

(2)從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回再隨機換出1個球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機摸出1

個球.兩次摸出的球都是白球的概率是.

23.如圖，為了測量河對岸兩點A,8之間距離，在河岸這邊取點C,。.測得CD=80m,ZACD=9Q°,

/BCD=45。,ZA￡>C=19°17,ZBDC=56°19r,設(shè)A,B,C,。在同一平面內(nèi)，求A,3兩點之間的距離.(參

考數(shù)據(jù)：tanl9°17'k0.35,tan56°19'aL50.)

B

24.甲、乙兩人沿同一直道從A地去B地，甲比乙早Imin出發(fā)，乙的速度是甲的2倍.在整個行程中，甲離A地

的距離％(單位：m)與時間x(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)在圖中畫出乙離A地的距離%(單位：m)與時間尤之間的函數(shù)圖；

(2)若甲比乙晚5min到達B地，求甲整個行程所用的時間.

25.如圖，已知P是。外一點.用兩種不同的方法過點尸作。的一條切線.要求：

(1)用直尺和圓規(guī)作圖；

(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

26.已知二次函數(shù)丁=以2+法+0的圖像經(jīng)過(—2,1),(2,—3)兩點.

(1)求b的值.

(2)當c>—l時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標的最小值是

(3)設(shè)(加,0)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點，當-1＜相＜3時，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍.

27.在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

(1)如圖①，圓錐的母線長為12cm,B為母線0C的中點，點A在底面圓周上，AC的長為4乃cm.在圖②所示

的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點8的最短路徑，并標出它的長(結(jié)果保留根號).

(2)圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.。是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上.設(shè)圓錐的

母線長為/,圓柱的高為/?.

①螞蟻從點A爬行到點。的最短路徑的長為(用含/,/?的代數(shù)式表示).

②設(shè)AD的長為a,點B在母線0C上，。8=匕.圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到

點8的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

D

江蘇省南京市2021中考數(shù)學試卷

注意事項

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上，首在本試卷

上無效.

2.請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓

名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用25鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑.如需改動，請用像皮擦干凈后，再選涂

其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一

律無效

4.作圖必須用25鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是

符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.截至2021年6月8日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)，直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗超過800000000

次，用科學記數(shù)法表示800000000是（）

A.8xlO8B.0.8xlO9C.8xl09D.O.8xlO10

【答案】A

【分析】先確定原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，再將原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1得到10的指數(shù)，最后按照科學記數(shù)法的書寫規(guī)則確

定即可.

【詳解】解：800000000=8X108；

故選：A.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，解決本題的關(guān)鍵是牢記科學記數(shù)法的表示方法，本題是基礎(chǔ)題，考查了學生對書

本概念的理解與掌握.

2.計算（4）3.。-3的結(jié)果是（）

2359

A.aB.ac.aD.a

【答案】B

【分析】直接利用鬲的乘方和同底數(shù)鬲的乘法法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=罐4-3=43；

故選：B.

【點睛】本題考查了鬲的乘方和同底數(shù)鬲的運算法則，其中涉及到了負整數(shù)指數(shù)鬲等知識，解決本題的關(guān)鍵是牢記

相應(yīng)法則，并能夠按照正確的運算順序進行計算即可，本題較為基礎(chǔ)，考查了學生的基本功.

3.下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

【答案】D

【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成.

【詳解】A,1+1+K5,即這三條線段的和小于5,根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

B、1+1+5<8,即這三條線段的和小于8,根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

C,1+2+2=5,即這三條線段的和等于5,根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

D、2+2+2>5,即這三條線段的和大于5,根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩

邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最

長的線段即可.

4.北京與莫斯科時差為5小時，例如，北京時間13：00,同一時刻的莫斯科時間是8：00,小麗和小紅分別在北

京和莫斯科，她們相約在各自當?shù)貢r間9：00^17：00之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（）

A.10：00B.12：00C.15:00D.18：00

【答案】C

【分析】根據(jù)北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00~17：00,逐項判斷出莫斯科時間，即可求解.

【詳解】解：由北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00-17：00,

所以A.當北京時間是10:00時，莫斯科時間是5:00,不合題意；

B.當北京時間是12:00時，莫斯科時間是7:00,不合題意；

C.當北京時間是15:00時，莫斯科時間是10:00,符合題意；

D,當北京時間是18:00時，不合題意.

