第三講機(jī)械能守恒定律(原卷版+解析)

第三講機(jī)械能守恒定律知識(shí)梳理一、重力勢(shì)能1．定義物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢(shì)能。2．表達(dá)式Ep＝mgh，其中h是相對(duì)于參考平面（零勢(shì)能面）的高度。3．特點(diǎn)(1)系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。(2)相對(duì)性：重力勢(shì)能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)，物體在參考平面上方，h>0，在參考平面下方，h<0．(3)標(biāo)量性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，正負(fù)表示大小。4．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化(2)重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小，重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大。(3)重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。(4)重力勢(shì)能的變化量是絕對(duì)的，與參考平面的選取無(wú)關(guān)。二、彈性勢(shì)能1．定義發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢(shì)能，這種勢(shì)能叫作彈性勢(shì)能。2．大?。簭椈傻膹椥詣?shì)能跟彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈性勢(shì)能就越大。3．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，用公式表示：W＝－ΔEp。三、機(jī)械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。2．常用的三種表達(dá)式(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時(shí)的總機(jī)械能。(2)轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減。表示系統(tǒng)勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量。(3)轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減。表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能。3．對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解(1)只受重力或彈力作用，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。(2)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力不做功，只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(3)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力所做功的代數(shù)和為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化。知識(shí)訓(xùn)練考點(diǎn)一、機(jī)械能守恒的判斷1．機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法

(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，則機(jī)械能守恒．

(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒．

(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒．

例1、神舟號(hào)載人飛船在發(fā)射至返回的過(guò)程中，以下哪些階段中返回艙的機(jī)械能是守恒的()A．飛船升空的階段B．飛船在橢圓軌道上繞地球運(yùn)行的階段C．返回艙在大氣層以外向著地球做無(wú)動(dòng)力飛行的階段D．降落傘張開(kāi)后，返回艙下降的階段例2、(多選)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，A機(jī)械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落、B加速上升過(guò)程中，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)(不計(jì)空氣阻力)，小球的機(jī)械能守恒例3、(多選)如圖所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開(kāi)始下落，從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是()A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球的機(jī)械能守恒C．小球機(jī)械能守恒D．小球從下落到從右側(cè)離開(kāi)半圓形槽的過(guò)程中，機(jī)械能守恒課堂隨練訓(xùn)練1、以下對(duì)機(jī)械能守恒的理解，正確的是()A．如果機(jī)械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒D．如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒訓(xùn)練2、如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計(jì)，那么小球從接觸彈簧開(kāi)始到將彈簧壓縮到最短的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．小球的動(dòng)能一直減小B．小球的機(jī)械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢(shì)能等于小球減少的動(dòng)能訓(xùn)練3、(多選)在如圖所示的物理過(guò)程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng)；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖為物體A將彈簧壓縮的過(guò)程；丁圖為不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升的過(guò)程。關(guān)于這幾個(gè)物理過(guò)程(空氣阻力忽略不計(jì))，下列判斷中正確的是()A．甲圖中小球機(jī)械能守恒B．乙圖中小球機(jī)械能守恒C．丙圖中物體A的機(jī)械能守恒D．丁圖中A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒訓(xùn)練4、如圖2所示，P、Q兩球質(zhì)量相等，開(kāi)始兩球靜止，將P上方的細(xì)繩燒斷，在Q落地之前，下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)空氣阻力)()圖2A．在任一時(shí)刻，兩球動(dòng)能相等B．在任一時(shí)刻，兩球加速度相等C．在任一時(shí)刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)能與重力勢(shì)能之和保持不變D．在任一時(shí)刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能是不變的考點(diǎn)二、單個(gè)物體的機(jī)械能守恒1．表達(dá)式

2．一般步驟

例1、(多選)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B，用細(xì)線懸掛在等高的O1、O2點(diǎn)，A球的懸線比B球的懸線長(zhǎng)，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無(wú)初速度釋放，則經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)(以懸點(diǎn)所在的水平面為參考平面)()A．B球的動(dòng)能大于A球的動(dòng)能B．A球的動(dòng)能大于B球的動(dòng)能C．A球的機(jī)械能大于B球的機(jī)械能D．A球的機(jī)械能等于B球的機(jī)械能例2、如圖所示，運(yùn)動(dòng)員把質(zhì)量為m的足球從水平地面踢出，足球在空中達(dá)到的最大高度為h，在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則運(yùn)動(dòng)員踢球時(shí)對(duì)足球做的功為()A．eq\f(1,2)mv2 B．mghC．mgh＋eq\f(1,2)mv2 D．mgh＋mv2例3、(多選)(2021·湖南株洲市檢測(cè))如圖甲所示，輕繩的一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球。小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點(diǎn)的高度h的關(guān)系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．圓周半徑為1.0mB．小球質(zhì)量為0.5kgC．輕繩轉(zhuǎn)至水平時(shí)拉力為30ND．小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為4m/s例4、(2021·浙江1月選考·20改編)如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細(xì)圓管軌道BCDE和eq\f(1,6)圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直．軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點(diǎn)連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°，G點(diǎn)與豎直墻面的距離d＝eq\r(3)R.現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處?kù)o止釋放．小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計(jì)小球大小和所受阻力．(1)若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，求速度大小vC；(2)求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式；(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該滿足什么條件？