空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示 學(xué)案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

高二（5）、（8）班數(shù)學(xué)學(xué)案ByYuxinMa.4.1.1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示一、知識點(diǎn)梳理：問題1：如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)？（提示：向量的坐標(biāo)表示）問題2：我們知道,空間中給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線.(1)請畫出直線.(2)如何用向量表示直線?(用向量表示直線,就是要利用點(diǎn)和直線的方向向量表示直線上的任意一點(diǎn))追問1：點(diǎn)與向量能否確定直線上的任意一點(diǎn)的位置?追問2：假設(shè)是空間任意一點(diǎn),又可以怎樣表示?問題3.1：一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面?如何用向量表示這個(gè)平面?(請作圖用式子說明)問題3.2：空間中一點(diǎn)與一個(gè)向量是否可以表示一個(gè)平面?如果可以，如何表示？請作圖說明.（提示：給定空間一個(gè)點(diǎn)和一條直線，則過點(diǎn)且垂直于直線的平面是唯一確定的.）注意：1.法向量一定是非零向量；2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量,向量是與平面平行或在平面內(nèi),則有.空間中的點(diǎn)、直線和平面的向量表達(dá)式幾何元素向量表達(dá)式備注點(diǎn)直線平面二、例題梳理[例1][考點(diǎn)：求直線的方向向量、平面的法向量]如圖示,在長方體中,是的中點(diǎn),以為原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.直線方向向量求法：①取兩點(diǎn)②直線方向向量求法：①取兩點(diǎn)②定向量平面的法向量求法1(定義法):①找到②平面的法向量求法1(定義法):①找到②的即為平面的法向量.平面的法向量求法2(待定系數(shù)法):①設(shè)的法向量平面的法向量求法2(待定系數(shù)法):①設(shè)的法向量②求平面內(nèi)的兩個(gè)不向量.③列方程組④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.法向量的秒殺算法：法向量的秒殺算法：[變式]如圖,在四棱錐中,底面是正方形,底面,是的中點(diǎn),求平面和平面的一個(gè)法向量.[練習(xí)1]判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量;()(2)若是直線的方向向量,則也是直線的方向向量;()(3)在空間直角坐標(biāo)系中,是坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量.()[練習(xí)2]在平行六面體中,是與的交點(diǎn).以為空間的一個(gè)基底,求直線的一個(gè)方向向量.[練習(xí)3]在長方體中,.以為原點(diǎn),以為空間的一個(gè)單位正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量.三、課后作業(yè)[練習(xí)1]若直線過點(diǎn),則直線的一個(gè)方向向量可以是[練習(xí)2]已知,若直線的一個(gè)方向向量為,則[練習(xí)3]已知向量是平面的一個(gè)法向量,下列向量中能作為平面的法向量的是A.B.C.D.[練習(xí)4]如圖,在三棱錐中,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,