【?？級狠S題】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊壓軸題攻略（滬教版）專題04 特殊平行四邊形 梯形 壓軸題（六大題型）（解析版）

專題04特殊平行四邊形梯形壓軸題（六大題型）目錄：題型1：解答證明題題型2：最值問題題型3：四邊形與平面直角坐標系題型4：四邊形與列函數(shù)關(guān)系式問題題型5：動態(tài)問題（動點、旋轉(zhuǎn)、折疊）題型6：定值問題題型1：解答證明題1．在平行四邊形中，的平分線交邊于點E，交的延長線于點F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，，連接、，當時，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后再運用平行四邊形的性質(zhì)說明，進一步說明，最后運用等邊對等角即可證明結(jié)論；（2）延長AB、FG交于點H，連接DH，可證得四邊形AHFD是平行四邊形，四邊形AHFD是菱形，推出△FDH和△ADH都是等邊三角形，再證明△DFG≌△DHB（SAS），得出∠FDG=∠HDB，進而證得結(jié)論；（3）如圖3，連接DE，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得=30°，過點B作BM⊥AE于點M，可得EM=AE=，利用勾股定理求得AB=CD=BE=4，過點D作DN⊥BC于點N，結(jié)合勾股定理即可解答．【解析】（1）明：如圖1：∵是平分線．∴∵是平行四邊形．∴∴，∴，∴．（2）證明：如圖2;延長AB、FG交于點H，連接DH，∴FGCE，CEAD，∴FHBCAD，∵AHDF，∴四邊形AHFD是平行四邊形，∵∠DFA=∠FAB=∠DAF，∴DA=DF，∴四邊形AHFD是菱形，∴FD=FH，AD=AH，∵∠ABC=120°，∴∠DFH=∠DAH=60°，∴△FDH和△ADH都是等邊三角形，∴∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°，F(xiàn)D=HD，∵四邊形BCFH是平行四邊形，∴BH=CF，∵FG=CE，CE=CF，∴FG=BH，在△DFG和△DHB中，∴△DFG≌△DHB(SAS),∴∠FDG=∠HDB,∴∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°．（3）解：如圖3，連接DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∠DCB=180°-∠ABC=60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴過點B作BM⊥AE于點M∴EM=AE=在Rt△BME中∵∠BEM=30°∴BM=BE∵∴，解得：BE=4∵BE=2CE∴CE=2過點D作DN⊥BC于點N,則∠NDC=90°-∠DCB=30°∴CN=CD=2=CE∴點N與點E重合∴∠DEC=90°∴∴=．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確地作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，已知在正方形中，，點是邊上一點（不與點、重合），連接交于點，延長交的外角角平分線于點，連接．

(1)當時，求的面積；(2)求證：；(3)連接，當時，求的長．【答案】(1)4(2)見解析(3)或【分析】（1）如圖1，作于點，延長，延長線交于點，得四邊形是矩形，然后證明是等腰直角三角形，得，進而可以解決問題；（2）如圖2，延長，交于點，證明是等腰直角三角形，，作交于M，則四邊形是平行四邊形，證明，進而可得結(jié)論；（3）如圖3，證明四邊形是平行四邊形，可得，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合（2）利用勾股定理可得，設(shè)，則，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，進而可以解決問題．【解析】（1）解：四邊形是正方形，，，如圖1，作于點，延長，延長線交于點，，四邊形是矩形，，是的外角的平分線，，是等腰直角三角形，，，，的面積；

（2）證明：如圖2，延長，交于點，是的外角的平分線，，是等腰直角三角形，，，，作交于M，則四邊形是平行四邊形，，∴，∴，；

（3）解：如圖3，由（2）知：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，整理得，，，或．的長為或．

