4-機械制圖-第三章

基本體第3章機件是由棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等基本形體，或帶切口、切槽等結構不完整的基本形體所組成的組合體。圖3-1（a）為一六角螺栓毛坯，它是由圓柱體和正六棱柱組合而成的；圖3-1（b）為一手柄，它是由圓球、圓臺和圓柱體組合而成的；圖3-1（c）為一半圓頭螺釘毛坯，它是由圓柱體和開有通槽的半圓球組合而成的。由此可見，為了正確表達機件，必須對基本形體和經(jīng)過組合后的組合體，進行形體分析和投影分析。（a）（c）圖3-1常見的簡單機器零件（b）3.1基本體的形體及其投影按立體表面不同，基本體可分為平面立體和曲面立體兩類。其中，平面立體是指表面均為平面的基本體，曲面立體是指表面由曲面或曲面和平面組成的基本體。3.1.1平面立體由于平面立體是由平面圍成的，因此，投影圖上的平面立體可通過組成立體的平面和棱線按其可見性表示出來?？梢娸喞€畫成粗實線，不可見輪廓線畫成細虛線。工程上常見的平面立體有棱柱、棱錐、棱臺等。3.1.1平面立體1．棱柱棱柱一般是由上、下底面和側棱面組成的。棱柱有直棱柱和斜棱柱，這里僅介紹直棱柱。（1）棱柱的形體特征3.1.1平面立體直棱柱的頂面和底面是全等且互相平行的多邊形，這兩個多邊形決定棱柱的形狀，因此，頂面和底面稱為特征面；直棱柱的矩形側面、側棱垂直于頂面和底面。如圖3-2（a）所示，正六棱柱的頂面、底面是全等且互相平行的正六邊形，六個矩形側面和六個側棱都垂直于正六棱柱的頂面和底面。3.1.1平面立體如圖3-2（b）所示，正六棱柱上、下兩底面均為水平面，它們的水平投影重合并反映實形。六個棱面中的前、后兩個為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側面投影分別積聚為直線；其余四個棱面均為鉛垂面，它們的水平投影均積聚為直線，正面投影和側面投影均為類似形。（2）棱柱投影分析3.1.1平面立體（a）圖3-2正六棱柱的投影及表面取點（b）3.1.1平面立體棱柱三視圖的特點如下。（3）棱柱三視圖的特點及其作圖步驟12特征面在與特征面平行的投影面上的投影為多邊形，并反映特征面的實形。此多邊形線框稱為特征形線框，此視圖稱為特征視圖。另兩個投影面上的投影均由一個或多個相鄰的矩形組成，它們?yōu)橐话阋晥D。3.1.1平面立體棱柱三視圖畫的作圖步驟如下。1畫特征視圖（多邊形）。畫另外兩個一般視圖（矩形）。當棱柱是對稱形時，應先畫對稱中心線，然后再按上述步驟畫棱柱三視圖。3.1.1平面立體（4）棱柱表面上點的投影在平面立體表面上取點，關鍵是先找出點所在平面在三視圖中的投影位置，然后利用平面上點的投影特性作圖，即可得到該點。3.1.1平面立體【例3-1】如圖3-2（b）所示，已知棱柱側面ABCD上點M的正面投影m′，求作點M的另兩面投影。由于點M所屬側面ABCD為鉛垂面，因此，點M的水平投影必在該側面積聚投影abcd直線段上。由點m′可求得點m，再由m，m′可求出點m″。3.1.1平面立體判斷點投影的可見性時，若點所在面的投影是可見的，則該點的同名投影也是可見的，反之不可見。當點的投影在面積聚的直線上時，一般不必判斷其可見性。3.1.1平面立體2．棱錐棱錐表面是由一底面和若干側面組合而成的。棱錐底面為特征面，它的形狀為多邊形；棱錐各側面為若干具有公共頂點的三角形。從棱錐頂點到底面的距離為棱錐的高。正棱錐的底面為正多邊形。（1）棱錐的形體特征3.1.1平面立體圖3-3（a）所示為一正三棱錐，它的表面由一個底面（正三邊形）和三個側棱面（等腰三角形）圍成，其底面平行于水平投影面，一個棱面垂直于側投影面。（2）棱錐的投影分析3.1.1平面立體由于棱錐底面△ABC為水平面，所以它的水平投影反映實形，其正面投影和側面投影分別積聚為直線段a′b′c′和a″(c″)b″。棱面△SAC為側垂面，它的側面投影積聚為一斜線段s″a″(c″)，正面投影和水平投影為類似形△s′a′c′和△sac，前者為不可見，后者可見。棱面△SAB和△SBC均為一般位置平面，它們的三面投影均為類似形。3.1.1平面立體棱線SB為側平線，棱線SA，SC為一般位置直線，棱線AC為側垂線，棱線AB，BC為水平線。3.1.1平面立體棱錐三視圖的特點如下。（3）棱錐三視圖的特點及其作圖步驟①特征面（底面）在與特征面平行的投影面上的投影外線框為多邊形，反映特征面實形；內線框則由數(shù)個有公共頂點的三角形所組成，這個視圖稱為特征形視圖。②另兩個投影面上的投影為單個或多個具有公共頂點的三角形組成，它們?yōu)橐话阋晥D。3.1.1平面立體棱錐三視圖的作圖步驟如下。①畫底面的各個投影。先畫反映底面實形的投影，再畫底面的積聚性直線段投影。②畫錐頂?shù)母鱾€投影。③將錐頂與底面各頂點的同名投影連線，即得棱錐三視圖。3.1.1平面立體（4）棱錐表面上點的投影由于組成三棱錐的表面，既有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上的點的投影，可利用積聚性投影直接作圖求得；一般位置平面上的點的投影需通過作輔助線求得。