故選：C

【點睛】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，根據(jù)北京時間推斷出莫斯科時間是解題關(guān)鍵.

5.一般地，如果x"=a（w為正整數(shù)，且〃>1）,那么x叫做a的〃次方根，下列結(jié)論中正確的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.當〃為奇數(shù)時，2的〃次方根隨”的增大而減小D.當"為奇數(shù)時，2的w次方根隨〃的增大而增大

【答案】C

【分析】根據(jù)題意“次方根，列舉出選項中的〃次方根，然后逐項分析即可得出答案.

【詳解】A.24=16（—2）4=16,??.16的4次方根是±2,故不符合題意;

B.25=32,（-2）5=-32,二32的5次方根是2,故不符合題意；

C.設(shè)x=0y=/,

則父5=25=32,=23=8,

%15>y15,且

;.x>y,

???當n為奇數(shù)時，2的〃次方根隨n的增大而減小，故符合題意；

D.由。的判斷可得：D錯誤,故不符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查了新概念問題，"次方根根據(jù)題意逐項分析，得出正確的結(jié)論，在分析的過程中注意x是否為負

數(shù),通過簡單舉例驗證選項是解題關(guān)鍵.

6.如圖，正方形紙板的一條對角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙

板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

A.B.

【答案】D

【分析】因為中心投影物體的高和影長成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項即可找到符合題意

的選項

【詳解】因為正方形的對角線互相垂直，且一條對角線垂直地面，光源與對角線組成的平面垂直于地面，則有影子

的對角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長影子會更長一些，

故選D

【點睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點，理解中心投影物體的高和影長成比例是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

7.-(-2)=-------；-|-2|=---------

【答案】①.2②.-2

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義和絕對值的意義即可得解.

【詳解】解：-(-2)=2；

+Z=-2.

故答案為2,-2.

【點睛】本題考查了相反數(shù)和絕對值.掌握相反數(shù)的意義和絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

8.若式子氐在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到5x^0,解不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得5x>0,

解得尤20.

故答案為：x20

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件“被開方數(shù)為非負數(shù)”是解題關(guān)鍵.

9.計算正—的結(jié)果是.

【答案】旦

2

【分析】分別化簡返和再利用法則計算即可.

【詳解】解：原式=2應(yīng)—3應(yīng)=正；

22

故答案為：交.

2

【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，涉及到二次根式的化簡等知識，解決本題的關(guān)鍵是牢記二次根式的性質(zhì)

和計算法則等.

10.設(shè)士是關(guān)于X的方程f―3%+左=0的兩個根，且%=2々，貝1味=.

【答案】2

【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系中兩根之和等于3,求出該方程的兩個根，再利用兩根之積得到左的值即可.

【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：西+々=3,占江2=k,

'：x；=2X2,

3X2—3,

x2=1,

西=2,

左=1x2=2;

故答案為：2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式，即對于一元二次方程

cue+Z?x+c=O（a^O）,其兩根之和為一2,兩根之積為9.

aa

11.如圖，在平面直角坐標系中，AQB的邊AO,A3的中點C,。的橫坐標分別是1,4,則點8的橫坐標是一

【答案】6

【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)，先求出點A的橫坐標，再根據(jù)A、。求出8點橫坐標.

【詳解】設(shè)點A的橫坐標為。，點B的橫坐標是6；

O點的橫坐標是0,。的橫坐標是1,C,。是的中點

—(a+0)=1得a=2

.-.1(2+Z>)=4得b=6

點B的橫坐標是6.

故答案為6.

【點睛】本題考查了中點的性質(zhì)，平面直角坐標系，三角形中線的性質(zhì)，正確的使用中點坐標公式并正確的計算是

解題的關(guān)鍵.

12.如圖，AB是。的弦，C是的中點，OC交AB于點。.若AB=8cm,CD=2cm,貝IJ。的半徑為

cm.

