專題16 全等三角形中手拉手模型綜合應(yīng)用（解析版）

專題16全等三角形中手拉手模型綜合應(yīng)用模型歸納模型歸納類型一：等邊三角形中的手拉手模型類型二：等腰三角形中的手拉手模型類型三：等腰直角三角形中的手拉手模型類型四：作輔助線構(gòu)造手拉手模型類型：等邊三角形手拉手（1）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，▲ABC和▲CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N（2）連接MN（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°連AE:結(jié)論六：P點(diǎn)是▲ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。镜淅治觥俊绢愋鸵唬旱冗吶切沃械氖掷帜Ｐ汀俊镜淅?】閱讀與理解：如圖1，等邊△BDE按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊△ABC，將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，連接AD，CE，如圖2；在圖2中，請(qǐng)直接寫出線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的△BDE，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意一個(gè)角度α（60°＜α＜180°），連接AD，CE，AD與CE相交于點(diǎn)M，連BM，如圖3；在圖3中線段CE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？∠EMD的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠DMB的度數(shù)大小是否會(huì)隨著變化而變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）EC＝AD；∵將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，∴∠ABD＝∠CBE，在△EBC和△DBA中，，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O，∵將△BDE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度，∴∠EBC＝∠DBA＝α，∵△ABC與△BDE是等邊三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∴△EBC≌△DBA（SAS），∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，∵∠EOM＝∠DOB，∴∠EMD＝∠EBD＝60°，（3）不變，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，BF⊥EC于點(diǎn)F，∵△EBC≌△DBA，∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，∴BH＝BF，∴MB平分∠DMC，∴∠DMB＝，∴∠DMB的度數(shù)大小不變【變式1-1】如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，連接AD，BE相交于點(diǎn)P．（1）求證：BE＝AD．（2）求∠APB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，即∠APB＝60°．【變式1-2】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為；②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請(qǐng)直接寫出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠AEC＝∠BDC＝120°，故答案為：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案為：AE＝BD；（2）CM+AE＝BM，理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∠CDE＝45°，∴∠CDB＝135°，由（1）得△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD，∵∠CEB＝45°，∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴CM＝EM＝MD，∴CM+AE＝BM；（3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°，∴∠CDE＝72°，∴∠CDB＝108°，∵△ECA≌△DCB，∴∠CEA＝∠CDB＝108°，∴∠EAC+∠ECA＝72°，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°，∴∠CAB＝72°，∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°，【類型二：等腰三角形的手拉手模型】【典例2】在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠BAC＝90°，①求證：BD＝CE；②∠BCE＝；（2）設(shè)∠BCE＝a，∠BAC＝β，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，求證α+β＝180°；②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)，則a、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②由①知△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B，又∵∠BAC＝90°，∴∠BCE＝90°，故答案為：90°；（2）①證明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠B+∠ACB＝α，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②α＝β．理由如下：如圖，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．【變式2-1】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點(diǎn)M，BD交AC于點(diǎn)N．證明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠CAE＝∠BAD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE（2）∵△ABD≌△ACE∴∠ABN＝∠ACE∵∠ANB＝∠CND∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°∴∠CMN＝90°即BD⊥CE．【變式2-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADF．（1）如圖1，若當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），證明：△ACF≌△ABD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，試猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），（2）解：CF＝BD，CF⊥BD．理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°，∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD【類型三：直角三角形中的手拉手模型】【典例3】△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如圖1，當(dāng)D，B，C在同一直線時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F．求證：∠CFA＝90°；（2）當(dāng)△ABC與△BDE的位置如圖2時(shí)，CE的延長(zhǎng)線與AD交于點(diǎn)F，猜想∠CFA的大小并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)A，E，D在同一直線時(shí)（A，D在點(diǎn)E的異側(cè)），CE與AB交于點(diǎn)G，∠BAD＝∠ACE，求證：BG+AB＝AC．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可證△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【變式3-1】如圖：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE．發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，（1）請(qǐng)寫出BD和CE之間的位置關(guān)系為BD⊥CE，并猜想BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中BD和CE之間的位置關(guān)系；BC和CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE，∴BD⊥CE，故答案為：BD⊥CE；BC＝CD+CE；（2）BD⊥CE成立，數(shù)量關(guān)系不成立，關(guān)系為BC＝CE﹣CD．