3.1.1平面立體【例3-2】如圖3-3（b）所示，已知正三棱錐表面上點M的正面投影m′和點N的水平面投影n，求作點M，N的其余投影。（a）圖3-3正三棱錐的投影及表面取點（b）3.1.1平面立體由于m′可見，因此點M必定在△SAB上。△SAB是一般位置平面，需采用輔助線法。過點M及錐頂點S作一條直線SK，與底邊AB交于點K。過點m′作直線s′k′，然后再作出其水平投影sk。由于點M屬于直線SK，根據(jù)點在直線上的從屬性質可知m必在sk上，求出水平投影m，然后再根據(jù)m，m′求出m″，如圖3-3（b）所示。3.1.1平面立體由于n可見，故點N必定在棱面△SAC上。棱面△SAC為側垂面，它的側面投影積聚為直線段s″a″（c″），因此n″必在s″a″（c″）上，然后根據(jù)點n，n″即可求出n′。3.1.1平面立體3．棱臺棱臺可看成由平行于底面的平面截去棱錐頂部而形成，如圖3-4所示。棱臺的形體特征、投影分析、三視圖特點及作圖步驟、表面上求點的投影，可仿照棱錐進行分析。3.1.1平面立體圖3-4棱臺的立體圖和三視圖3.1.2回轉體工程上常見的曲面立體為回轉體。由一條母線（直線或曲線）繞定軸旋轉而形成的曲面，稱為回轉面。表面是回轉面或平面與回轉面的立體，稱為回轉體。

常見的回轉體有圓柱體、圓錐體、圓臺、圓球、圓環(huán)體等。3.1.2回轉體由于回轉面是光滑曲面，所以其投影圖（視圖）僅畫出曲面對應投影面可見與不可見的分界線即可，此分界線稱為視圖的輪廓線。3.1.2回轉體1．圓柱體圓柱體是由圓柱面和上、下兩個底面所圍成。如圖3-5所示，圓柱體可看成是由一條直線AA1（母線）繞與其平行的軸OO1旋轉而成。圓柱面上任意一條與軸線OO1平行的直線，稱為圓柱面素線。3.1.2回轉體圖3-5圓柱體的形成圖3.1.2回轉體如圖3-6（a）所示，圓柱體軸線垂直于H面，圓柱體的上、下底面為水平面，它們的水平投影反映實形，正面和側面投影積聚為直線；圓柱面的水平投影積聚為圓，圓柱面上任何點、線的投影都重合在此圓上，圓柱面的正面投影和側面投影都是矩形線框。3.1.2回轉體如圖3-6（b）所示，圓柱體的正面投影為矩形，其左右兩邊a′a1′和b′b1′是圓柱面最左和最右兩條素線AA1和BB1的投影，也是圓柱面前半部可見、后半部不可見的分界線，即圓柱體主視圖的輪廓線。

AA1和BB1的水平投影積聚為點a（a1），b（b1），它們的側面投影與軸線投影的點畫線重合，由于圓柱面是光滑的，所以不再畫線。3.1.2回轉體圖3-6圓柱體的三視圖（a）3.1.2回轉體如圖3-6（b）所示，圓柱體的側面投影為矩形，其左右兩邊c′′c1′′和d′′d1′′是圓柱面最前和最后兩條素線CC1和DD1的投影，也是圓柱面前半部可見、后半部不可見的分界線，它們的水平投影積聚為點c（c1），d（d1），正面投影與軸線投影的點畫線重合，由于圓柱面是光滑的，所以不再畫線。3.1.2回轉體圖3-6圓柱體的三視圖（b）3.1.2回轉體圓柱體的對稱中心線以及軸線的投影都用點畫線表示，其他回轉體的對稱中心線以及軸線的投影也是用點畫線表示。3.1.2回轉體圓柱體三視圖的特點如下。①在與圓柱體軸線垂直的投影面上，圓柱體的投影為圓。②在與圓柱體軸線平行的兩個投影面上，圓柱體的投影為兩個全等的矩形。（3）圓柱體三視圖的特點及其作圖步驟3.1.2回轉體①在三視圖中畫圓的中心線和圓柱體的軸線。②畫投影為圓的視圖。③畫投影為矩形的另外兩個視圖。圓柱體三視圖的特點如下。3.1.2回轉體（4）圓柱面上點的投影圓柱面上點的投影，均可借助圓柱面投影的積聚性求得。3.1.2回轉體【例3-3】如圖3-7所示，已知圓柱面上點M和N的正面投影為m′和n′，求點M和N的其他兩面投影。圖3-7圓柱面上點的投影3.1.2回轉體由于圓柱面的水平投影積聚為圓，則圓柱面上點的水平投影一定重影在圓上。又由于m′可見，故點M必在前半個圓柱面上，因此，由m′可求得m，再由m′和m可求得m″，點m″為可見。點n′在圓柱正面投影右邊輪廓線上，由點n′可直接求得點n和n′′，點（n′′）為不可見。3.1.2回轉體2．圓錐體圓錐體是由圓錐面和底面所圍成。如圖3-8所示，圓錐體可看作是一條直母線SA圍繞與它相交一定角度的軸線SQ1旋轉而成。在圓錐面上通過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。母線上任意一點的運動軌跡為圓。3.1.2回轉體圖3-8圓錐體的形成3.1.2回轉體如圖3-9所示，圓錐體的軸線垂直于H面；底面的水平投影為圓，其正面投影和側面投影都積聚為直線。3.1.2回轉體圖3-9圓錐體的三視圖（a）（b）3.1.2回轉體圓錐面在三個投影面上的投影都沒有積聚性，其在水平投影面上的投影與底面投影重合，且全部可見；其正面投影為等腰三角形，等腰三角形的兩腰s′a′，s′b′分別表示圓錐最左SA、最右SB素線的投影，也是圓錐面前半部可見、后半部不可見的分界線，即圓錐體主視圖的輪廓線，SA，SB的水平投影sa，sb與圓錐體的橫向對稱中心線重合，SA，SB的側面投影s′′a′′（b′′）與圓錐體的軸線重合，由于圓錐面是光滑曲面，所以都不畫出。