【答案】5

【分析】連接04,由垂徑定理得AD=4cm,設(shè)圓的半徑為民根據(jù)勾股定理得到方程A?=42+(R—2)2,求解即

可

【詳解】解：連接0A,

'."C是的中點，

OC±AB

AD=—AB=4cm

2

設(shè)。的半徑為民

CD=2cm

OD=OC—CD=(R—2)cm

在中，(9A2=AD2+OD2,即R?=4?+(R—2)2,

解得，R=5

即。的半徑為5cm

故答案為：5

【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理判斷出0C是的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵.

13.如圖，正比例函數(shù)>=質(zhì)與函數(shù)y=@的圖像交于A,8兩點，3C〃x軸，AC//y軸，則5\BC=

x

【答案】12

【分析】先設(shè)出A點坐標，再依次表示出3、C兩點坐標，求出線段BC和AC的表達式，最后利用三角形面積公式

即可求解.

【詳解】解：設(shè)A(/,-),

t

..?正比例函數(shù)y=履與函數(shù)y=g的圖像交于4,2兩點，

軸，AC//y軸,

'sABC=g8CAC=gU—（V）］：—（一■!）=>—=12；

故答案為：12.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、用平面直角坐標系內(nèi)點的坐標表示線段長、三角形面

積公式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是抓住反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都是中心對稱圖形，它們關(guān)于原點對稱，能正確表

示平面內(nèi)的點的坐標，能通過坐標計算出線段長等.

14.如圖，是五邊形ABCDE的外接圓的切線，貝

ZBAF+Z.CBG+ADCH+ZEDI+ZAEJ=°.

【答案】180°

【分析】由切線性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半.

【詳解】如圖：過圓心連接五邊形ABCDE的各頂點，

則ZOAB+ZOBC+ZOCD+ZODE+ZOEA

=AOBA+ZOCB+ZODC+ZOED+ZOAE

=g（5—2）x180°=270°

ZBAF+ZCBG+ZDCH+ZEDI+ZAEJ

=5x90°-(ZOAB+ZOBC+ZOCD+ZODE+ZOEA)

=450°-270°

=180°.

故答案為：180。.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式5-2）x180°（〃為多邊形的邊數(shù)），由半徑相等可得

“等邊對等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=BD.設(shè)NA3C=a,則NA￡>C=（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】180°-^?

2

【分析】由等腰的性質(zhì)可得：NADB=90°-工/AB。，ZBDC=90°--ZCBD,兩角相加即可得到結(jié)論.

22

【詳解】解：在△A3。中，AB=BD

：.ZA=/ADB=1(1800-ZABD)=90°-1ZABD

在△BCD中，BC=BD

：.ZC=ZBDC=1(1800-ZCBD)=90°-1ZCBD

?/ZABC=ZABD+ZCBD=?

：.ZADC=ZADB+Z.CBD

=90°--ZABD+90°--ZCBD

22

=180°-1(NABD+ZCBD)

=180°--ZABC

2

=180°--?

2

故答案為：180°—.

2

【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別求出NADB=90°-工NABD,

2

NBDC=90°-工/CB。是解答本題的關(guān)鍵.

2

16.如圖，將.A3CD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到「AB'C'O'的位置，使點&落在上，BC'與CD交于點E,若

AB=3,BC=4r,BB'=\,則CE的長為

【分析】過點C作CMIICD交3'C'于點M,證明^ABB^AADD求得C'D=2'根據(jù)證明MBB，=AB'CM

可求出CM=1,再由CMZ/C'D'證明△CMESADC'E,由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論.

【詳解】解：過點C作CM"CD交B'C'于點M,

..?平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形ABCD

???AB=AB',AD=AD',ZB^ZAB'C=ZD^ZD',ZBAD=ZB'Aiy

ZBAB'=ZDAD，ZB=ZD'

AABB:^^ADD

.BBABAB3

"DD~AD~3C一『

??f

?BB=1

,4

???DD=-

3

???CD=C'D-DD

=CD-DD

=AB-DD

=3,

3

_5

-3

ZABC=ZAB'C'+ZCB'M=ZABC+ZBAB

ZCBM=NBAS

,/BC^BC-BB=4—1=3

BC=AB

,/AB=AB'

???ZABB'=ZABB=ZABC'

VAB//CD,CD://CM

AB//CM

ZABC'=ZB'MC

???ZABB=ZB'MC

在AABB'和AB'MC中,

ZBAB'=ZCB'M

<ZAB'B=ZB'MC

AB=B'C

???AABB'=ABCM

：?BBi=CM=\

VCM!/CD

:ACMEs池c'E

CM_CE_1_3

???DC,~DE~5~5

3

.CE_3

"CD~8

9

故答案為：--

8

【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì),

正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟)

17.解不等式l+2(x—1)43,并在數(shù)軸上表示解集.