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，四邊形中，，是邊的中點．已知，．(1)連接，求證；(2)如圖，當時，求的度數(shù)；(3)當為直角三角形時，求邊的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）連接并延長交的延長線于，判斷出≌，得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，再判斷出，即可求出答案；（3）分兩種情況①當時，判斷出≌，得出，進而判斷出，即可得出答案；②當時，過點D作DF⊥BC于點F，，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，即可求出答案．【解析】（1）證明：如圖，連接并延長交的延長線于，，，，，，點是的中點，，≌，，，，；（2）解：，，，點是的中點，，，，，，，由（1）知，，，，，；（3）（3）是直角三角形，①當時，如圖，，，，在和中，，≌，，，，，；②當時，如圖，過點D作DF⊥BC于點F，設(shè)，由題意，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF，BF=AD=2，∴FC=x-2，在Rt△DFC中，；，在Rt△BDC中，，在Rt△ABD中，，∴，，（舍去負值），③∠DBM=時，不符合題意；綜上所述的長為或．題型2：最值問題4．在正方形中，點為射線上的一個動點，點在射線上，且．(1)如圖1，當點在邊上時，請直接寫出、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當點在邊的延長線上時，請你判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若，點在邊上，且，點為的中點，在點從點沿射線運動的過程中，的周長的最小值為___________（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)【分析】（1）延長到，使，連接，由正方形的性質(zhì)得出，，由證明，得出，，證出，由證明，得出對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；（2）在上截取，連接，．同（1）法可證，所以，，再證明，然后證明，得，即可得出結(jié)論；（3）過點作直線交于，當與點關(guān)于對稱時，，最小，最小值為，即可獲得答案．【解析】（1）解：，理由如下：延長到，使，連接，如下圖，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2），理由如下：在上截取，連接，如下圖，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：過點作直線交于，如下圖，當點在射線上運動時，點在運動，點在射線上運動，∵四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，當與點關(guān)于對稱時，，最小，最小值為，∴，由勾股定理得，∵的周長，∴當最小，此時，的周長的最小，∴的周長的最小值．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、最短距離問題、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的綜合運用是解題的關(guān)鍵．5．在矩形中，．(1)將矩形紙片沿折疊，使點A落在點F處（如圖①），設(shè)與相交于點G，求證：；(2)將矩形沿直線折疊，使點B的對應(yīng)點落在邊上（如圖②），點A的對應(yīng)點為，連接交于點．當時，求、的長；(3)點M在線段上，點N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點落在矩形的邊上點，請求的最大值和最小值．【答案】(1)證明見解答(2)的長是，OF的長是(3)的最大值為6，最小值為【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，則，由折疊得，所以，則；（2）連接、，由，得，則，因為垂直平分，所以，由勾股定理得，求得，則，由，求得，而，則；（3）當點與點重合時，的值最小，由垂直平分，得，則，所以；當點與點重合時，的值最大，此時，所以的最大值為6，最小值為．【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，由折疊得，（2）解：如圖②，連接、，，由折疊得點與點關(guān)于直線對稱，垂直平分解得，解得，∴的長是，的長是．（3）解：如圖③，當點與點重合時，的值最小，∵點與點關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，；如圖④，當點與點重合時，的值最大，且∴的最大值為6，最小值為．【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．6．如圖，在長方形中，，，，，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．(1)當點P是的中點時，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點落在長方形的內(nèi)部，延長交直線于點F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，直接寫出周長的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，；②周長的最小值為12【分析】（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)得，可得，利用即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出，等角對等邊即可得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即；②可得的周長，當點恰好位于對角線上時，最小，在中，由勾股定理得，則的最小值，即可得周長的最小值．