3.1.2回轉體圓錐體側面投影的等腰三角形及兩腰s′′c′′，s′′d′′，讀者可按上述方法進行分析，說明其投影含義，并找出其他兩個投影面上的投影位置。3.1.2回轉體圓錐體三視圖的特點如下。①②在與圓錐體軸線垂直的投影面上，圓錐體的投影為圓。在與圓錐體軸線平行的兩個投影面上，圓錐體的投影為兩個全等的等腰三角形。在三視圖中畫圓的中心線和圓錐體的軸線。3.1.2回轉體圓錐體三視圖的特點如下。畫底面的各個投影。先畫底面的俯視圖（底圓的實形），再畫底面的其他兩個視圖。畫頂點的各個投影。畫圓錐輪廓線。④③②①3.1.2回轉體【例3-4】如圖3-10（b）所示，已知圓錐體上點M和N的正面投影m′和n′，求點M和N的其他兩面投影。由于點M處在圓錐體正面投影的左輪廓線SA上，點N處在圓錐體側面投影的前輪廓線SB上，因此，由點m′可求得點m，m′′；由點n′可求得點n′′，再由點n′′求得點n，如圖3-10（c）所示。點M和N的三面投影均可見。3.1.2回轉體圖3-10圓錐面上點的投影（一）（a）（b）（c）3.1.2回轉體【例3-5】如圖3-11（b）所示，已知點M的V面投影m′，求點M的其他兩面投影。由于圓錐面的投影沒有積聚性，求點M的另兩個投影，必須過圓錐面上點M引輔助線，然后在輔助線的投影上確定點M的投影。3.1.2回轉體過錐頂S和圓錐面上點M引輔助線SA，SA為圓錐面上的素線。作圖時，過點m′引s′a′，再由s′a′求得sa，然后由點m′求得點m，最后再由m′和m求得m′′，如圖3-11（c）所示。3.1.2回轉體圖3-11圓錐面上點的投影（二）（a）（b）（c）3.1.2回轉體過圓錐面上點M作一垂直于圓錐軸線且平行H面的輔助圓，該圓的正面投影積聚直線a′b′，水平投影為圓（直徑為ab），點M的投影從屬于輔助圓的同名投影，即由點m′可求得m，再由m′，m可求得m′′，如圖3-12所示。3.1.2回轉體圖3-12圓錐面上點的投影（三）（a）（b）3.1.2回轉體3．圓臺如圖3-13所示，圓臺可看成圓錐體被與圓錐體軸線垂直的平面切去圓錐體頂部而形成。圓臺的三個視圖中，一個是同心圓，另兩個是等腰梯形。圓臺的形體特征、投影分析、三視圖特點及作圖步驟、表面上求點的投影，讀者可參照圓錐體進行分析。3.1.2回轉體圖3-13圓錐臺的投影和立體圖3.1.2回轉體4．圓球如圖3-14（a）所示，圓球可看成是以半圓為母線，繞其直徑旋轉而成的。母線半圓上任意點M的運動軌跡為大小不等的圓。3.1.2回轉體圖3-14圓球的立體圖和三視圖（a）（b）（c）3.1.2回轉體圓球任何方向的投影都是等徑的圓。圖3-14（c）所示三個圓a，b′，c′′分別表示三個不同方向上圓球輪廓線的投影。3.1.2回轉體圖3-14圓球的立體圖和三視圖（a）（b）（c）3.1.2回轉體主視圖中的圓b′是前半個球面可見和后半個球面不可見的分界線，也是球面上前后方向輪廓圓B在主視圖上的投影，其在俯視圖和左視圖中的投影b，b′′直線與相應視圖中圓的中心線重合，不畫該直線。俯視圖中的圓a是上半個球面可見和下半個球面不可見的分界線，也是球面上下方向輪廓圓A在俯視圖上的投影，其在主視圖和左視圖中的投影a′，a′′直線與相應視圖中圓的中心線重合，不畫該直線。3.1.2回轉體圓球的三視圖都是圓。作圓球的三視圖時，應先畫三視圖中圓的中心線，然后再畫圓。3.1.2回轉體雖然圓球投影沒有積聚性，圓球面也不能引直線，但圓球被任何位置平面截切時，截切面與圓球面的交線都是圓。因此，圓球面上取點，可通過已知點在球面上作平行投影面的輔助圓（緯圓）來求得。3.1.2回轉體【例3-6】如圖3-15（b）所示，已知點M的正面投影m′，點N的水平投影n，求點M，N的其他兩面投影。點M處在前半圓球和后半圓球的分界線上，即在圓球正面輪廓線上，由點m′可直接求得點m，m′′。點N處在上半圓球和下半圓球的分界線上，即在圓球水平輪廓線上，由點n可直接求得n′，n′′，如圖3-15（b）所示。點M，N的投影分析如圖3-15（a）和圖3-15（c）所示。由于點N從屬于右半球面上，所以點（n′′）為不可見，其他點均可見。3.1.2回轉體圖3-15圓球輪廓線上點的投影（a）直觀圖（b）求作步驟（c）投影分析3.1.2回轉體【例3-7】如圖3-16（a）所示，已知圓球面上點M的正面投影m′，求點M的其他兩面投影。如圖3-16（a）所示，過圓球面上點M作一水平緯圓，正面投影積聚為e′f′直線，水平投影為圓，其直徑等于e′f′，由于點M從屬于該圓，故由點m′可求得m，再由m′，m可求得點m′′。由于點M在左上半球面上，所以點m，m′′均可見。此題也可按圖3-16（b）和圖3-16（c）作圖求解。3.1.2回轉體圖3-16圓球面上點的投影（a）作水平輔助圓取點（b）作正平輔助圓取點（c）作側平輔助圓取點3.1.2回轉體5．圓環(huán)體如圖3-17（a）所示，圓環(huán)體可看成一圓母線，繞著與圓平面共面，但不通過圓心的軸線旋轉而成的。圓環(huán)體的外環(huán)面是由圓弧旋轉而成，圓環(huán)體的內環(huán)面是圓弧旋轉而成。