專題9 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計 (人教B版2019)

專題9導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步教學(xué)設(shè)計(人教B版2019)學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊——導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題

2.教學(xué)年級和班級：高中二年級一班

3.授課時間：2023年10月10日

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）核心素養(yǎng)目標1.邏輯推理：使學(xué)生能夠通過導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，運用轉(zhuǎn)化的思想方法，推理出同構(gòu)問題的解題思路。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

3.直觀想象：通過圖形演示，幫助學(xué)生直觀地理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

4.數(shù)學(xué)運算：訓(xùn)練學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)運算規(guī)則，準確高效地解決同構(gòu)問題，提高學(xué)生的運算能力。

5.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處理數(shù)據(jù)的能力，通過實例讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在同構(gòu)問題中的應(yīng)用。學(xué)情分析高中二年級一班的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面整體水平較高，大部分學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力。他們在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的基本概念和運算規(guī)則，對于利用導(dǎo)數(shù)解決一些實際問題也有一定的理解。

在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生們對于新知識的學(xué)習(xí)和接受能力較強，他們能夠快速掌握課本中的新概念和原理。同時，他們也具備一定的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力，能夠在課堂上積極思考和討論問題。

在知識掌握方面，大部分學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和運算法則已經(jīng)有所了解，但可能在應(yīng)用方面還存在一定的困難。他們可能對于一些復(fù)雜同構(gòu)問題的解決還不夠熟練，需要通過實例和練習(xí)來進一步鞏固和提高。

在素質(zhì)方面，學(xué)生們整體的行為習(xí)慣良好，他們能夠按時上課并積極參與課堂活動。大多數(shù)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)科有一定的興趣和熱情，愿意投入時間和精力進行學(xué)習(xí)和研究。

對于本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生們可能對于導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題還沒有接觸過，因此需要通過具體的實例和講解來引導(dǎo)他們理解和掌握。他們需要通過觀察和分析實例，運用轉(zhuǎn)化的思想方法來解決同構(gòu)問題。

在教學(xué)過程中，我會根據(jù)學(xué)生的實際情況進行針對性的教學(xué)設(shè)計和調(diào)整。對于理解能力較強和基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以適當(dāng)增加一些拓展的內(nèi)容和挑戰(zhàn)性的問題，讓他們能夠進一步提升自己的數(shù)學(xué)能力。對于理解能力相對較弱的學(xué)生，可以通過詳細的講解和例題來幫助他們理解和掌握同構(gòu)問題的解決方法。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法

針對本節(jié)課的內(nèi)容，我選擇采用講授法和案例研究法進行教學(xué)。講授法能夠系統(tǒng)地傳授知識，幫助學(xué)生建立完整的知識體系；案例研究法則能夠讓學(xué)生通過分析實際案例，深入理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題。

2.教學(xué)活動設(shè)計

（1）導(dǎo)入：通過一個簡單的實際問題引出同構(gòu)問題的概念，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心。

（2）新課講解：運用講授法，系統(tǒng)地介紹導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，結(jié)合具體的例題進行講解，讓學(xué)生清晰地掌握解題思路和方法。

（3）案例分析：組織學(xué)生進行案例研究，讓學(xué)生分組討論并分析具體的同構(gòu)問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

（4）練習(xí)與反饋：布置一些具有代表性的題目，讓學(xué)生進行練習(xí)，及時給予反饋和解答疑問，幫助學(xué)生鞏固知識。

3.教學(xué)媒體和資源

（1）PPT：制作精美的PPT，展示導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題和相關(guān)例題，方便學(xué)生跟隨教學(xué)進度，強化視覺印象。

（2）視頻：引用一些教學(xué)視頻，以動態(tài)、直觀的方式展示同構(gòu)問題的解決過程，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。

（3）在線工具：利用在線工具進行數(shù)學(xué)模擬和演示，讓學(xué)生更加直觀地感受導(dǎo)數(shù)在同構(gòu)問題中的應(yīng)用。