課堂隨練訓(xùn)練1、(單個(gè)物體的情形)(2021·海南高考)水上樂(lè)園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦和空氣阻力。則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m訓(xùn)練2、一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個(gè)質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開(kāi)桌面時(shí)，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是()A．va＝vb＝vc B．va<vb<vcC．vc>va>vb D．va>vb>vc訓(xùn)練3、一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來(lái)代替，如圖甲所示，曲線上A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過(guò)A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一個(gè)圓，在極限情況下，這個(gè)圓叫作A點(diǎn)的曲率圓，其半徑叫作A點(diǎn)的曲率半徑?，F(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點(diǎn)P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．2 D．4考點(diǎn)三、多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的應(yīng)用

1．輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見(jiàn)情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。③對(duì)于單個(gè)物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對(duì)于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒。2．輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見(jiàn)情景模型特點(diǎn)①平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等。②桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。③對(duì)于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒(méi)有其他力對(duì)系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。3．輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點(diǎn)由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒。兩點(diǎn)提醒①對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小完全由彈簧的形變量決定，無(wú)論彈簧伸長(zhǎng)還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。例1、(2020·江蘇高考)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長(zhǎng)繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物。重物由靜止下落，帶動(dòng)鼓形輪轉(zhuǎn)動(dòng)。重物落地后鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω。繩與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，忽略鼓形輪、直桿和長(zhǎng)繩的質(zhì)量，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)重物落地后，小球線速度的大小v；(2)重物落地后一小球轉(zhuǎn)到水平位置A，此時(shí)該球受到桿的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h。例2、(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細(xì)線，細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與物體B相連。開(kāi)始時(shí)托住B，讓A處于靜止?fàn)顟B(tài)且細(xì)線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過(guò)程的分析正確的是()A．B受到細(xì)線的拉力保持不變B．A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C．B機(jī)械能的減少量小于彈簧彈性勢(shì)能的增加量D．當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，A的動(dòng)能最大例3、質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩兩端，繩子跨過(guò)固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開(kāi)始時(shí)把物體B拉到斜面底端，這時(shí)物體A離地面的高度為0.8m，如圖所示．若摩擦力均不計(jì)，從靜止開(kāi)始放手讓它們運(yùn)動(dòng)．(斜面足夠長(zhǎng)，物體A著地后不反彈，g取10m/s2)求：(1)物體A著地時(shí)的速度大?。?2)物體A著地后物體B繼續(xù)沿斜面上滑的最大距離．例4、如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過(guò)定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開(kāi)始時(shí)連接圓環(huán)的繩子水平，長(zhǎng)度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時(shí)的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A．eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B．eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C．eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D．eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的細(xì)直硬棒長(zhǎng)為2L，其一端O點(diǎn)用鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細(xì)棒的中點(diǎn)固定質(zhì)量為2m的小球甲，在細(xì)棒的另一端固定質(zhì)量為m的小球乙。將棒置于水平位置由靜止開(kāi)始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)做無(wú)阻力的轉(zhuǎn)動(dòng)。則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中()A．系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒B．系統(tǒng)中細(xì)棒對(duì)乙球做正功C．甲、乙兩球所受的向心力不相等D．乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的速度比甲球小訓(xùn)練2、(多選)如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)光滑且不計(jì)質(zhì)量的定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面上；b球質(zhì)量為2m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊而沒(méi)有張力。小球由靜止釋放后，在小球b下落過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．小球a處于超重狀態(tài)，小球b處于失重狀態(tài)B．繩的拉力對(duì)a球做的功等于a球機(jī)械能的增量C．小球b落地瞬間的速度大小為eq\f(\r(6gh),2)D．小球b的加速度大小為eq\f(g,4)訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，三個(gè)小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過(guò)鉸鏈用輕桿連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng)?，F(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°。A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則此下降過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是()A．A的動(dòng)能最大時(shí)，B、C的動(dòng)能均為零B．A的動(dòng)能最大時(shí)，B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mgC．自靜止釋放到A的動(dòng)能最大時(shí)，A球機(jī)械能減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量D．彈簧的彈性勢(shì)能最大值為eq\f(\r(3)－1,2)mgL訓(xùn)練4、如圖所示，長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動(dòng)小球B，使小球B在水平面上由靜止開(kāi)始向右滑動(dòng)，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為eq\f(L,2)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g)()A．桿對(duì)小球A做功為eq\f(1,4)mgLB．小球A、B的速度都為eq\f(1,2)eq\r(gL)C．小球A、B的速度分別為eq\f(1,2)eq\r(3gL)和eq\f(1,2)eq\r(gL)D．桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了eq\f(1,2)mgL訓(xùn)練5、(2016·全國(guó)卷Ⅱ)(多選)如圖，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連。