【答案】%<2,數(shù)軸上表示解集見解析

【分析】按照解一元一次不等式的一般步驟，直接求解即可.

詳解】l+2(x—1)<3

去括號：l+2x-2<3

移項：2x<3-l+2

合并同類項：2x<4

化系數(shù)為1：

解集表示在數(shù)軸上：

11,1I1

-5-4-3-2-1012345

【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，數(shù)軸上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次

方程的解法相似，注意最后一步化系數(shù)為1的時候，不等號是否要改變方向；正確的計算和在數(shù)軸上表示出解集是

解題關(guān)鍵.

2x

18.解方程——+1=——.

X+lX-1

【答案】%=3

【分析】先將方程兩邊同時乘以(x+l)(x-l),化為整式方程后解整式方程再檢驗即可.

【詳解】解：=2+1==x

x+lx-1

2(x-l)+(%+l)(x-l)=%(%+1),

2x—2+*—1=/_|_%,

x=3,

檢驗：將x=3代入(x+l)(x—1)中得，(x+l)(x—1)/0,

；.x=3是該分式方程的解.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，解決本題的關(guān)鍵是牢記解分式方程的基本步驟，即要先將分式方程化為整式

方程，再利用“去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”等方式解整式方程，最后不能忘記檢驗等.

19、.1計/算a百益一2?十仁b益\卜a二-br

a-b

【答案】

a-\-b

【分析】先對括號里的分式進行通分，將通分后的分式進行合并，將合并后的結(jié)果與最后一項分式相除，將除法運

算轉(zhuǎn)化為乘法運算，最后約分化簡后即可得到計算結(jié)果.

a2bab

【詳解】解：原式=-------------1-------

a-b

(2b2)

----a---------2-a-b---1-----------a-b-

+++Ja-b

a'-lab+b2ab

ab(a+b)a-b

(tz-Z?)2ab

ab^a+b^a-b

_a-b

a+b

【點睛】本題考查了分式的加減乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是找到最簡公分母，能正確進行分式之間的通分，同時

應(yīng)牢記相應(yīng)計算法則，并能靈活運用等.

20.如圖，AC與5D交于點。，0A=8,NABO=NOCO,E為8C延長線上一點，過點E作跖//CD,交

的延長線于點F.

(1)求證AAO修ADOC；

(2)若A5=2,3C=3,CE=L求所的長.

Q

【答案】(1)證明見解析；(2)EF=-

3

【分析】⑴直接利用“A4S”判定兩三角形全等即可；

(2)先分別求出BE和。C的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進行計算即可.

【詳解】解：(1)VOA=OD,ZABO=ZDCO,

又：ZAOB=ZDOC,

：.△A05^ADC>C(A45);

(2)?/AAOB^^DOC(AAS),AB=2,BC=3,CE=1

：.AB=DC=2,BE=BC+CE=3+1=4,

,：EF//CD,

???BEFsBCD,

.EFBE

,?而一拓’

,EF4

??——）

23

/.EF^-,

3

Q

???砂的長為2.

3

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解決本

題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較基礎(chǔ)，考查了學生的幾何語言表達和

對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用等.

21.某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查，通過簡單隨機抽樣，獲得了100個家庭去

年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分數(shù)據(jù)如下表：

序號1225265051757699100

月均用水量/t1.31.34.54.56.46.8111325.628

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t,你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使75%的家庭水

費支出不受影響，你覺得這個標準應(yīng)該定為多少？

【答案】⑴6.6t；差異看法見解析；⑵ll<a<13（其中。為標準用水量，單位：t）

【分析】（1）從中位數(shù)和平均數(shù)的定義和計算公式的角度分析它們的特點即可找出它們差異的原因；

（2）從表中找到第75和第76戶家庭的用水量，即可得到應(yīng)制定的用水量標準數(shù)據(jù).