3.1.2回轉體圖3-17（b）所示，圓環(huán)體軸線垂直于V面，正面投影中的兩個同心圓是前半圓環(huán)體和后半圓環(huán)體分界線（圓環(huán)體最大圓和最小圓）的投影，也是圓環(huán)體正面輪廓線；點畫線圓表示母線圓中心運動軌跡的投影。3.1.2回轉體圖3-17圓環(huán)體的投影（a）（b）3.1.2回轉體在水平投影中，兩個小圓是圓環(huán)體最左、最右素線圓的水平投影，由于內環(huán)面從上往下看為不可見，所以靠近軸線的兩個半圓用虛線表示；與兩個小圓相切的輪廓線，是內外環(huán)面分界圓的投影。3.2基本體的截交線在機件中，常常存在平面與立體、立體與立體相交而產(chǎn)生的交線。其中，平面與立體相交而產(chǎn)生的交線，稱為截交線，如圖3-18（a）所示；兩立體相交而產(chǎn)生的交線，稱為相貫線，如圖3-18（b）所示。立體被平面截切后的形體稱為截斷體，該平面稱截平面，截平面與立體表面的交線稱截交線，由截交線所圍成的平面稱截斷面，如圖3-18（a）所示。3.2基本體的截交線截交線的形狀和大小取決于被截的立體形狀和截平面與立體的相對位置。任何截交線都具有以下兩個基本性質。截交線是一個封閉的平面形（平面折線，平面曲線或兩者的組合）。截交線是截平面與立體表面的共有線，是共有點的集合。①

②3.2基本體的截交線因此，求作截交線就是求截平面與立體表面一系列共有點的集合，然后將共有點的同名投影連線即可判斷可見性。求作共有點時，可采用立體表面求點法。3.2基本體的截交線圖3-18機件表面交線實例（a）截交線（b）相貫線3.2.1平面立體的截交線平面立體的截交線是平面多邊形，多邊形的各邊是截平面與平面立體棱面的交線，多邊形各頂點是截平面與棱線（或底邊）的交點，如圖3-19（a）所示。因此，平面立體截交線的作圖方法應可采用棱面或棱線求點法。3.2.1平面立體的截交線1．棱柱的截交線【例3-8】求圖3-19（a）所示切口四棱柱的三視圖。四棱柱被正垂面P切去一角，截交線為五邊形ABCDE。截交線的正面投影積聚在斜線上，反映切口特征；截交線的水平投影和側面投影是五邊形的類似形。3.2.1平面立體的截交線作圖：作圖步驟如下。畫完整四棱柱的三視圖，如圖3-19（b）所示。①畫主視圖斜線及俯視圖線cd，然后利用棱線求點法求得側面投影點a′′，b′′，c′′，d′′，e′′，并按順序連成五邊形，如圖3-19（c）所示。②擦去被切去的棱線，并判斷棱線的可見性，如圖3-19（d）所示。③3.2.1平面立體的截交線圖3-19切口四棱柱（a）（b）（c）（d）3.2.1平面立體的截交線2．棱錐的截交線【例3-9】如圖3-20（a）所示，已知帶切口正三棱錐的正面投影，求其另兩面投影。該正三棱錐的切口是由兩個相交的截平面切割而形成的。兩個截平面中，一個是水平面，一個是正垂面，它們都垂直于正面，因此切口的正面投影具有積聚性。3.2.1平面立體的截交線水平截面與三棱錐的底面平行，因此它與棱面△SAB和△SAC的交線DE，DF必分別平行與底邊AB和AC，水平截面的側面投影積聚成一條直線。正垂截面分別與棱面△SAB和△SAC交于直線GE，GF。由于兩個截平面都垂直于正面，所以兩截平面的交線一定是正垂線，作出以上交線的投影即可得出所求投影，如圖3-20（b）和圖3-20（c）所示。3.2.1平面立體的截交線圖3-20帶切口正三棱錐的投影（a）（b）（c）3.2.2回轉體的截交線回轉體截交線一般是封閉的平面曲線，特殊情況下為直線。截交線上任一點都可看作是截平面與回轉面素線（直線或曲線）的交點。因此，在回轉面上作出適當數(shù)量的輔助線（素線或緯線），求出它們與截平面的交點的投影，然后依次連成光滑曲線，即得截交線。3.2.2回轉體的截交線截交線上處于最左、最右、最前、最后、最高、最低的點以及視圖輪廓線上的極限點稱為特殊點。特殊點是限定截交線的范圍、趨勢以及判斷可見性的依據(jù)，也是作相貫線投影時應先求的點。3.2.2回轉體的截交線1．圓柱體的截交線截平面與圓柱體軸線的相對位置不同，所得截交線形狀不同，如表3-1所示。3.2.2回轉體的截交線表3-1圓柱體的截交線3.2.2回轉體的截交線【例3-10】如圖3-21（a）所示，一圓柱體被正垂面截切，求其截交線的投影。截平面（正垂面）與圓柱體的軸線傾斜，故截交線為橢圓。此橢圓的正面投影積聚為直線，其水平投影與圓柱面的積聚性投影圓相重合，其側面投影為橢圓類似形。由于截交線的兩個投影都具有積聚性（已知投影），因此，應采用積聚性取點法，找出對應兩個已知點的投影，然后再采用“二求三”求出相應第三點。3.2.2回轉體的截交線圖3-21圓柱體的截交線（a）3.2.2回轉體的截交線作圖：作圖步驟如下。求特殊點。橢圓的長軸兩端點Ⅰ，Ⅴ既分別是最低點、最高點，又分別是最左點和最右點，它們的正面投影在左右輪廓線上；橢圓的短軸兩端點Ⅲ，Ⅶ為最前點和最后點，它們的側面投影在前后輪廓線上。Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ，Ⅶ這四個點都是橢圓交線上的特殊點，作圖時，先定出它們的正面投影1′，3′（7′），5′，然后求得點1′′，3′′，7′′，5′′，如圖3-21（b）所示。①3.2.2回轉體的截交線圖3-21圓柱體的截交線（b）3.2.2回轉體的截交線補充一般點。采用積聚性求點法求得一般點。作圖時，先在水平投影定出截交線上點2，4，6，8（用等分圓得對稱點），然后求得點2′（8′），4′（6′），然后再按“二求三”求得點2′′，4′′，6′′，8′′，如圖3-21（c）所示。②連成光滑曲線。