現(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn)。已知在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)。在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，()A．彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功B．有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零D．小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差同步訓(xùn)練1、如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上．現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．斜劈對(duì)小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C．斜劈的機(jī)械能守恒D．小球重力勢(shì)能的減少量等于斜劈動(dòng)能的增加量2、如圖所示，光滑細(xì)桿AB、AC在A點(diǎn)連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個(gè)相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細(xì)繩相連，細(xì)繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．M球的機(jī)械能守恒B．M球的機(jī)械能增大C．M和N組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．繩的拉力對(duì)N做負(fù)功3、如圖所示，粗細(xì)均勻、兩端開(kāi)口的U形管內(nèi)裝有同種液體，管中液柱總長(zhǎng)度為4h，開(kāi)始時(shí)使兩邊液面高度差為h，后來(lái)讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為()A．eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C．eq\r(\f(1,4)gh) D．eq\r(\f(1,2)gh)4、如圖所示，將一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)以初速度v斜向上拋出，小球先后經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)。已知B、C之間的豎直高度和C、A之間的豎直高度都為h，重力加速度為g，取A點(diǎn)所在的平面為參考平面，不考慮空氣阻力，則()A．小球在B點(diǎn)的機(jī)械能是在C點(diǎn)機(jī)械能的兩倍B．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能是在C點(diǎn)動(dòng)能的兩倍C．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv2＋2mghD．小球在C點(diǎn)的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv2－mgh5、質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，在離P球eq\f(1,3)處有一個(gè)光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過(guò)程中機(jī)械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過(guò)程中機(jī)械能減少eq\f(2,3)mgl6、如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)a球處于圓弧上端A點(diǎn)，由靜止開(kāi)始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變B．b球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時(shí)速度大小均為eq\r(2gR)D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)a球做的功為eq\f(1,2)mgR7、如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)8、(2022·武漢東湖區(qū)聯(lián)考)如圖所示，有一條長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m的均勻金屬鏈條，有一半在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個(gè)很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開(kāi)始釋放后鏈條滑動(dòng)，則鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度為(g取10m/s2)()A．2.5m/s B．eq\f(5\r(2),2)m/sC．eq\r(5)m/s D．eq\f(\r(35),2)m/s9、(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有()A．下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒B．小球滑到B點(diǎn)時(shí)的加速度大小為eq\f(\r(3),2)gC．小球下滑到B點(diǎn)時(shí)速度最大D．小球下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq\r(2gl0)10、(多選)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m.與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離為d＝3m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略．現(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)速度為0，重力加速度取g＝10m/s2，則下列說(shuō)法正確的是(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．A、C間距離為4mB．小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)C．小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能始終等于物塊增加的機(jī)械能D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時(shí)，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶111、如圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g，則()A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq\r(gh)C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg12、如圖所示，小球a被一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的可繞O軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)的輕質(zhì)細(xì)桿固定在其端點(diǎn)，同時(shí)又通過(guò)繩跨過(guò)光滑定滑輪與另一個(gè)質(zhì)量為m的小球b相連，整個(gè)裝置平衡時(shí)桿和繩與豎直方向的夾角均為30°。若將小球a由水平位置(桿呈水平狀態(tài))開(kāi)始釋放，不計(jì)摩擦，豎直繩足夠長(zhǎng)(重力加速度為g)，求：(1)小球a的質(zhì)量；(2)當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，小球b的速度大小(結(jié)果可用根式表示)。13、如圖所示，傾角θ＝37°的光滑且足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)輪半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m＝1kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k＝240N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長(zhǎng)的輕繩使物體A跨過(guò)定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過(guò)豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán)C位于Q處，繩與細(xì)桿的夾角α＝53°，且物體B對(duì)擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長(zhǎng)度為d＝0.2m，位置R與位置Q關(guān)于位置S對(duì)稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行?，F(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：(1)小環(huán)C的質(zhì)量M；(2)小環(huán)C通過(guò)位置S時(shí)的動(dòng)能Ek及環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過(guò)程中輕繩對(duì)環(huán)做的功WT；(3)小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率v。第三講機(jī)械能守恒定律知識(shí)梳理一、重力勢(shì)能1．定義物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢(shì)能。2．表達(dá)式Ep＝mgh，其中h是相對(duì)于參考平面（零勢(shì)能面）的高度。3．特點(diǎn)(1)系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。(2)相對(duì)性：重力勢(shì)能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)，物體在參考平面上方，h>0，在參考平面下方，h<0．(3)標(biāo)量性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，正負(fù)表示大小。4．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化(2)重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小，重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大。