【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，位于最中間的兩個數(shù)分別是6.4和6.8,

64+6.8

中位數(shù)為：=6.6(t).

2

而這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2/,

它們之間差異較大，主要是因為它們各自的特點決定的，主要原因如下：

①因為平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動；主要缺點是易受極端值的影

響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)，當出現(xiàn)偏大數(shù)時，平均數(shù)將會被抬高，當出現(xiàn)偏小數(shù)時，平均數(shù)會降低。

②中位數(shù)將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，它的求出不需或只需簡單的計

算，它不受極端值的影響；

這100個數(shù)據(jù)中，最大的數(shù)據(jù)是28,最小的是1.3,因此平均數(shù)受到極端值的影響，造成與中位數(shù)差異較大；

（2）因為第75戶用數(shù)量為1匕第76戶用數(shù)量為136,因此標準應(yīng)定為HWa<13（其中。為標準用水量，單位：

t）■

【點睛】本題考查了學生對中位數(shù)和平均數(shù)的概念的理解以及如何利用數(shù)據(jù)作出決斷等，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂

題意，正確利用表格中的數(shù)據(jù)特點進行分析，本題較基礎(chǔ)，答案較開放，因此考查了學生的語言組織與應(yīng)用的能力.

22.不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別.

（1）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球.求兩次摸出的球都是紅球的概率.

（2）從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回再隨機換出1個球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機摸出1

個球.兩次摸出的球都是白球的概率是.

41

答案（1）-；（2）-.

97

【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)與兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果數(shù)，再

利用概率公式即可求得答案；

（2）方法同（1）,注意第一次摸到白球要放回，其余顏色球不放回.

【詳解】解：（1）畫樹狀圖得，

開始

紅紅白紅紅白紅紅白

???共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果數(shù)為4次,

4

兩次摸出的球都是紅球的概率為：一；

9

（2）畫樹狀圖得，

???共有7種等可能的結(jié)果數(shù),兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)為1次,

???兩次摸出的球都是白球的概率為：-;

7

故答案為:I

【點睛】此題考查了畫樹狀圖法求概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.如圖，為了測量河對岸兩點A,8之間的距離，在河岸這邊取點C,。.測得CD=80m,AACD=90°,

NBCD=45。,ZADC=19°17r,ZBDC=56°19',設(shè)A,B,C,。在同一平面內(nèi)，求A,8兩點之間的距離.（參

考數(shù)據(jù):tanl9°17,?0.35,taa56°19'?1.50.）

【答案】52m

【分析】作BELCD于E,作BFLCA交CA延長線于F.先證明四邊形CEBF是正方形，設(shè)CE=BE=xm,

根據(jù)三角函數(shù)表示出DE,根據(jù)CD=80m列方程求出CE=BE=48m,進而求出CB=BF=48m,解直角三角形

求出AC,得到根據(jù)勾股定理即可求出A8,問題得解.

【詳解】解：如圖，作BELCD于E,作BF±CA交C4延長線于F.

'：ZFCD=90°,

二四邊形CEB尸是矩形，

?：BE±CD,ZBCD=45°,

:./BCE=/CBE=45°,

CE=BE,

，矩形CE8F是正方形.

設(shè)CE=BE=xm,

在RtABDE中，

2BEX2

DE=-------------=----------?一xm,

tanZBDEtan56q9'3

CD=80m,

xH—x=80,

3

解得x=48,

/.CE=B￡=48m,

:四邊形CEBF是正方形，

CF=BP=48m,

,在RfA4C￡)中，AC=CD?tanZADC=80xtanl9o17,?%:;80x0.35=28m,

：.AF=CF-AC=20m,

在Rt^ABF中，AB=VAF2+BF2=V202+482=52m,

/.A,B兩點之間的距離是52m.

【點睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用，理解題意，添加輔助線構(gòu)造正方形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

24.甲、乙兩人沿同一直道從A地去8地，甲比乙早Imin出發(fā)，乙的速度是甲的2倍.在整個行程中，甲離A地

的距離力(單位：m)與時間無(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)在圖中畫出乙離A地的距離為(單位：m)與時間x之間的函數(shù)圖；

(2)若甲比乙晚5min到達3地，求甲整個行程所用的時間.