理由如下：如圖2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；【類型四：作輔助線構(gòu)造手拉手模型】【典例4】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E．作直線BE交射線AD于點(diǎn)F．連接CF．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，補(bǔ)全圖形，求∠AFB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如果∠α＝60°，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，用等式表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出線段AF、BF、CF之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如下，連接AE，∵點(diǎn)E為點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，設(shè)∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABCα．∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α，∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝x+α，∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；（2）①AF＝BF+CF．延長(zhǎng)FB至點(diǎn)G，使FG＝FA，連接AG，∵AB＝AC，∴∠ABC＝α＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BAC＝60°，由（1）知∠AFB＝α＝60°，∴△AFG為等邊三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAB＝∠FAC，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（SAS），∴BG＝CF，∴CF+BF＝BG+BF＝GF，∵GF＝AF，∴AF＝BF+CF；②結(jié)論為：CF＝AF+BF．連接AE．∵點(diǎn)E為點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，設(shè)∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC＝AE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠DAB＝x﹣60°，∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x，∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，在BE上取點(diǎn)G，使得FG＝FA，連接AG，∴△AFG為等邊三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，在△AGE與△AFB中，，∴△AGE≌△AFB（SAS），∴BF＝EG，∴EF＝EG+FG＝BF+AF，∴CF＝EF＝BF+AF．【變式4】如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)．（1）以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點(diǎn)D、E在直線AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，在CM上取一點(diǎn)F，連AF、DF，使得AF＝DF，試猜想△ADF的形狀，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）CE∥AB，證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE，∴CE∥AB；（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于點(diǎn)H，作FN⊥AC于點(diǎn)N，∵CM//AB，∴∠FCG＝∠B＝60°，∴△CFG是等邊三角形，∴CF＝FG，又∴∠ACF＝∠BAC＝60°，∴∠FCN＝∠G＝60°，∵∠FMC＝∠FHG＝90°，∴△NFC≌△HFG（AAS），∴NF＝FH，又∵AF＝DF，∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL），∴∠DFH＝∠AFN，∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC，即∠AFC＝∠DFG，∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC，∴∠AFD＝∠CFG＝60°，∴△ADF是等邊三角形．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．已知等邊△AOB和△COD．求證：AC＝BD．【解答】證明：∵△AOB和△COD是等邊三角形，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．2．如圖，等邊△ABC，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE．連接CE．求證：BD＝CE．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．【解答】解：∵CD⊥CP，∴∠PCD＝90°，∵PC＝CD＝2，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，又∵∠PCB+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD，在△ACP和△BCD中，，∴△ACP≌△BCD（SAS），∴BD＝PA＝3，∵PB＝1，∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9，∵PA2＝32＝9，∴PA2＝PB2+PD2，∴∠BPD＝90°，∵∠CPD＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．4．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形．（1）如圖1，線段BD與AE是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖1，若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，求∠BOE的度數(shù)．（3）如圖2，若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形．∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC，∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°，∴∠BOE的度數(shù)是120°；（3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝90°，∵CD＝DE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝5，由（1）同理得，△BCD≌△ACE，∴BD＝AE＝5．5．如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．求證：（1）∠CAF＝∠CBE；（2）△CEF是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝60°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，又∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，在△CAF和△CBE中，，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，∴△CEF是等邊三角形．6.以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD與BE相交于O，連結(jié)AO，如圖①所示．（1）求證：BE＝CD；（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說(shuō)明理由．（3）在EB上取點(diǎn)F，使EF＝OC，如圖②，請(qǐng)直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝DC；（2）解：∠AOD＝∠AOE，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DC于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABE＝∠ADC，又∵AD＝AB，∴△ADM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∵AM⊥OD，AN⊥OE，∴∠AOD＝∠A