(3)重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。(4)重力勢(shì)能的變化量是絕對(duì)的，與參考平面的選取無(wú)關(guān)。二、彈性勢(shì)能1．定義發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢(shì)能，這種勢(shì)能叫作彈性勢(shì)能。2．大小：彈簧的彈性勢(shì)能跟彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈性勢(shì)能就越大。3．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加，用公式表示：W＝－ΔEp。三、機(jī)械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。2．常用的三種表達(dá)式(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時(shí)的總機(jī)械能。(2)轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減。表示系統(tǒng)勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量。(3)轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減。表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能。3．對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解(1)只受重力或彈力作用，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。(2)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力不做功，只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(3)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力所做功的代數(shù)和為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化。知識(shí)訓(xùn)練考點(diǎn)一、機(jī)械能守恒的判斷1．機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，則機(jī)械能守恒．(2)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒．(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒．例1、神舟號(hào)載人飛船在發(fā)射至返回的過(guò)程中，以下哪些階段中返回艙的機(jī)械能是守恒的()A．飛船升空的階段B．飛船在橢圓軌道上繞地球運(yùn)行的階段C．返回艙在大氣層以外向著地球做無(wú)動(dòng)力飛行的階段D．降落傘張開(kāi)后，返回艙下降的階段【答案】BC【解析】飛船升空的階段，火箭加速上升，重力勢(shì)能和動(dòng)能都增加，故機(jī)械能增加，A錯(cuò)誤；飛船在橢圓軌道上繞地球運(yùn)行的階段，只有引力做功，故機(jī)械能守恒，B正確；返回艙在大氣層以外向著地球做無(wú)動(dòng)力飛行的階段，只有引力做功，故機(jī)械能守恒，C正確；降落傘張開(kāi)后，返回艙下降的階段，由于克服阻力做功，故機(jī)械能減少，D錯(cuò)誤。例2、(多選)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，A機(jī)械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落、B加速上升過(guò)程中，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)(不計(jì)空氣阻力)，小球的機(jī)械能守恒【答案】CD【解析】甲圖中物體A的重力和彈簧彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤；乙圖中物體B除受重力外，還受A的支持力，A的支持力對(duì)B做負(fù)功，B的機(jī)械能減小，B的機(jī)械能不守恒，但從能量轉(zhuǎn)化角度看，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤；丙圖中繩子張力對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，代數(shù)和為零，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C正確；丁圖中小球在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，D正確。例3、(多選)如圖所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開(kāi)始下落，從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是()A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球的機(jī)械能守恒C．小球機(jī)械能守恒D．小球從下落到從右側(cè)離開(kāi)半圓形槽的過(guò)程中，機(jī)械能守恒【答案】BC【解析】當(dāng)小球從半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓形槽右側(cè)的過(guò)程中小球?qū)Π雸A形槽的力使半圓形槽向右運(yùn)動(dòng)，半圓形槽對(duì)小球的支持力對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，A、D錯(cuò)誤；小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，B正確；小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與半圓形槽組成的系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，C正確．課堂隨練訓(xùn)練1、以下對(duì)機(jī)械能守恒的理解，正確的是()A．如果機(jī)械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒D．如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒【答案】B【解析】如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，不發(fā)生機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒，A錯(cuò)誤，B正確；如果物體受力平衡，勻速上升，動(dòng)能不變，但是重力勢(shì)能增大，機(jī)械能不守恒，C錯(cuò)誤；如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，說(shuō)明是動(dòng)能不變，但是機(jī)械能可能變化，比如物體勻速上升，動(dòng)能不變，但是重力勢(shì)能增大，機(jī)械能不守恒，D錯(cuò)誤。訓(xùn)練2、如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計(jì)，那么小球從接觸彈簧開(kāi)始到將彈簧壓縮到最短的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．小球的動(dòng)能一直減小B．小球的機(jī)械能守恒C．克服彈力做功大于重力做功D．最大彈性勢(shì)能等于小球減少的動(dòng)能【答案】C【解析】小球開(kāi)始下落時(shí)，只受重力作用做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與彈簧接觸時(shí)，受到彈簧彈力作用，開(kāi)始時(shí)彈簧壓縮量小，因此重力大于彈力，速度增大，隨著彈簧壓縮量的增加，彈力增大，當(dāng)重力等于彈力時(shí)，速度最大，然后彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力大于重力，小球開(kāi)始做減速運(yùn)動(dòng)，所以整個(gè)過(guò)程中小球加速后減速，根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2，動(dòng)能先增大然后減小，故A錯(cuò)誤；在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球受到的彈力對(duì)它做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；在向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力勢(shì)能減小，最終小球的速度為零，動(dòng)能減小，彈簧的壓縮量增大，彈性勢(shì)能增大，根據(jù)能量守恒定律，最大彈性勢(shì)能等于小球減少的動(dòng)能和減小的重力勢(shì)能之和，即克服彈力做功大于重力做功，故D錯(cuò)誤，C正確．訓(xùn)練3、(多選)在如圖所示的物理過(guò)程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng)；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖為物體A將彈簧壓縮的過(guò)程；丁圖為不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升的過(guò)程。關(guān)于這幾個(gè)物理過(guò)程(空氣阻力忽略不計(jì))，下列判斷中正確的是()A．甲圖中小球機(jī)械能守恒B．乙圖中小球機(jī)械能守恒C．丙圖中物體A的機(jī)械能守恒D．丁圖中A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒【答案】AD【解析】甲圖過(guò)程中輕桿對(duì)小球不做功，小球的機(jī)械能守恒，故A正確；乙圖過(guò)程中小球在繩子繃緊的瞬間有動(dòng)能損失，機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；丙圖中重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A的機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；丁圖中繩子張力對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故D正確。訓(xùn)練4、如圖2所示，P、Q兩球質(zhì)量相等，開(kāi)始兩球靜止，將P上方的細(xì)繩燒斷，在Q落地之前，下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)空氣阻力)()圖2A．在任一時(shí)刻，兩球動(dòng)能相等B．在任一時(shí)刻，兩球加速度相等C．在任一時(shí)刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)能與重力勢(shì)能之和保持不變D．