【答案】(1)圖像見解析;⑵12min

【分析】(1)根據(jù)甲乙的速度關(guān)系和甲比乙提前一分鐘出發(fā)即可確定乙的函數(shù)圖像；

(2)設(shè)甲整個行程所用的時間為xmin,甲的速度為v加/min,利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可.

【詳解】解：(1)作圖如圖所示：

(2)設(shè)甲整個行程所用的時間為尤min,甲的速度為v/w/min,

xv=2v(x-l-5),

解得：x=12,

???甲整個行程所用的時間為12min.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，要求學生能根據(jù)問題情境繪制出函數(shù)圖像，能建立相等關(guān)系，列出方程

等.

25.如圖，已知P是。外一點.用兩種不同的方法過點尸作0的一條切線.要求：

(1)用直尺和圓規(guī)作圖；

(2)保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

【答案】答案見解析.

【分析】方法一：作出。尸的垂直平分線，交。尸于點A,再以點A為圓心，布長為半徑畫弧，交」。于點。，連

結(jié)PQ,PQ即為所求.

方法二：作出以O(shè)P為底邊的等腰三角形BPO,再作出N08P的角平分線交。尸于點A,再以點A為圓心，以長為

半徑畫弧，交0。于點。，連結(jié)尸。，PQ即為所求.

作法：連結(jié)P。，分別以尸、。為圓心，大于Lpo的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結(jié)兩點交P。于點A；以點A

2

為圓心，唐長為半徑畫弧，交。于點Q,連結(jié)尸Q,PQ即為所求.

作法：連結(jié)尸。，分別以尸、。為圓心，以大于［尸。的長度為半徑畫弧交尸。上方于點用連結(jié)3尸、30；以點5

為圓心，任意長為半徑畫弧交5尸、50于。、Z）兩點，分別以于。、。兩點為圓心，大于1的長度為半徑畫弧

交于一點，連結(jié)該點與B點，并將其反向延長交尸。于點A,以點A為圓心，陽長為半徑畫弧，交。于點。，連

結(jié)P。，P。即為所求.

【點睛】本題考查了作圖一一復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，圓的作法

等知識點.復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖.解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合基本幾何

圖形的性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

26.已知二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖像經(jīng)過（―2,1）,（2,—3）兩點.

（1）求b的值.

（2）當c＞-1時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標的最小值是.

（3）設(shè)（加,0）是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點，當-1＜加＜3時，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出“

的取值范圍.

4

【答案】⑴b=-l；(2)1；(3)”?；?

【分析】⑴將點(—2,1),(2,—3)代入求解即可得；

(2)先求出二次函數(shù)的頂點的縱坐標，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；

(3)分。<0和a>0兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得.

【詳解】解：(1)將點(一2,1),(2,—3)代入丁=改2+法+0得：4〃；28+°二_3，

兩式相減得：-4Z?=4,

解得6=一1;

(2)由題意得：

11

由(1)得：y—ax9—x+c—u(^x---)9+c-----,

2a4a

則此函數(shù)的頂點的縱坐標為C-工,

4。

將點(2,-3)代入y="2—x+c得：4Q-2+C=-3,

解得-4a=c+l,

貝ijc---=c+—^—,

4〃c+1

下面證明對于任意的兩個正數(shù)x0,y0,都有x0+j0>2業(yè)先,

=%+%-2屈江0,

:.xQ+y0>2yf^(當且僅當/=為時，等號成立)，

當c>—l時,c+l>0,

則c+,=c+l+」——l>2j(c+l)---1=1(當且僅當c+l=,，即c=0時，等號成立),

C+lC+1Vc+lC+1

即c----21,

4a

故當c>-l時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標的最小值是1；

(3)由4a—2+c——3得：c——4(2—1,

則二次函數(shù)解析式為丁=以2一x—4a—l(aw0),

由題意，分以下兩種情況：

①如圖，當avO時，則當％二—1時，y>0;當％=3時，y<。,

〃+1—4〃-1>0

即4,

[9a-3-4a-l<0

解得々V。；

②如圖，當4>0時，

Ft

\I

-i\-1ajus~K

\7

y__/

當x=-l時，y=。+1-44-1=一3。<0,

二當x=3時，y~