按順序將側面投影點1′′，2′′，3′′……連成光滑曲線，去除多余線條，然后再描深，即得截交線的投影圖，如圖3-21（d）所示。③3.2.2回轉體的截交線圖3-21圓柱體的截交線（c）（d）3.2.2回轉體的截交線此題中，在求出長、短軸的四個特殊點后，也可用四心橢圓畫法近似畫出橢圓。3.2.2回轉體的截交線【例3-11】如圖3-22（a）所示，已知切口圓柱體的主視圖和俯視圖，求其左視圖。如圖3-22（a）所示，圓柱體被兩個側平面和兩個水平面所切。兩個側平面與圓柱體軸線相平行，其截交線在左視圖上的投影為矩形；兩個水平面與圓柱體軸線相垂直，其截交線在左視圖上的投影為直線。3.2.2回轉體的截交線作圖：按圖3-22（b）所示作圖，作圖步驟如下。畫完整圓柱體的左視圖。①由a′（b′），d′（c′）和a（d），b（c）求得左視圖上矩形截交線的投影a′′，b′′，c′′，d′′。由e′求得e′′。②判斷可見性并連線。③3.2.2回轉體的截交線圖3-22求作切口圓柱體的左視圖（a）（b）3.2.2回轉體的截交線2．圓錐體的截交線截平面與圓錐體軸線的相對位置不同，所得截交線形狀不同，如表3-2所示。表3-2圓錐體的截交線3.2.2回轉體的截交線【例3-12】如圖3-23（a）所示，圓錐體被正平面P截切，求其主視圖。圓錐體被平行于軸線的截平面P截切，截交線為雙曲線，此截交線的水平投影和側面投影均分別積聚為直線，正面投影為雙曲線（實形）。3.2.2回轉體的截交線作圖：采用輔助圓法求解，作圖步驟如下。作完整圓錐體的主視圖。①求特殊點。點A是截交線的最高點，由點a′′可求得點a′和a；點B，C分別為最左點和最右點，是底面和截平面P的交點，由點b，c可求得點b′，c′。②3.2.2回轉體的截交線求一般位置點。在水平投影上作輔助圓與截交線的已知投影交于d，e，由d，e可求得點d′，e′。③連成光滑曲線。按順序將正面投影點b′，d′，a′，e′，c′連成光滑曲線，即得所求。④3.2.2回轉體的截交線圖3-23求作切口圓錐體的主視圖（a）（b）3.2.2回轉體的截交線3．圓球的截交線圓球被任意方向的平面截斷，其截交線都是圓。圓的大小取決于截平面與球心的距離。

當截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，在其他兩投影面上的投影都積聚為直線，其長度等于該圓的直徑，如圖3-24所示。

當截平面是投影面的垂直面時，截交線在該投影面的投影積聚為直線，在其他兩個投影面上的投影均為橢圓。3.2.2回轉體的截交線圖3-24平行于投影面的平面截切圓球3.2.2回轉體的截交線【例3-13】如圖3-25所示，一圓球被正垂面截切，求其截交線的投影。截平面為正垂面，與球面的截交線為圓，其正面投影積聚為斜線（已知），水平投影和側面投影都是橢圓（待求）。在已知截交線投影范圍內，用投影面的平行面作輔助截平面，來求得截交線上一系列的點（三面共點）。3.2.2回轉體的截交線作圖：作圖步驟如下。1求作特殊點。先作橢圓長、短軸端點Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的投影，即由點1′，2′可求得點1，2，1′′，2′′，然后過球心O′向直線1′2′引垂線，得垂足3′（4′），它們?yōu)闄E圓短軸的正面投影，過此垂足點向水平投影和側面投影引線，用交線圓直徑截取點3，4和3′′，4′′，得橢圓短軸端點的其他兩面投影。求作球體輪廓線上點Ⅶ，Ⅷ的投影，由點7′（8′）可求得點7，8，再由點7，8可求得點7′′，8′′。3.2.2回轉體的截交線2求一般點。

在截交線范圍內作輔助水平面P，并作輔助圓的水平投影，由點5′（6′）引投影線與輔助圓交于點5，6，由“二求三”可求得點5′′，6′′。還可按此方法作一系列點。將各點的同名投影依次光滑連接，即得截交線的水平投影和側面投影，如圖3-25（b）所示。33.2.2回轉體的截交線圖3-25正垂面截切圓球的截交線投影（a）（b）作圖：作圖步驟如下。3.2.2回轉體的截交線【例3-14】如圖3-26（a）所示，已知切槽半球的主視圖，求作其俯視圖和左視圖。半球通槽是被兩個對稱側平面P和一個水平面Q的組合平面截切而成。槽兩側與球面的交線為兩段圓弧，其側面投影反映實形，正面投影和水平投影均分別積聚為直線；槽底和球面的交線為兩段等徑圓弧，且平行于水平面，此交線的水平投影為實形，正面投影和側面投影均分別積聚為直線。3.2.2回轉體的截交線圖3-26半球切槽畫法（a）（b）3.2.2回轉體的截交線4．