在任一時(shí)刻，兩球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能是不變的【答案】D【解析】細(xì)繩燒斷后，由于彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，通過(guò)對(duì)P、Q兩球受力分析可知aP＞aQ，在任一時(shí)刻，兩球的動(dòng)能不一定相等，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；系統(tǒng)內(nèi)有彈力做功，彈性勢(shì)能發(fā)生變化，系統(tǒng)的動(dòng)能與重力勢(shì)能之和發(fā)生變化，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；Q落地前，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧的彈力做功，整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D正確。考點(diǎn)二、單個(gè)物體的機(jī)械能守恒1．表達(dá)式2．一般步驟例1、(多選)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B，用細(xì)線懸掛在等高的O1、O2點(diǎn)，A球的懸線比B球的懸線長(zhǎng)，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無(wú)初速度釋放，則經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)(以懸點(diǎn)所在的水平面為參考平面)()A．B球的動(dòng)能大于A球的動(dòng)能B．A球的動(dòng)能大于B球的動(dòng)能C．A球的機(jī)械能大于B球的機(jī)械能D．A球的機(jī)械能等于B球的機(jī)械能【答案】BD【解析】空氣阻力不計(jì)，小球下落過(guò)程中只有動(dòng)能和重力勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，故C錯(cuò)誤，D正確；到最低點(diǎn)時(shí)A球減少的重力勢(shì)能較多，增加的動(dòng)能較多，故A錯(cuò)誤，B正確。例2、如圖所示，運(yùn)動(dòng)員把質(zhì)量為m的足球從水平地面踢出，足球在空中達(dá)到的最大高度為h，在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則運(yùn)動(dòng)員踢球時(shí)對(duì)足球做的功為()A．eq\f(1,2)mv2 B．mghC．mgh＋eq\f(1,2)mv2 D．mgh＋mv2【答案】C【解析】足球被踢起后在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只受到重力作用，只有重力做功，足球的機(jī)械能守恒，足球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，其機(jī)械能為E＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，由機(jī)械能守恒定律得，足球剛被踢起時(shí)的機(jī)械能為E＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，足球獲得的機(jī)械能等于運(yùn)動(dòng)員踢球時(shí)對(duì)足球做的功，即W＝mgh＋eq\f(1,2)mv2，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。例3、(多選)(2021·湖南株洲市檢測(cè))如圖4甲所示，輕繩的一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球。小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，繩子的拉力F的大小與小球離最低點(diǎn)的高度h的關(guān)系如圖乙所示。忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()圖4A．圓周半徑為1.0mB．小球質(zhì)量為0.5kgC．輕繩轉(zhuǎn)至水平時(shí)拉力為30ND．小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為4m/s【答案】BD【解析】由圖可知，當(dāng)h＝0時(shí)，繩的拉力為F2＝41N，當(dāng)h＝1.0m時(shí)，繩的拉力為F1＝11N，可知小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝eq\f(1.0,2)m＝0.5m，故A錯(cuò)誤；設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1，最低點(diǎn)時(shí)的速度為v2，取最低點(diǎn)所在水平面為參考平面，由機(jī)械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，分別根據(jù)牛頓第二定律可知F1＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，F(xiàn)2－mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)，解得m＝0.5kg，v1＝4m/s，故B、D正確；設(shè)輕繩轉(zhuǎn)至水平時(shí)小球的速度為v，從最高點(diǎn)到輕繩水平時(shí)，由機(jī)械能守恒定律可得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mg·2R＝eq\f(1,2)mv2＋mgR，解得v＝eq\r(26)m/s，由牛頓第二定律可知，輕繩轉(zhuǎn)至水平時(shí)拉力為F＝meq\f(v2,R)＝26N，故C錯(cuò)誤。例4、(2021·浙江1月選考·20改編)如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細(xì)圓管軌道BCDE和eq\f(1,6)圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直．軌道出口處G和圓心O2的連線，以及O2、E、O1和B等四點(diǎn)連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°，G點(diǎn)與豎直墻面的距離d＝eq\r(3)R.現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處?kù)o止釋放．小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計(jì)小球大小和所受阻力．(1)若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，求速度大小vC；(2)求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式；(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該滿足什么條件？【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)從A到C，小球的機(jī)械能守恒，有mgh0＝eq\f(1,2)mvC2可得vC＝eq\r(2gh0)(2)小球從A到D，由機(jī)械能守恒定律有mg(h－R)＝eq\f(1,2)mvD2根據(jù)牛頓第二定律有FN＝eq\f(mvD2,R)聯(lián)立可得FN＝2mg(eq\f(h,R)－1)滿足的條件h≥R(3)第1種情況：不滑離軌道原路返回，由機(jī)械能守恒定律可知，此時(shí)h需滿足的條件是h≤R＋3Rsinθ＝eq\f(5,2)R第2種情況：小球與墻面垂直碰撞后原路返回，小球與墻面碰撞后，進(jìn)入G前做平拋運(yùn)動(dòng)，則vxt＝vxeq\f(vy,g)＝d，其中vx＝vGsinθ，vy＝vGcosθ故有vGsinθ·eq\f(vGcosθ,g)＝d可得vG＝2eq\r(gR)由機(jī)械能守恒定律有mg(h－eq\f(5,2)R)＝eq\f(1,2)mvG2可得h＝eq\f(9,2)R.課堂隨練訓(xùn)練1、(單個(gè)物體的情形)(2021·海南高考)水上樂(lè)園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦和空氣阻力。則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m【答案】A【解析】設(shè)人從滑梯頂端由靜止滑到滑梯末端的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，從滑梯末端水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知落水時(shí)間為t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為x＝vt＝4eq\r(5)×eq\r(\f(1,5))m＝4.0m，故選A。訓(xùn)練2、一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個(gè)質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開(kāi)桌面時(shí)，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是()A．va＝vb＝vc B．va<vb<vcC．vc>va>vb D．va>vb>vc【答案】C【解析】設(shè)桌面下方L處為零勢(shì)能面。鏈條由靜止釋放之后，到整根剛離開(kāi)桌面，由于桌面無(wú)摩擦，對(duì)三種情況，則釋放前，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為：圖a中，Ep1＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(7,8)mgL，圖b中，Ep2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(15mgL,8)，圖c中，Ep3＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(11,8)mgL。釋放后，整根鏈條剛離開(kāi)桌面時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為：圖a中，Ep1′＝mgeq\f(L,2)，圖b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(3,2)mgL，圖c中，Ep3′＝eq\f(1,2)mgL。則系統(tǒng)損失的重力勢(shì)能ΔEp1＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq\f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，ΔEp2＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,b)，ΔEp3＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,c)，解得：veq\o\al(2,a)＝eq\f(3,4)gL，veq\o\al(2,b)＝eq\f(3,8)gL，veq\o\al(2,c)＝eq\f(7,8)gL，顯然veq\o\al(2,c)>veq\o\al(2,a)>veq\o\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正確。