高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 陳如邦 第十一章 概率

第十一章概率第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率一、隨機(jī)事件1.隨機(jī)現(xiàn)象在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和日常生活中，人們觀察到的現(xiàn)象是各種各樣的，但歸納起來(lái)大體上可分為兩類：

另一類是隨機(jī)現(xiàn)象，即在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行一系列試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且事先不能預(yù)知將會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性.例如，向上拋擲一枚均勻硬幣，落下后可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在每次拋擲之前無(wú)法肯定拋擲的結(jié)果是什么；某射手向同一目標(biāo)射擊多次，各次射擊的彈著點(diǎn)不盡相同，并且每次射擊之前無(wú)法預(yù)知彈著點(diǎn)的確切位置；抽樣檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的結(jié)果等等.人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象雖然就每次試驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)，具有不確定性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)下，其結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，多次拋擲一枚均勻的硬幣，得到正面朝上的次數(shù)大約是總拋擲次數(shù)的一半；某射手向同一目標(biāo)射擊的彈著點(diǎn)按照一定的規(guī)律分布等等.這種在大量重復(fù)試驗(yàn)下，其結(jié)果所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.2.隨機(jī)試驗(yàn)

盡管這些試驗(yàn)結(jié)果的情況不一樣，但它們都具有以下三個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是明確可知道的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)之前不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為試驗(yàn).3.隨機(jī)事件

隨機(jī)事件具有以下特點(diǎn)：（1）在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，即隨機(jī)性；（2）在相同的條件下重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，發(fā)生可能性的大小是確定的，即統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

二、事件的關(guān)系及運(yùn)算在研究隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)常常會(huì)涉及多個(gè)事件，而這些事件之間往往是有關(guān)系的.了解事件間的相互關(guān)系，便于我們通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解，去研究較復(fù)雜事件的規(guī)律.既然事件可以用集合來(lái)表示，那么事件的關(guān)系和運(yùn)算自然可以按照集合論中集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)處理.

三、隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即有其偶然性的一面.但是在相同的條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.不同事件發(fā)生的可能性有大小之分，而且這種可能性的大小是事件本身固有的一種屬性，它是可以用數(shù)字來(lái)度量的.概率就是刻劃事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo).我們先介紹概率的統(tǒng)計(jì)定義.1.事件的頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義

試驗(yàn)者投擲次數(shù)摩

根204810610.5181蒲

豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維

尼30000149940.4998表11-1“投擲硬幣”試驗(yàn)的幾個(gè)著名的記錄

2.概率的古典定義

古典概型是等可能概型.實(shí)際應(yīng)用中屬于古典概型的情況是很多的，例如：擲硬幣、摸球、產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)等試驗(yàn)，都屬于古典概型.

在解此例時(shí)，我們是采用羅列基本事件的方法，這種方法直觀、清楚，但是太繁瑣.在很多場(chǎng)合下，由于基本事件的總數(shù)很大，這種方法實(shí)際上是行不通的.因此在大多場(chǎng)合下，我們是利用計(jì)算排列數(shù)、組合數(shù)的方法，來(lái)分析求解古典概型問(wèn)題的.

3.概率的性質(zhì)由概率的定義，可以推出概率的一些基本性質(zhì)：

第十一章概率第二節(jié)

隨機(jī)事件概率的計(jì)算一、概率的加法公式

二、條件概率與乘法公式

例3

某企業(yè)有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人與40人.現(xiàn)從中任選一名職工，試問(wèn)：該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？已知選出的是男職工，他的技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？

這一關(guān)系是從本例得出的，但它具有普遍意義.

2．乘法公式

三、全概率公式概率論中往往希望從已知的簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率.為了達(dá)到這個(gè)目的，我們經(jīng)常把一個(gè)復(fù)雜事件分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件之和，再通過(guò)分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單事件的概率，最后利用概率的可加性得到最終結(jié)果.全概率公式在這里起著重要的作用.

為了介紹全概率公式，我們先引入完備事件組的概念.

四、事件的獨(dú)立性

五、伯努利(Bernoulli)概型在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們關(guān)心的是試驗(yàn)中某個(gè)事件是否會(huì)發(fā)生.例如，拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面；從一批產(chǎn)品中任取一件觀察它是否為正品；射擊一次觀察是否擊中目標(biāo).這種只考慮兩種可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn).

第十一章概率第三節(jié)

離散型隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念在第一節(jié)中，我們引進(jìn)了隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件等概念，在刻畫隨機(jī)事件時(shí)，我們采用語(yǔ)言描述等較繁瑣的定性方法，且只是考慮個(gè)別（至多是幾個(gè)）隨機(jī)事件的概率.為了深入全面地研究隨機(jī)現(xiàn)象，充分認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，使定量的數(shù)學(xué)處理成為可能，就必須將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，建立類似實(shí)函數(shù)的映射，這是“結(jié)果數(shù)量化”的有效可行的簡(jiǎn)單方法，這種隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們稱之為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的引入，使我們能夠利用微積分的方法來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)，用隨機(jī)變量來(lái)描述隨機(jī)現(xiàn)象是概率論中最重要的方法.

上述3例中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可以直接用數(shù)量來(lái)表示，但也有一些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量表示的，而是表現(xiàn)為某種屬性，此時(shí)也可數(shù)量化.

由此可見(jiàn)，引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)事件的研究即可轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量的研究，為利用微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具創(chuàng)造了條件.

二、離散型隨機(jī)變量及其分布

例如：例1中隨機(jī)變量ξ的分布律為

例4

設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布律為求常數(shù)c.

三、幾種常用的離散型隨機(jī)變量的分布

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單又常見(jiàn)的概率分布，例如拋硬幣試驗(yàn)，檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，藥物的毒性試驗(yàn)等都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述.

顯然，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況.

具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的，例如，某一時(shí)段進(jìn)入某商店的顧客數(shù)，某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，一天內(nèi)110報(bào)警臺(tái)接到的報(bào)警的次數(shù)，在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)等等，都服從泊松分布.

例9

一個(gè)工廠中生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任取1000件，計(jì)算（1）其中至少有兩件是廢品的概率；（2）其中不超過(guò)5件廢品的概率.

第十一章概率第四節(jié)

連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

反之，若一個(gè)函數(shù)具有上述兩條性質(zhì)，則它一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù).

二．分布函數(shù)

2．離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

3．連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

三、幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

正態(tài)分布是最常見(jiàn)的一種分布，在實(shí)際應(yīng)用中，許多隨機(jī)變量服從或接近服從正態(tài)分布，例如，測(cè)量誤差、農(nóng)作物的收獲量、人的身高與體重、射擊時(shí)彈著點(diǎn)與靶心的距離和某地區(qū)的年降水量等都可認(rèn)為服從正態(tài)分布.

有下列計(jì)算概率的公式：

四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第十一章概率第五節(jié)

隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

求該射手的平均每槍擊中的環(huán)數(shù).

所以在研究隨機(jī)變量取值的平均值時(shí)，不僅要考慮它的各個(gè)取值，還應(yīng)同時(shí)考慮取各個(gè)值相對(duì)應(yīng)的概率.

由定義可知，數(shù)學(xué)期望就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均，它刻劃了隨機(jī)變量取值的平均大小.由于一個(gè)隨機(jī)變量完全由它的分布所決定，因此隨機(jī)變量的期望又稱為分布