（4）教材和輔導(dǎo)資料：提供相應(yīng)的教材和輔導(dǎo)資料，方便學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標和要求。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題知識點。

-思考預(yù)習(xí)問題：針對預(yù)習(xí)問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺、微信群等，實現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，為課堂學(xué)習(xí)做好準備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個具體的實際問題引出導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識點：詳細講解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題思路和方法，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論、案例分析等活動，讓學(xué)生在實踐中掌握解題技能。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論、案例分析等活動，體驗解題過程。

-提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題思路。

-實踐活動法：設(shè)計實踐活動，讓學(xué)生在實踐中掌握解題技能。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題思路，掌握解題技能。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題相關(guān)的拓展資源（如書籍、網(wǎng)站、視頻等），供學(xué)生進一步學(xué)習(xí)。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題的解題思路和技能。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理1.導(dǎo)數(shù)的基本概念

-導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是其在該點的切線斜率。

-導(dǎo)數(shù)的計算：利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則進行計算。

2.同構(gòu)問題的概念

-同構(gòu)問題的定義：兩個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)具有相同的導(dǎo)數(shù)，則這兩個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)稱為同構(gòu)的。

-同構(gòu)問題的性質(zhì)：同構(gòu)函數(shù)具有相同的單調(diào)性、極值等性質(zhì)。

3.同構(gòu)問題的解題思路

-轉(zhuǎn)化思想：將同構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)區(qū)間、極值等問題。

-構(gòu)造函數(shù)：通過構(gòu)造輔助函數(shù)，將復(fù)雜問題簡化，便于求解。

-利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：運用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等，解決問題。

4.同構(gòu)問題的解決步驟

-確定區(qū)間：找出兩個函數(shù)的定義域，確定它們在哪個區(qū)間內(nèi)是同構(gòu)的。

-求導(dǎo)數(shù)：分別求出兩個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)。

-比較導(dǎo)數(shù)：比較兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，驗證它們是否相等。

-解決問題：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，解決同構(gòu)問題。

5.同構(gòu)問題的應(yīng)用

-實際問題：將實際問題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

-數(shù)學(xué)建模：在同構(gòu)問題的解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

-拓展研究：探索同構(gòu)問題在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)、化學(xué)等。

6.同構(gòu)問題的練習(xí)題型

-選擇題：考查學(xué)生對同構(gòu)概念、性質(zhì)和解決方法的掌握。

-填空題：考查學(xué)生對同構(gòu)問題中相關(guān)概念和公式的記憶。

-解答題：考查學(xué)生解決實際同構(gòu)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

7.同構(gòu)問題的解題技巧

-觀察法：通過觀察函數(shù)圖像，找出同構(gòu)的區(qū)間和對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值。

-代入法：將一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值代入另一個函數(shù)中，驗證是否滿足同構(gòu)條件。

-構(gòu)造法：通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，將同構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。重點題型整理1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，求其導(dǎo)數(shù)f'(x)。

（2）解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則進行計算。

（3）示例：求函數(shù)f(x)=x^2的導(dǎo)數(shù)。

f'(x)=2x

2.判斷函數(shù)的單調(diào)性

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，判斷其在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

（2）解題思路：求出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。

（3）示例：判斷函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性。

f'(x)=2x，在區(qū)間[-1,1]上，f'(x)>0，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增。

3.求函數(shù)的極值

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，求其在某區(qū)間內(nèi)的極值。

（2）解題思路：求出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，找出導(dǎo)數(shù)為0的點，判斷這些點是否為極值點，并計算極值。

（3）示例：求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的極值。

f'(x)=2x，導(dǎo)數(shù)為0的點為x=0，f(0)=0，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的極小值為0。

4.解決同構(gòu)問題

（1）題型描述：已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)，求證它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（2）解題思路：求出兩個函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，比較導(dǎo)數(shù)是否相等，進而證明它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（3）示例：求證函數(shù)f(x)=x^2和g(x)=2x在同構(gòu)區(qū)間[0,2]內(nèi)同構(gòu)。

f'(x)=2x，g'(x)=2x，在區(qū)間[0,2]上，f'(x)=g'(x)，因此函數(shù)f(x)和g(x)在同構(gòu)區(qū)間[0,2]內(nèi)同構(gòu)。