訓(xùn)練3、一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來(lái)代替，如圖3甲所示，曲線上A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過(guò)A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一個(gè)圓，在極限情況下，這個(gè)圓叫作A點(diǎn)的曲率圓，其半徑叫作A點(diǎn)的曲率半徑。現(xiàn)將一物體沿著與水平面成α角的方向以某一速度從地面拋出，如圖乙所示，其軌跡最高點(diǎn)P離地面的高度為h，曲率半徑為eq\f(h,2)，忽略空氣阻力，則tanα的值為()圖3A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．2 D．4【答案】C【解析】在P點(diǎn)時(shí)，重力恰好作為向心力，滿足mg＝meq\f(veq\o\al(2,P),R)，又由題意可知R＝eq\f(h,2)，聯(lián)立可解得vP＝eq\r(\f(gh,2))，vP即為物體拋出時(shí)速度的水平分量，設(shè)物體拋出時(shí)速度的豎直分量為vy，拋出時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv2＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)，又v2＝veq\o\al(2,P)＋veq\o\al(2,y)，聯(lián)立可得vy＝eq\r(2gh)，物體拋出時(shí)速度v與水平面所成α角滿足tanα＝eq\f(vy,vP)，代入數(shù)據(jù)可得tanα＝2，C正確。考點(diǎn)三、多物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒的應(yīng)用1．輕繩連接的物體系統(tǒng)模型常見(jiàn)情景模型提醒①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。③對(duì)于單個(gè)物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對(duì)于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒。2．輕桿連接的物體系統(tǒng)模型常見(jiàn)情景模型特點(diǎn)①平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等。②桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。③對(duì)于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒(méi)有其他力對(duì)系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。3．輕彈簧連接的物體系統(tǒng)模型模型特點(diǎn)由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒。兩點(diǎn)提醒①對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小完全由彈簧的形變量決定，無(wú)論彈簧伸長(zhǎng)還是壓縮。②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。例1、(2020·江蘇高考)如圖所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質(zhì)量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長(zhǎng)繩，繩上懸掛著質(zhì)量為M的重物。重物由靜止下落，帶動(dòng)鼓形輪轉(zhuǎn)動(dòng)。重物落地后鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω。繩與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，忽略鼓形輪、直桿和長(zhǎng)繩的質(zhì)量，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。求：(1)重物落地后，小球線速度的大小v；(2)重物落地后一小球轉(zhuǎn)到水平位置A，此時(shí)該球受到桿的作用力的大小F；(3)重物下落的高度h?！敬鸢浮?1)2Rω(2)meq\r(4R2ω4＋g2)(3)【解析】(1)由題意可知，重物落地后，鼓形輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系可知，小球線速度的大小v＝2Rω。(2)小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，合力提供向心力，對(duì)轉(zhuǎn)到水平位置A的小球分析受力，如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律得＝meq\f(v2,2R)，解得F＝meq\r(4R2ω4＋g2)。(3)設(shè)重物落地時(shí)的速度為v1，重物下落過(guò)程中，對(duì)重物、鼓形輪和小球組成的系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得Mgh＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)×4mv2重物落地時(shí)的速度等于鼓形輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)邊緣的線速度，即v1＝Rω聯(lián)立解得h＝。例2、(多選)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細(xì)線，細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與物體B相連。開(kāi)始時(shí)托住B，讓A處于靜止?fàn)顟B(tài)且細(xì)線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關(guān)該過(guò)程的分析正確的是()A．B受到細(xì)線的拉力保持不變B．A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C．B機(jī)械能的減少量小于彈簧彈性勢(shì)能的增加量D．當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，A的動(dòng)能最大【答案】BD【解析】對(duì)A有FT－kx＝mAa，對(duì)B有mBg－FT＝mBa，聯(lián)立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于彈簧的伸長(zhǎng)量x逐漸變大，從開(kāi)始到B速度達(dá)到最大的過(guò)程中，B的加速度逐漸減小，可知，此過(guò)程中細(xì)線的拉力逐漸增大，是變力，A錯(cuò)誤；A、彈簧與B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，而A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，B正確；B機(jī)械能的減少量等于A機(jī)械能的增加量與彈簧彈性勢(shì)能的增加量之和，故B機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢(shì)能的增加量，C錯(cuò)誤；當(dāng)彈簧的拉力等于B的重力時(shí)，B的速度最大，A的速度也達(dá)到最大，則動(dòng)能最大，D正確。例3、質(zhì)量均為m的物體A和B分別系在一根不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩兩端，繩子跨過(guò)固定在傾角為30°的斜面頂端的定滑輪上，斜面固定在水平地面上，開(kāi)始時(shí)把物體B拉到斜面底端，這時(shí)物體A離地面的高度為0.8m，如圖所示．若摩擦力均不計(jì)，從靜止開(kāi)始放手讓它們運(yùn)動(dòng)．(斜面足夠長(zhǎng)，物體A著地后不反彈，g取10m/s2)求：(1)物體A著地時(shí)的速度大小；(2)物體A著地后物體B繼續(xù)沿斜面上滑的最大距離．【答案】(1)2m/s(2)0.4m【解析】(1)以地面為參考平面，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgh＝mghsin30°＋eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2因?yàn)関A＝vB，所以vA＝vB＝2m/s.(2)A著地后，B機(jī)械能守恒，則B上升到最大高度過(guò)程中，有eq\f(1,2)mvB2＝mgΔssin30°解得Δs＝0.4m.例4、如圖所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，由繩子通過(guò)定滑輪連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上．開(kāi)始時(shí)連接圓環(huán)的繩子水平，長(zhǎng)度l＝4m．現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，g取10m/s2.若圓環(huán)下降h＝3m時(shí)的速度v＝5m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為()A．eq\f(M,m)＝eq\f(35,29) B．eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C．eq\f(M,m)＝eq\f(39,25) D．eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)【答案】A【解析】圓環(huán)下降3m后的速度可以按如圖所示分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和繩子看成一個(gè)整體，整體只有重力做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)圓環(huán)下降h＝3m時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，聯(lián)立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正確．課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的細(xì)直硬棒長(zhǎng)為2L，其一端O點(diǎn)用鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細(xì)棒的中點(diǎn)固定質(zhì)量為2m的小球甲，在細(xì)棒的另一端固定質(zhì)量為m的小球乙。