【解析】（1）證明：在長方形中，，，點P是的中點，，；（2）解：①在長方形中，，，由折疊得，，，在長方形中，，，，點P是的中點，，由折疊得，，，設(shè)，則，，在中，，，解得，即；②由折疊得，，的周長，連接，，，當點恰好位于對角線上時，最小，在中，，，，′的最小值，∴周長的最小值．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：四邊形與平面直角坐標系7．如圖，邊長為5的菱形ABCD如圖所示放置在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸正半軸上，點D在x軸負半軸上，點．(1)求AB所在直線的解析式；(2)如果直線l經(jīng)過點C且與直線平行，點是y軸上的一個動點．①當點P在線段OB上（點P不與O、B重合），過點P作平行于x軸的直線分別交線段AB于M、交直線l于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；②當點P在y軸正半軸上，如是等腰三角形，求t的值．【答案】(1)y=x+4；(2)①d=12?t（0<t<4）；②t的值為或4或．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)及B點坐標，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的長，則可求得A點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；（2）①由菱形的性質(zhì)可求得C點坐標，則可求得直線l的解析式，從而可用t分別表示出M、N的坐標，則可得到d關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合P在線段OB上可求得t的取值范圍；②用t可分別表示出PC、PD的長，結(jié)合C、D坐標可求得CD的長，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況可分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解析】（1）解：∵B(0，4)，∴OB=4，∵四邊形ABCD為菱形，且邊長為5，∴AB=AD=BC=CD=5，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，∴A(3，0)，設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，∴，解得∴AB所在直線的解析式為y=x+4；（2）解：①由題意可知C(?5，4)，∵直線l經(jīng)過點C且與直線y=x平行，∴可設(shè)直線l解析式為y=x+m，∴4=?5+m，解得m=9，∴直線l解析式為y=x+9，∵過點P作平行于x軸的直線分別交AB于M、交直線l于N，且P(0，t)，∴M、N點的縱坐標為t，在y=x+4中，令y=t，可解得x=3?t，在y=x+9中，令y=t可得x=t?9，∴d=3?t?(t?9)=12?t，∵點P在線段OB上（點P不與O、B重合），∴0<t<4；②∵A(3，0)，AD=5，∴D(?2，0)，且C(?5，4)，P(0，t)，∴PC2=52+(t?4)2=t2?8t+41，PD2=22+t2=t2+4，CD2=(?5+2)2+42=25，∵△PCD為等腰三角形，∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，當PC=PD時，則有t2?8t+41=t2+4，解得t=；當PC=CD時，則有t2?8t+41=25，解得t=4；當PD=CD時，則t2+4=25，解得t=√或t=?（舍去）；綜上可知當△PCD是等腰三角形時，t的值為或4或．【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）①中用t表示出M、N的橫坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）②中利用t分別表示出PD、PC和CD的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．8．如圖，已知點，點，點在軸負半軸上，，點為直線上一點．(1)求直線的解析式；(2)點為平面內(nèi)任一點，若以點、、、為頂點的四邊形是正方形，求點的坐標；(3)當直線與直線的夾角等于的倍時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)，求出點的坐標，利用待定系數(shù)法，求出直線的解析式即可．（2）分是正方形的邊、是正方形的對角線兩種情況，利用正方形性質(zhì)即可求解．（3）當時，，利用兩點間距離可求點坐標；當時，，此時，過點作交于，過點作軸交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中點，求出的另一個點坐標即可．【解析】（1）解：，點，，，，，點在軸負半軸上，，設(shè)直線的解析式是，，解得，直線的解析式為；（2）解：①當是正方形的邊時，對應(yīng)的正方形為，，，，，；②當是正方形的對角線時，對應(yīng)的矩形為，、是正方形對角線，線段和線段互相垂直平分，點、的橫坐標為，，，綜上所述：點的坐標為或；（3）解：設(shè)，①當時，，，，；②當時，，此時，是等腰三角形，過點作交于，過點作軸交于，，，是等腰直角三角形，是的中點，，，是的中點，；綜上所述：點坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點是軸上一動點，以線段為一邊，在其一側(cè)作等邊．當點運動到原點處時，記的位置為．