5.應(yīng)用同構(gòu)問題解決實際問題

（1）題型描述：將實際問題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

（2）解題思路：根據(jù)實際問題的特點，構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解問題。

（3）示例：一個物體在重力作用下從高度h自由落下，求其在下落過程中的速度和加速度。

設(shè)物體下落的高度為h(t)，則h(t)=h-1/2gt^2，物體下落的速度為v(t)=gt，加速度為a(t)=g。利用導(dǎo)數(shù)求解物體在任意時刻的速度和加速度。

七、重點題型整理

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，求其導(dǎo)數(shù)f'(x)。

（2）解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則進行計算。

（3）示例：求函數(shù)f(x)=x^2的導(dǎo)數(shù)。

f'(x)=2x

2.判斷函數(shù)的單調(diào)性

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，判斷其在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

（2）解題思路：求出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。

（3）示例：判斷函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性。

f'(x)=2x，在區(qū)間[-1,1]上，f'(x)>0，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增。

3.求函數(shù)的極值

（1）題型描述：已知函數(shù)f(x)，求其在某區(qū)間內(nèi)的極值。

（2）解題思路：求出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，找出導(dǎo)數(shù)為0的點，判斷這些點是否為極值點，并計算極值。

（3）示例：求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的極值。

f'(x)=2x，導(dǎo)數(shù)為0的點為x=0，f(0)=0，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的極小值為0。

4.解決同構(gòu)問題

（1）題型描述：已知兩個函數(shù)f(x)和g(x)，求證它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（2）解題思路：求出兩個函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，比較導(dǎo)數(shù)是否相等，進而證明它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（3）示例：求證函數(shù)f(x)=x^2和g(x)=2x在同構(gòu)區(qū)間[0,2]內(nèi)同構(gòu)。

f'(x)=2x，g'(x)=2x，在區(qū)間[0,2]上，f'(x)=g'(x)，因此函數(shù)f(x)和g(x)在同構(gòu)區(qū)間[0,2]內(nèi)同構(gòu)。

5.應(yīng)用同構(gòu)問題解決實際問題

（1）題型描述：將實際問題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

（2）解題思路：根據(jù)實際問題的特點，構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解問題。

（3）示例：一個物體在重力作用下從高度h自由落下，求其在下落過程中的速度和加速度。

設(shè)物體下落的高度為h(t)，則h(t)=h-1/2gt^2，物體下落的速度為v(t)=gt，加速度為a(t)=g。利用導(dǎo)數(shù)求解物體在任意時刻的速度和加速度。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，主要內(nèi)容包括：

-導(dǎo)數(shù)的基本概念和計算方法

-同構(gòu)問題的定義和性質(zhì)

-解決同構(gòu)問題的思路和步驟

-同構(gòu)問題的應(yīng)用和實際意義

2.當(dāng)堂檢測

（1）求函數(shù)f(x)=x^3的導(dǎo)數(shù)。

（2）判斷函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性。

（3）求函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上的極值。

（4）已知函數(shù)f(x)和g(x)，求證它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（5）將實際問題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。

八、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測

1.課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題，主要內(nèi)容包括：

-導(dǎo)數(shù)的基本概念和計算方法

-同構(gòu)問題的定義和性質(zhì)

-解決同構(gòu)問題的思路和步驟

-同構(gòu)問題的應(yīng)用和實際意義

2.當(dāng)堂檢測

（1）求函數(shù)f(x)=x^3的導(dǎo)數(shù)。

（2）判斷函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性。

（3）求函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間[-1,1]上的極值。

（4）已知函數(shù)f(x)和g(x)，求證它們在同構(gòu)區(qū)間內(nèi)同構(gòu)。

（5）將實際問題轉(zhuǎn)化為同構(gòu)問題，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題。教學(xué)反思與改進為了改進這些問題，我計劃在未來的教學(xué)中采取以下措施：

首先