將棒置于水平位置由靜止開(kāi)始釋放，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)做無(wú)阻力的轉(zhuǎn)動(dòng)。則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中()A．系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒B．系統(tǒng)中細(xì)棒對(duì)乙球做正功C．甲、乙兩球所受的向心力不相等D．乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的速度比甲球小【答案】B【解析】以系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于只有重力做功，只有重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，甲、乙兩球的角速度相同，設(shè)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，甲球的速度為v1，乙球的速度為v2，由v＝ωr，可得v2＝2v1，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒知系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能等于增加的動(dòng)能，可得2mgL＋mg×2L＝eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，聯(lián)立解得v1＝eq\r(\f(4,3)gL)，v2＝eq\r(\f(16,3)gL)，設(shè)細(xì)棒對(duì)乙球做的功為W，根據(jù)動(dòng)能定理得W＋mg×2L＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－0，解得W＝eq\f(2,3)mgL，可見(jiàn)，系統(tǒng)中細(xì)棒對(duì)乙球做正功，故B正確；甲、乙兩球所受的向心力分別為F1＝2meq\f(v\o\al(2,1),L)，F(xiàn)2＝meq\f(v\o\al(2,2),2L)＝m＝2meq\f(v\o\al(2,1),L)，即F1＝F2，故C錯(cuò)誤；由v2＝2v1知，乙球轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的速度比甲球大，故D錯(cuò)誤。訓(xùn)練2、(多選)如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)光滑且不計(jì)質(zhì)量的定滑輪，繩兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面上；b球質(zhì)量為2m，用手托住，高度為h，此時(shí)輕繩剛好拉緊而沒(méi)有張力。小球由靜止釋放后，在小球b下落過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A．小球a處于超重狀態(tài)，小球b處于失重狀態(tài)B．繩的拉力對(duì)a球做的功等于a球機(jī)械能的增量C．小球b落地瞬間的速度大小為eq\f(\r(6gh),2)D．小球b的加速度大小為eq\f(g,4)【答案】AB【解析】小球由靜止釋放后，小球a向上做加速運(yùn)動(dòng)，處于超重狀態(tài)，小球b向下做加速運(yùn)動(dòng)，處于失重狀態(tài)，故A正確；根據(jù)功能關(guān)系可知，繩的拉力對(duì)a球做的功等于a球機(jī)械能的增量，故B正確；設(shè)小球b落地瞬間的速度大小為v，對(duì)a、b組成的系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：2mgh＝mgh＋eq\f(1,2)(2m＋m)v2，解得v＝eq\f(\r(6gh),3)，故C錯(cuò)誤；a、b兩球加速度大小相等，設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)a球：T－mg＝ma，對(duì)b球：2mg－T＝2ma，聯(lián)立解得a＝eq\f(g,3)，故D錯(cuò)誤。訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，三個(gè)小球A、B、C的質(zhì)量均為m，A與B、C間通過(guò)鉸鏈用輕桿連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，B、C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng)。現(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°。A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則此下降過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是()A．A的動(dòng)能最大時(shí)，B、C的動(dòng)能均為零B．A的動(dòng)能最大時(shí)，B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mgC．自靜止釋放到A的動(dòng)能最大時(shí)，A球機(jī)械能減少量等于彈簧彈性勢(shì)能的增加量D．彈簧的彈性勢(shì)能最大值為eq\f(\r(3)－1,2)mgL【答案】BD【解析】A的動(dòng)能最大時(shí)，A的加速度為零，速度最大，方向向下，彈簧要繼續(xù)伸長(zhǎng)，B、C的動(dòng)能均不為零，故A錯(cuò)誤；A的動(dòng)能最大時(shí)，其加速度為零，設(shè)B和C受到地面的支持力大小均為F，此時(shí)整體在豎直方向受力平衡，可得2F＝3mg，所以F＝eq\f(3,2)mg，故B正確；當(dāng)A動(dòng)能最大時(shí)，B、C的速度并不為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知，A球機(jī)械能的減少量大于彈簧彈性勢(shì)能的增加量，故C錯(cuò)誤；A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)下落的高度為：h＝Lsin60°－Lsin30°＝eq\f(\r(3)－1,2)L，根據(jù)功能關(guān)系可知，小球A的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，即彈簧的彈性勢(shì)能最大值為：Ep＝mgh＝eq\f(\r(3)－1,2)mgL，故D正確。訓(xùn)練4、如圖所示，長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動(dòng)小球B，使小球B在水平面上由靜止開(kāi)始向右滑動(dòng)，當(dāng)小球A沿墻下滑距離為eq\f(L,2)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是(不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g)()A．桿對(duì)小球A做功為eq\f(1,4)mgLB．小球A、B的速度都為eq\f(1,2)eq\r(gL)C．小球A、B的速度分別為eq\f(1,2)eq\r(3gL)和eq\f(1,2)eq\r(gL)D．桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少了eq\f(1,2)mgL【答案】C【解析】對(duì)A、B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得mg·eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，又有vAcos60°＝vBcos30°，解得vA＝eq\f(1,2)eq\r(3gL)，vB＝eq\f(1,2)eq\r(gL)，選項(xiàng)C正確，B、D錯(cuò)誤；對(duì)A，由動(dòng)能定理得，mgeq\f(L,2)＋W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得桿對(duì)小球A做的功W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－mg·eq\f(L,2)＝－eq\f(1,8)mgL，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。訓(xùn)練5、(2016·全國(guó)卷Ⅱ)(多選)如圖，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn)。已知在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)。在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，()A．彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功B．有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零D．小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差【答案】BCD【解析】如圖所示，OP垂直于豎直桿，Q點(diǎn)與M點(diǎn)關(guān)于OP對(duì)稱，在小球從M點(diǎn)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧彈力先做負(fù)功后做正功，故A錯(cuò)誤；在P點(diǎn)彈簧長(zhǎng)度最短，彈力方向與速度方向垂直，故此時(shí)彈力對(duì)小球做功的功率為零，即C正確；小球在P點(diǎn)時(shí)所受彈簧彈力垂直于豎直桿，豎直方向上只受重力，此時(shí)小球加速度為g，當(dāng)彈簧處于自由長(zhǎng)度時(shí)，小球只受重力作用，此時(shí)小球的加速度也為g，故B正確；小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小球在M點(diǎn)和N點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能相等，故小球從M到N重力勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量，而小球在M點(diǎn)的動(dòng)能為零，故D正確。同步訓(xùn)練1、如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上．現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．斜劈對(duì)小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒C．斜劈的機(jī)械能守恒D．