共軸復合回轉體的截交線畫共軸復合回轉體的截交線時，應先分析該立體由哪些回轉體組成，然后再分析截平面與每個被截切回轉體的相對位置、截交線的形狀和投影特性，然后逐個畫出各回轉體的截交線，并進行連接。3.2.2回轉體的截交線【例3-15】如圖3-27（a）所示，求作頂尖頭的截交線。頂尖頭是由同軸的圓錐體與圓柱體組合而成，它的上部被兩個相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在其表面出現(xiàn)三組截交線和一條P與Q的交線。由于截平面P平行于軸線，故它與圓錐體的交線為雙曲線，與圓柱體的交線為兩條平行直線。3.2.2回轉體的截交線圖3-27頂尖頭的截交線（a）3.2.2回轉體的截交線由于截平面Q與圓柱體斜交，故它截切圓柱體的截交線為一段橢圓弧。三組截交線的側面投影分別積聚在截平面P和圓柱面的投影上，正面投影分別積聚在P，Q面的投影（直線）上，因此，只需求作三組截交線的水平投影。3.2.2回轉體的截交線作圖：作圖步驟如下。1求作特殊點。如圖3-27（b）所示，找出截平面與立體表面共有點在正面投影上的已知投影3′，1′（5′），10′（6′），8′。由3′可直接求得雙曲線最左點在俯視圖上的投影3；由1′（5′）可先求出1′′，5′′，然后再根據(jù)“二求三”求得點1，5；由點10′（6′）可先求出10′′，6′′，然后再根據(jù)“二求三”求得點10，6；由8′可直接求得點8，8′′。3.2.2回轉體的截交線圖3-27頂尖頭的截交線（b）3.2.2回轉體的截交線2補充一般點。

如圖3-27（c）所示，用輔助圓法求得2′（4′）的側面投影2′′，4′′，再根據(jù)“二求三”求得點2，4；由9′（7′）可求出點9′′，7′′，再根據(jù)“二求三”可求得點9，7。按各自截交線的形狀依次將各點順序連接，如圖3-27（d）所示。3當截平面與截平面相交存在交線時，必須畫出該交線。3.2.2回轉體的截交線圖3-27頂尖頭的截交線（c）（d）3.3兩立體表面的相貫線兩立體相交后的形體稱為相貫體，該兩立體表面的交線稱為相貫線，如圖3-18（b）中軸承蓋相貫線。本節(jié)主要介紹常見回轉體的相貫線。3.3兩立體表面的相貫線兩立體的形狀、大小及相對位置不同，相貫線形狀也不同，但所有相貫線都具有以下性質。①由于立體具有一定的范圍，所以相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線。②相貫線是兩相交立體表面的共有線，相貫線上點是兩相交立體表面的共有點。3.3兩立體表面的相貫線根據(jù)相貫線的性質，求作回轉體相貫線的實質，就是求兩回轉體表面上一系列的共有點，然后將求得各點按順序光滑連接起來，即得相貫線。3.3.1相貫線的畫法相貫線常見的作圖方法有積聚性求點法和輔助截平面取點法兩種。1．利用積聚性法求相貫線當兩圓柱軸線正交或垂直交叉，且軸線分別垂直于兩個投影面時，則圓柱面在投影面上的投影積聚成圓，相貫線的投影也必積聚在該圓上，這樣相貫線的兩個投影為已知，利用相貫線積聚性取點法，可求作相貫線在其他投影面上的投影。3.3.1相貫線的畫法相貫線與截交線一樣，也有最左、最右、最前、最后、最高、最低及輪廓線上的點，這些點是相貫線的特殊點，作相貫線時應先求得這些特殊點。兩圓柱體正交時的相貫線有三種形式，如表3-3所示。3.3.1相貫線的畫法表3-3兩圓柱正交時相貫線的畫法3.3.1相貫線的畫法【例3-16】如圖3-28（a）所示，求正交兩圓柱體的相貫線。兩圓柱體的軸線正交，且分別垂直于水平面和側面。相貫線的水平投影積聚在小圓柱的水平投影圓上，相貫線的側面投影積聚在大圓柱的側面投影圓上，故只需求作相貫線的正面投影。作圖時，在相貫線的水平投影和側面投影上取點，并找出相應的投影，用“二求三”的方法可求得點的第三面投影。相貫線正面投影的前半部與后半部重合。3.3.1相貫線的畫法圖3-28利用積聚性法求作正交兩圓柱的相貫線（一）（a）3.3.1相貫線的畫法作圖：如圖3-28（b）所示，作圖步驟如下。1求作特殊點。最高點Ⅰ，Ⅴ也是最左、最右點及大、小圓柱輪廓線相交點，所以點1′，5′可直接定出；最低點Ⅲ，Ⅶ也是最前、最后點及小圓柱前、后輪廓線與大圓柱面相交點，由點3′′，7′′可求得點3'（7'）。3.3.1相貫線的畫法圖3-28利用積聚性法求作正交兩圓柱的相貫線（一）（b）3.3.1相貫線的畫法2求一般點。

在相貫線的水平投影上任取2，4，6，8對稱點（一般用圓周等分而得），然后求得它們對應的側面投影點2′′（4′′），8′′（6′′），然后根據(jù)“二求三”求得點2′（8′），4′（6′）。將各點按順序連成光滑曲線。3判斷可見性。