(1)求點的坐標；(2)當點在軸上運動（不與重合）時，求證：；(3)是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，或【分析】（1）根據(jù)題意作輔助線過點作軸于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出點的坐標，（2）根據(jù)，可知，得出總成立，得出當點在軸上運動不與重合）時，為；（3）根據(jù)點在的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：過點作軸于點，

，為等邊三角形，，，∴，∴，，即；（2）證明：當點在軸上運動不與重合）時，，，在和中，，；

（3）由（2）可知，點總在過點且與垂直的直線上，可見與不平行．①當點在軸負半軸上時，點在點的下方，此時，若，四邊形即是梯形，當時，，．又，可求得，由（2）可知，，，此時的坐標為．②當點在軸正半軸上時，點在的上方，

此時，若，四邊形即是梯形，當時，，．又，可求得，由（2）可知，，，此時的坐標為．綜上，的坐標為或．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中．題型4：四邊形與列函數(shù)關(guān)系式問題10．如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，點M是AC上一點，點N在射線CB上，且MB＝MN，聯(lián)結(jié)DN，設(shè)AM＝x．(1)當點M、N（N在邊BC上）運動時，∠MND的大小是否會變化？若不變請求出度數(shù)，若變化請說明理由．(2)若∠BMN＝30°，求AM的值．(3)當N在線段BC上時，設(shè)DN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域．【答案】(1)不變，∠MND=30°；(2)AM的長為2-2或4-4；(3)【分析】（1）聯(lián)結(jié)DM，設(shè)∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，進而計算求得∠DMN=120°，從而求得結(jié)果；（2）分點N在邊BC上和點N在CB延長線上時兩種情況討論，進而求得結(jié)果；（3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，進而表示出MN，進一步表示出DN，從而求得結(jié)果．【解析】（1）解：如圖1，聯(lián)結(jié)DM，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB，∴DM=BM，OD=OB==2，∴BD=4，∴AD=AB=BD，∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°，∴∠ACD=∠BCD=30°，設(shè)∠MBO=α，∵MN=MB，∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α，在△CBM中，∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α，∴∠CMD=∠CMB=90°-α，在△MND中，∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α，∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α，∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°，∵BM=DM=MN，∴∠MND=∠MDN==30°；（2）解：當點N在邊BC上時，在△MBN和△CBM中，∠BMN=∠ACB=30°，∠CBM=∠MBN，∴∠CMB=∠MBN，∵MB=MN，∴∠MBN=∠MNB，∴∠CBM=∠MBN，∴CM=CB=4，∴AM=AC-CM=4-4；當點N在CB延長線上時，過點M作MG⊥BN于點G，∵MB=MN，∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°，∴∠GMC=180°-90°-30°=60°，∴∠BMO=45°，∴△OBM是等腰直角三角形，∴OB=OM=2，∴AM=AO-OM=2-2；綜上，AM的長為2-2或4-4；（3）解：如圖2，作ME⊥AB于E，MF⊥DN，∵∠CAB=30°，∴EM=AM=x，∴AE=，∴BE=AB-AE=4-x，在Rt△BEM中，BM=，在Rt△MNF中，同理可得：NF=MN=，∴DN=2NF，∴．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)角，通過計算尋找角的數(shù)量關(guān)系．11．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．(1)求邊AD的長；(2)如圖，當點P在梯形ABCD內(nèi)部時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．【答案】(1)AD＝6(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．(3)梯形AEFD的面積為或32【分析】（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，判定四邊形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的長，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的長；（2）首先確定PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域；（3）①當點P在梯形ABCD內(nèi)部時，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積；②當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．【解析】（1）解：過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點G、H，如圖所示∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過點P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，如圖所示∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域為1≤x＜．（3）解：當點P在梯形ABCD內(nèi)部時，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當點P在梯形ABCD外部時，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．【點睛】本題考查梯形及有實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識，綜合性較強，對于此類題目，要學會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．12．如圖1，在正方形中，，點E在的延長線上，點F在邊上（點F與C、D不重合），且，聯(lián)結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）聯(lián)結(jié)交于點M，①如圖2，如果，求的長；②設(shè)，，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域．【答案】（1）45°；（2）①；②【分析】（1）證明可得，從而是等腰直角三角形，即可得；（2）①過作交于，證明，可得，在中，可得，即可求出；②過作交于，過作于，先證明是的中位線，得，再由已知得，，而是等腰直角三角形，，即可得，由可得．【解析】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，；（2）①過作交于，如圖：，，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，由（1）知：，，，在和中，，，，而，，，，，中，，；②過作交于，過作于，如圖：由①知：，，為的中點，，，是的中位線，，，，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，，，．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形、中位線．13．如圖，已知直角梯形，，，過點作，垂足為點，，，點是邊上的一動點，過作線段的垂直平分線，交于點，并交射線于點．（1）如圖1，當點與點重合時，求的長；（2）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）如圖2，聯(lián)結(jié)，當是等腰三角形時，求的長．