小球重力勢(shì)能的減少量等于斜劈動(dòng)能的增加量【答案】B【解析】不計(jì)一切摩擦，小球下滑時(shí)，小球和斜劈組成的系統(tǒng)只有小球的重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B正確；斜劈動(dòng)能增加，重力勢(shì)能不變，故斜劈的機(jī)械能增加，C錯(cuò)誤；由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知，小球重力勢(shì)能的減少量等于斜劈動(dòng)能的增加量和小球動(dòng)能的增加量之和，D錯(cuò)誤；斜劈對(duì)小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故彈力做負(fù)功，A錯(cuò)誤．2、如圖所示，光滑細(xì)桿AB、AC在A點(diǎn)連接，AB豎直放置，AC水平放置，兩個(gè)相同的中心有小孔的小球M、N，分別套在AB和AC上，并用一細(xì)繩相連，細(xì)繩恰好被拉直，現(xiàn)由靜止釋放M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是()A．M球的機(jī)械能守恒B．M球的機(jī)械能增大C．M和N組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．繩的拉力對(duì)N做負(fù)功【答案】C【解析】細(xì)桿光滑，故M、N組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，N的機(jī)械能增加，繩的拉力對(duì)N做正功、對(duì)M做負(fù)功，M的機(jī)械能減少，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。3、如圖所示，粗細(xì)均勻、兩端開(kāi)口的U形管內(nèi)裝有同種液體，管中液柱總長(zhǎng)度為4h，開(kāi)始時(shí)使兩邊液面高度差為h，后來(lái)讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為()A．eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C．eq\r(\f(1,4)gh) D．eq\r(\f(1,2)gh)【答案】A【解析】液柱移動(dòng)時(shí)，除了重力做功以外，沒(méi)有其他力做功，故機(jī)械能守恒。此題等效為原右側(cè)eq\f(h,2)高的液柱移到左側(cè)(如圖所示)，其重心高度下降了eq\f(h,2)，減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為液柱整體的動(dòng)能，設(shè)液體的總質(zhì)量為4m，則有eq\f(1,2)mg·eq\f(h,2)＝eq\f(1,2)(4m)v2，得v＝eq\r(\f(gh,8))，A正確。4、如圖所示，將一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)以初速度v斜向上拋出，小球先后經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)。已知B、C之間的豎直高度和C、A之間的豎直高度都為h，重力加速度為g，取A點(diǎn)所在的平面為參考平面，不考慮空氣阻力，則()A．小球在B點(diǎn)的機(jī)械能是在C點(diǎn)機(jī)械能的兩倍B．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能是在C點(diǎn)動(dòng)能的兩倍C．小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv2＋2mghD．小球在C點(diǎn)的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv2－mgh【答案】D【解析】不計(jì)空氣阻力，小球在斜上拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受重力作用，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒，則小球在B點(diǎn)的機(jī)械能等于在C點(diǎn)的機(jī)械能，A錯(cuò)誤；小球在B點(diǎn)的重力勢(shì)能大于在C點(diǎn)的重力勢(shì)能，根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，小球在B點(diǎn)的動(dòng)能小于在C點(diǎn)的動(dòng)能，B錯(cuò)誤；小球由A到B過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝eq\f(1,2)mv2，解得小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB＝eq\f(1,2)mv2－2mgh，C錯(cuò)誤；小球由B到C過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C點(diǎn)的動(dòng)能為EkC＝EkB＋mgh＝eq\f(1,2)mv2－mgh，D正確。5、質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，在離P球eq\f(1,3)處有一個(gè)光滑固定轉(zhuǎn)軸O，如圖所示．現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置，則(重力加速度為g)()A．小球P在最高位置的速度大小為eq\f(\r(gl),3)B．小球Q在最低位置的速度大小為eq\r(\f(2gl,3))C．小球P在此過(guò)程中機(jī)械能增加量為eq\f(4,9)mgLD．小球Q在此過(guò)程中機(jī)械能減少eq\f(2,3)mgl【答案】C【解析】Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置時(shí)的速度為v1，此時(shí)P運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度為v2，整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有2mg×eq\f(2,3)L－mg×eq\f(L,3)＝eq\f(1,2)×2mv12＋eq\f(1,2)mv22，又由于兩球都繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝eq\f(2\r(2gL),3)，v2＝eq\f(\r(2gL),3)，A、B錯(cuò)誤；在此過(guò)程中，小球P機(jī)械能增加量ΔE＝mg×eq\f(L,3)＋eq\f(1,2)mv22＝eq\f(4,9)mgL，由于整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此小球Q機(jī)械能減少量也為eq\f(4,9)mgL，C正確，D錯(cuò)誤．6、如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)a球處于圓弧上端A點(diǎn)，由靜止開(kāi)始釋放小球和輕桿，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變B．b球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時(shí)速度大小均為eq\r(2gR)D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)a球做的功為eq\f(1,2)mgR【答案】D【解析】對(duì)于單個(gè)小球來(lái)說(shuō)，桿的彈力做功，小球機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝eq\f(1,2)·2mv2，解得v＝eq\r(3gR)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；a球在滑落過(guò)程中，桿對(duì)小球做功，重力對(duì)小球做功，故根據(jù)動(dòng)能定理可得W＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立v＝eq\r(3gR)，解得W＝eq\f(1,2)mgR，故D正確．7、如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)【答案】C【解析】設(shè)B球的質(zhì)量為m，則A球的質(zhì)量為2m，A球剛落地時(shí)，兩球速度大小都為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得2mgR＝eq\f(1,2)×(2m＋m)v2＋mgR，B球繼續(xù)上升的過(guò)程由動(dòng)能定理可得－mgh＝0－eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立解得h＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq\f(4,3)R，故選C.8、(2022·武漢東湖區(qū)聯(lián)考)如圖所示，有一條長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m的均勻金屬鏈條，有一半在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個(gè)很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半豎直下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開(kāi)始釋放后鏈條滑動(dòng)，則鏈條剛好全部滑出斜面時(shí)的速度為(g取10m/s2)()A．2.5m/s B．eq\f(5\r(2),2)m/sC．eq\r(5)m/s D．eq\f(\r(35),2)m/s【答案】A【解析】設(shè)鏈條的質(zhì)量為2m，以開(kāi)始時(shí)鏈條的最高點(diǎn)為零勢(shì)能面，鏈條的機(jī)械能為E＝－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)sin30°－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)＝－eq\f(3,8)mgL，鏈條全部滑出后，動(dòng)能為Ek′＝eq\f(1,2)×2mv2，重力勢(shì)能為Ep′＝－2mg·eq\f(L,2)，由機(jī)械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq\f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5m/s，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．9、(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有()A．下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒B．小球滑到B點(diǎn)時(shí)的加速度大小為eq\f(\r(3),2)gC．小球下滑到B點(diǎn)時(shí)速度最大D．小球下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq\r(2gl0)【答案】BD【解析】下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能會(huì)與彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，因此小球的機(jī)