此相貫線前后對稱，前半部相貫線可見，后半部相貫線不可見，兩者重合。43.3.1相貫線的畫法判斷相貫線可見性原則是：當兩回轉體表面在該投影面上的投影均可見，則相貫線為可見，用實線表示；除此之外都是不可見，用虛線表示?？梢娦缘姆纸琰c一定在外形輪廓線上。3.3.1相貫線的畫法【例3-17】如圖3-29（a）所示，求偏交兩圓柱體的相貫線。兩圓柱體軸線垂直交叉且分別垂直于水平面及側面，相貫線的水平投影積聚在小圓柱的水平投影圓上，相貫線的側面投影積聚在大圓柱投影圓的一段圓弧上，故只需求出相貫線的正面投影即可。作圖方法采用積聚性取點法。此相貫線左右對稱，前后不對稱。3.3.1相貫線的畫法圖3-29利用積聚性求作兩圓柱體偏交相貫線（二）（a）3.3.1相貫線的畫法作圖：作圖步驟如下。1求作特殊點。如圖3-29（b）所示，正面投影最前點2′和最后點（5′）可由側面投影2′′和5′′求得；正面投影最左點1′和最右點3′可由側面投影1′′（3′′）和水平投影1，3求得；正面投影的最高點（4′），（6′），可由水平投影點4，6和側面投影點6′′（4′′）求得。3.3.1相貫線的畫法圖3-29利用積聚性求作兩圓柱體偏交相貫線（二）（b）求作特殊點3.3.1相貫線的畫法2求一般點。如圖3-29（c）所示，在相貫線的側面投影上定出點7′′（8′′），由點7′′（8′′）定出水平投影點7，8，然后根據(jù)“二求三”求得正面投影點7′，8′。將各點按順序連成光滑曲線，并判斷可見性。從水平投影可知，點1和3是可見與不可見的分界點。將正面投影點1′，7′，2′，8′，3′按順序連成實線，將點3′，（4′），（5′），（6′），1′按順序連成虛線，即得所求，如圖3-29（c）所示。33.3.1相貫線的畫法圖3-29利用積聚性求作兩圓柱體偏交相貫線（二）（c）求作一般點，判斷可見性，光滑連成曲線3.3.1相貫線的畫法包含相貫線特殊點的輪廓線，其投影一定要畫至該點的投影處，如圖3-29（c）中的局部放大圖，大圓柱上輪廓線應畫至點（4′）。3.3.1相貫線的畫法2．利用輔助平面法求相貫線當已知相貫線只有一個投影有積聚性，或投影都沒有積聚性，無法利用投影積聚性取點求作相貫線時，可采用輔助平面法求相貫線。3.3.1相貫線的畫法如圖3-30（a）所示，一圓臺與一圓柱體正交，可采用輔助平面法求它們的相貫線。輔助平面法就是用假想平面同時截切參與相交的兩回轉體，所得兩組截交線的交點，即為相貫線上的點，如圖3-30（b）所示，這些交點既在輔助平面上，又在兩回轉面上，是三面的共點，利用三面共點原理可作出相貫線一系列點的投影。3.3.1相貫線的畫法圖3-30輔助平面法求作相貫線的投影原理（a）（b）3.3.1相貫線的畫法為了簡化作圖，使輔助截平面與回轉體截交線的投影簡單易畫（如直線或圓），一般選用特殊位置平面作為輔助平面，其中最常用的是投影面平行面。3.3.1相貫線的畫法【例3-18】求作圖3-31（a）所示圓臺與圓柱體正交的相貫線。圓臺和圓柱體正交，其相貫線為左右、前后對稱的封閉空間曲線。由于圓柱體軸線垂直于側面，相貫線的側面投影為已知，需求相貫線的水平投影和正面投影。3.3.1相貫線的畫法圖3-31利用輔助平面法求作圓臺與圓柱體正交的相貫線（a）已知視圖3.3.1相貫線的畫法作圖：作圖步驟如下。1求作特殊點。如圖3-31（b）所示，最左、最右點A，B（最高點）是圓臺與圓柱體輪廓線的相交點，由點a′，b′可求得點a，b及a'′（b′'）；最前、最后點C，D（最低點）是圓臺前后輪廓線與圓柱面的相交點，由點c′′，d′′可求得點c′（d′）及c，d。3.3.1相貫線的畫法圖3-31利用輔助平面法求作圓臺與圓柱體正交的相貫線（b）求特殊點3.3.1相貫線的畫法2求一般點。如圖3-31（c）所示，用水平面P作為輔助平面，先求得輔助線交點的側面投影f'′（h′'）和e'′（g′'），然后由點f'′（h′'）和e'′（g′'）求得水平投影e，f，g，h，然后再根據(jù)“二求三”求得點e′（f′），g′（h′）。將各點按順序連成光滑曲線，并判斷其可見性。

所求相貫線的正面投影和水平投影如圖3-31（d）所示。33.3.1相貫線的畫法圖3-31利用輔助平面法求作圓臺與圓柱體正交的相貫線（c）求一般點（d）連成光滑曲線3.3.1相貫線的畫法【例3-19】求作圖3-32（a）所示圓臺與圓球相貫線的投影。由于圓臺的軸線不通過球心，相貫體前后方向有公共對稱面，所以相貫線是一條前后對稱的封閉空間曲線。由于球體和圓臺的三個投影都沒有積聚性，即相貫線沒有已知投影，所以需求相貫線的三個投影，應采用輔助平面法作圖求解。3.3.1相貫線的畫法圖3-32利用輔助平面法求作圓臺與圓球的相貫線（a）投影分析3.3.1相貫線的畫法作圖：作圖步驟如下。1求作特殊點。最左（最低）、最右（最高）點1′，3′是圓臺和圓球的正面輪廓相交點Ⅰ，Ⅲ的正面投影，由它們可求得點1，3和1′′，3′′，如圖3-32（b）所示。過圓臺軸線作側平面Q，在側面投影上以r1為半徑畫圓弧，得最前、最后點Ⅱ，Ⅳ的側面投影2′′，4′′，然后由點2′′，4′′求得相應水平投影點2，4和側面投影點2′（4′），如圖3-32（c）所示。3.3.1相貫線的畫法圖3-32利用輔助平面法求作圓臺與圓球的相貫線（b）利用輔助平面P求作正面輪廓線上的點（c）利用輔助平面Q求作側面輪廓線上的點3.3.1相貫線的畫法2求一般點。如圖3-32（d）所示，在點Ⅰ，Ⅲ間作輔助水平面，與圓臺面和球面的相交線分別為兩段圓弧，它們的半徑分別為r2和r3，此兩圓弧相交點Ⅴ，Ⅵ的水平投影為5，6，由點5，6可求得點5′′，6′′和點5′（6′）。必要時可改變輔助水平面的位置，求作一系列的一般點。3.3.1相貫線的畫法圖3-32利用輔助平面法求作圓臺與圓球的相貫線（d）利用輔助平面求作一般點3.3.1相貫線的畫法將各點同名投影按順序連成光滑曲線，并判斷可見性。