【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的長為或3或．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，設(shè)，，在中用勾股定理求出，即可解答；（2）聯(lián)結(jié)，，在中，，在中，，消去二次項即可得到與的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)點是邊上的一動點結(jié)合（1）即可得出的定義域；（3）分三種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)相等的邊用勾股定理列方程求解即可．【解析】解：（1）∵梯形中，，，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，在中，，又∵，，設(shè)，，，∴，∴．（2）聯(lián)結(jié)，，∵是線段的垂直平分線，∴∵，，∴在中，在中，∴∴（3）在中，，，∴，當是等腰三角形時①∵∴∵∴∴②取中點，聯(lián)結(jié)∵為的中點∴為梯形中位線∴∵∴為中點，∴此時與重合∴③聯(lián)結(jié)并延長交延長線于點此時．∴，，∴，∴在中，，∵∴解得，（不合題意含去）∴綜上所述，當是等腰三角形時，的長為或3或【點睛】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、等腰三角形性質(zhì)和判定、全等三角形性質(zhì)和判定，靈活運用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．題型5：動態(tài)問題（動點、旋轉(zhuǎn)、折疊）14．如圖，在四邊形中，，，，，，過點B作于點E．若動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點P不與點A、B重合時，連結(jié)，作點B關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)、，設(shè)點P的運動時間為t秒．（）(1)的長為______；(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長；(3)當是以為腰的等腰三角形時，求t的值；(4)當與四邊形的某條邊平行時，直接寫出t的值．【答案】(1)5(2)當，當(3)或或(4)或2或8或或【分析】（1）證明是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理則可得出答案；（2）分兩種情況，當點在線段上時，當點在線段上時，由題意可得出答案；（3）分為當時，當時，兩種情況分別畫圖解答；（4）分為當時，當時，當時，五種情況分別畫圖解答；【解析】（1）解：根據(jù)題意可得故是矩形，，（2）當點在線段上時，，當點在線段上時，；（3）如圖，當時，或，解得：或；當時，如圖，過點E作，則解得：（舍去）或；綜上，或或；（4）如圖1，當時，；如圖2，當時，，；如圖3，當時，,是平行四邊形，三點共線，如圖4，當時，是正方形，；，如圖，當時，過點作，于點，則四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形，∵∴即∴∴∴∴，綜上，或或或或．【點睛】該題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．15．如圖1，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，其中點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上，點H在BC邊上，連結(jié)AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求證：△ABH≌△HEF；（2）如圖2，當H為BC中點時，連結(jié)DF，求DF的長；（3）如圖3，將菱形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°，使點E在AC上，點F在CD上，點G在BC的延長線上，連結(jié)EH，BF．若EH⊥BC，請求出BF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩個菱形中，點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上這一特殊的位置關(guān)系和CE＝BH可證明相應(yīng)的邊和角分別相等，從而證明結(jié)論；（2）由AB＝BC，∠ABC＝，可證明△ABC是等邊三角形，從而證明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的長；（3）作FM⊥BG于點M，當EH⊥BC時，可證明CH＝CM＝CG＝BH，從而求出BM、FM的長，再由勾股定理求出BF的長．【解析】解：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，∴AB＝BC，CE＝EF，∵CE＝BH，∴BH＝EF，∵BH+CH＝CE+CH，∴BC＝HE，∴AB＝HE；∵點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上，∴AB∥DG∥EF，∴∠B＝∠E，在△ABH和△HEF中，，∴△ABH≌△HEF（SAS）．（2）如圖2，設(shè)FH交CG于點P，連結(jié)CF，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BH＝CH，∴AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，由（1）得，△ABH≌△HEF，∴∠HFE＝∠AHB＝90°，∵DG∥EF，∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，∴PF⊥CG，∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°，∴△GFC是等邊三角形，∴PC＝PG＝CG；∵BC＝AB＝2，∴CG＝EF＝BH＝BC＝1，∴PC＝；∵CD＝AB＝2，∴PD＝+2＝，∵CF＝CG＝1，∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝，∴．（3）如圖3，作FM⊥BG于點M，則∠BMF＝90°，∵EH⊥BC，即EH⊥BG，∴EH∥FM，∵∠CEF＝∠ACB＝60°，∴EF∥MH，∴四邊形EHMF是平行四邊形，∵∠EHM＝90°，∴四邊形EHMF是矩形，∴EH＝FM；∵EF＝EC，∠CEF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴CE＝CF，∵∠EHC＝∠FMC＝90°，∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL），∴CH＝CM＝CG；∵CG＝CE＝BH，∴CH＝BH，∴CM＝CH＝BC＝×2＝，∴CF＝CG＝2CM＝2×＝，∴＝（）2﹣（）2＝，∵BM＝2+＝，∴．【點睛】本題主要考查了幾何綜合，其中涉及到了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定及性質(zhì)等，熟悉掌握幾何圖形的性質(zhì)和合理做出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．正方形中，點在邊、上運動（不與正方形頂點重合），作射線，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，交射線于點．(1)如圖，當點在邊上時，①若，則圖中與線段相等的線段是________．②過點作，垂足為，連接，求的度數(shù)．③求證：在②的條件下，．(2)當點在邊上，點在邊延長線上時，仍過點作于點，再過點作于點，連接，若，求的值．【答案】(1)①；②或；③見解析(2)【分析】（1）①通過證明，即可得到；②當點在上時，過點作交于點，延長交于點，證明，推出是等腰直角三角形，進而得到；當點在上時，過點作交于點，延長交點的延長線于點，同理可證明，推出是等腰直角三角形，則，；③延長到，使，過作于，交于點，則，推出是等腰直角三角形，則，證明，可得，推出，結(jié)合即可證明；（2）延長、，交于點，可推出是等腰直角三角形，則，可證明，得到，，推出是等腰直角三角形，設(shè)，則，可得，即可求解．【解析】（1）解：①四邊形是正方形，，，，，，故答案為：；②當點在上時，如圖1，過點作交于點，延長交于點，，四邊形是矩形，，，，，，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，；當點在上時，如圖2，過點作交于點，延長交點的延長線于點，四邊形是矩形，同理，，，是等腰直角三角形，，，綜上所述，的度數(shù)為或；③延長到，使，，過作于，交于點，則，，，，，，，，，，即，，，是等腰直角三角形，，又，，，，，，，，且，即，即；（2）如下圖，延長、，交于點，則四邊形是矩形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，，，．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是綜合運用這些知識．17．在四邊形中，，，，為射線上一點，將沿直線翻折至的位置，使點落在點處．(1)若為線段上一點．①如圖1，當點落在邊上時，求的長；②如圖2，連接，若，則與有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)如果點在的延長線上，當為直角三角形時，求的長．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)或20【分析】（1）①根據(jù)折疊得出，利用勾股定理求出的長即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證，從而；（2）由是直角三角形，當時，則四邊形是正方形，得；當時，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程即可求解，當時，點P在線段上，不符合題意，舍去．【解析】（1）解：①根據(jù)折疊可知，，∵，∴，∴；②，理由如下：∵將沿直線翻折至的位置，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：當時，如圖所示：∵，且，∴四邊形是正方形，∴；當時，如圖所示：則，∴，∵，∴點E、D、C三點共線，由翻折知，根據(jù)勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得，∴；當時，點P在線段上，不符合題意，舍去，綜上：或20．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．題型6：定值問題18．小明同學在做作業(yè)時，遇到如下問題：如圖1，已知：等邊，點在上，以為邊作等邊，連接，求證：．

(1)請你解答