相貫線的水平投影為可見；相貫線的正面投影有可見部分和不可見部分，兩者重合；相貫線Ⅱ-Ⅰ-Ⅳ在圓臺面和圓球面的左半部，其側面投影可見，點2′′，4′′是可見與不可見的分界點，所以2′′-1′′-4′′曲線為可見，用實線表示；2′′-（3′′）-4′′曲線為不可見，用虛線表示，如圖3-32（e）所示。33.3.1相貫線的畫法圖3-32利用輔助平面法求作圓臺與圓球的相貫線（e）光滑連接曲線并判斷可見性，完成全圖3.3.2相貫線的近似畫法為了簡化作圖，國家標準規(guī)定，允許采用簡化畫法作出相貫線的投影，即以圓弧代替非圓曲線。如圖3-33（a）所示求得圓弧的圓心，該圓心位于小圓柱體軸線上，然后再取大圓柱體半徑作為圓弧半徑畫圓弧，所畫圓弧即為相貫線的近似畫法，如圖3-33（b）所示。3.3.2相貫線的近似畫法圖3-33兩正交圓柱體相貫線的近似畫法（a）求作圓弧的圓心（b）畫出圓弧3.3.3相貫線的變化趨勢當正交兩圓柱體直徑大小變化時，其相貫線形狀和彎曲方向也會產(chǎn)生變化，如圖3-34所示。當直徑不相等的兩個圓柱體正交時，相貫線非積聚性投影的彎曲趨勢總是向著大圓柱體的軸線；當直徑相等的兩個圓柱正交時，相貫線為橢圓曲線，其非積聚性投影為45°斜線。3.3.3相貫線的變化趨勢圖3-34相貫線的形狀及彎曲方向3.3.4相貫線的特殊情況當兩回轉體具有公共軸線時，其相貫線為垂直軸線的圓。相貫線在與軸線平行的投影面上的投影為垂直于軸線的直線，相貫線在與軸線垂直的投影面上的投影為圓的實形，如圖3-35所示。1．相貫線為平面曲線3.3.4相貫線的特殊情況圖3-35同軸回轉體的相貫線（a）圓柱體與圓球同軸相交（b）圓錐體與圓球同軸相交3.3.4相貫線的特殊情況當軸線相交的兩圓柱體（或圓柱體與圓錐體）公切于同一球面時，其相貫線為橢圓，該相貫線在兩相交軸線所平行投影面上的投影積聚為直線段，在其他投影面上的投影為類似形（圓或橢圓），如圖3-36所示。3.3.4相貫線的特殊情況圖3-36兩回轉體公切圓球的相貫線（a）圓柱體與圓柱體等徑正交（公切一圓球）（b）圓柱體與圓錐體正交（公切一圓球）3.3.4相貫線的特殊情況當相交兩圓柱體的軸線平行時，相貫線為直線，如圖3-37（a）所示。當兩圓錐體共頂時，相貫線也是直線，如圖3-37（b）所示。兩圓柱軸線平行或兩圓錐軸線相交時，相貫線為直線，見圖3-37所示。2．相貫線為直線3.3.4相貫線的特殊情況圖3-37相貫線為直線（a）兩相交圓柱體的軸線平行（b）兩圓錐體共頂3.4綜合相交一些組合體由多個基本幾何體相交構成，它們的表面交線比較復雜，既有相貫線又有截交線，形成綜合相交。畫圖時，必須注意分析形體，找出存在交線的各個表面，運用截交線和相貫線的基本作圖方法，逐一作出各交線的投影。3.4綜合相交【例3-20】完成圖3-38（a）所示組合體的正面投影及側面投影。由圖3-38（a）所示，組合體的形體分析和投影分析過程如下。3.4綜合相交圖3-38立體綜合相交的作圖方法和步驟（a）分析3.4綜合相交①形體分析。組合體前后對稱，由三個空心圓柱體A，B，C組成；圓柱體A和B同軸，圓柱體C的軸線與圓柱體A，B的軸線垂直相交；圓柱體B的端面P與圓柱體C截交；豎直圓柱孔D與水平圓柱孔E的軸線相交。3.4綜合相交②投影分析。圓柱體A，C的相貫線是空間曲線；圓柱體B，C的相貫線也是空間曲線；圓柱體B的端面P與圓柱C之間的截交線是兩直線段。由于圓柱C的水平投影有積聚性，這些交線的水平投影都是已知的。圓柱孔D與圓柱孔E的直徑相同，軸線相交，交線為兩個部分橢圓，由于圓柱孔D的水平投影和圓柱孔E的側面投影都有積聚性，因此，此交線的水平投影和側面投影都是已知的。3.4綜合相交作圖：作圖步驟如下。1作端面P和圓柱孔C之間的截交線。如圖3-38（b）所示，端面P和圓柱孔C之間的截交線ⅠⅡ和ⅢⅣ是兩條垂直于水平面的直線段，由它們的水平投影點1（2），3（4）可作出側面投影點（1′′），（2′′），（3′′），（4′′）和正面投影點1′（3′），2′（4′）。3.4綜合相交圖3-38立體綜合相交的作圖方法和步驟（b）作端面P與圓柱C的截交線3.4綜合相交2作圓柱體A，C和B，C間的相貫線，其中，點Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ既是它們相貫線上的點，也是端面P和圓柱孔C之間截交線上的點，上一步驟中已求出。

如圖3-38（c）所示，根據(jù)圓柱體C水平投影的積聚性，可直接求出圓柱體A，C和B，C間相貫線的水平投影6，7，8和5，再根據(jù)圓柱體A，B軸線垂直于側面，它們的側面投影具有積聚性，可直接求出圓柱體A，C和B，C間相貫線的側面投影6′′，7′′，8′′和5′′，最后再求出它們的正面投影6′，7′，8′和5′。3.4綜合相交圖3-38立體綜合相交的作圖方法和步驟（c）作圓柱體A