5示范教案(22函數的表示法第2課時)

第2課時分段函數導入新課思路1.當x>1時,f(x)=x+1;當x≤1時,f(x)=-x,請寫出函數f(x)的解析式.這個函數的解析式有什么特點教師指出本節(jié)課題.思路2.化簡函數y=|x|的解析式,說說此函數解析式的特點,教師指出本節(jié)課題.推進新課新知探究提出問題①函數h(x)=與f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么區(qū)別②請舉出幾個分段函數的例子.活動：學生討論交流函數解析式的區(qū)別.所謂“分段函數〞,習慣上指在定義域的不同局部,有不同對應法那么的函數.并讓學生結合體會來實際舉例.討論結果：①函數h(x)是分段函數,在定義域的不同局部,其解析式不同.說明:分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函數描述的實際問題,如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等.②例如:y=等.應用例如思路11.畫出函數y=|x|的圖象.活動：學生思考函數圖象的畫法:①化簡函數的解析式為根本初等函數;②利用變換法畫出圖象,根據絕對值的概念來化簡解析式.解法一：由絕對值的概念,我們有y=所以,函數y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示.圖1-2-2-10解法二：畫函數y=x的圖象,將其位于x軸下方的局部對稱到x軸上方,與函數y=x的圖象位于x軸上方的局部合起來得函數y=|x|的圖象如圖1-2-2-10所示.變式訓練1.函數y=(1)求f{f［f(5)］}的值;(2)畫出函數的圖象.分析:此題主要考查分段函數及其圖象.f(x)是分段函數,要求f{f［f(5)］},需要確定f［f(5)］的取值范圍,為此又需確定f(5)的取值范圍,然后根據所在定義域代入相應的解析式,逐步求解.畫出函數在各段上的圖象,再合起來就是分段函數的圖象.解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1.(2)圖象如圖1-2-2-11所示:圖1-2-2-112.課本P23練習3.3.畫函數y=(x+1)2,-x,x≤0,x>0的圖象.步驟:①畫整個二次函數y=x2的圖象,再取其在區(qū)間(-∞,0］上的圖象,其他局部刪去不要;②畫一次函數y=-x的圖象,再取其在區(qū)間(0,+∞)上的圖象,其他局部刪去不要;③這兩局部合起來就是所要畫的分段函數的圖象.如圖1-2-2-12所示.圖1-2-2-12函數y=f(x)的圖象位于x軸上方的局部和y=|f(x)|的圖象相同,函數y=f(x)的圖象位于x軸下方的局部對稱到上方就是函數y=|f(x)|的圖象的一局部.利用函數y=f(x)的圖象和函數y=|f(x)|的圖象的這種關系,由函數y=f(x)的圖象畫出函數y=|f(x)|的圖象.2.某市“招手即停〞公共汽車的票價按以下規(guī)那么制定:(1)乘坐汽車5千米以內(含5千米),票價2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(缺乏5千米按5千米計算),如果某條線路的總里程為20千米,請根據題意,寫出票價與里程之間的函數解析式,并畫出函數的圖象.活動：學生討論交流題目的條件,弄清題意.本例是一個實際問題,有具體的實際意義,根據實際情況公共汽車到站才能停車,所以行車里程只能取整數值.由于里程在不同的范圍內,票價有不同的計算方法,故此函數是分段函數.解：設里程為x千米時,票價為y元,根據題意得x∈(0,20］.由空調汽車票價制定的規(guī)定,可得到以下函數解析式:圖1-2-2-13y=根據這個函數解析式,可畫出函數圖象,如圖1-2-2-13所示.點評：此題主要考查分段函數的實際應用,以及應用函數解決問題的能力.生活中有很多可以用分段函數描述的實際問題,如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等.在列出其解析式時,要充分考慮實際問題的規(guī)定,根據規(guī)定來求得解析式.注意：①本例具有實際背景,所以解題時應考慮其實際意義;②分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來,并分別注明各局部的自變量的取值情況.變式訓練2022上海中學高三測試,理7某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過局部按每千米0.4元定價,那么客運票價y(元)與行程千米數x(千米)之間的函數關系式是________.分析:根據行程是否大于100千米來求出解析式.答案：y=思路21.函數f(x)=(1)求f(-1),f［f(-1)］,f{f［f(-1)］}的值;(2)畫出函數的圖象.活動：此函數是分段函數,應注意在不同的自變量取值范圍內有不同的對應關系.解：(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1.(2)函數圖象如圖1-2-2-14所示:圖1-2-2-14變式訓練2022福建廈門調研,文10假設定義運算a⊙b=那么函數f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.分析:由題意得f(x)=畫函數f(x)的圖象得值域是(-∞,1］.答案：(-∞,1］點評：此題主要考查分段函數的解析式和圖象.求分段函數的函數值時,要注意自變量在其定義域的哪一段上,依次代入分段函數的解析式.畫分段函數y=(D1,D2,…,兩兩交集是空集)的圖象步驟是(1)畫整個函數y=f1(x)的圖象,再取其在區(qū)間D1上的圖象,其他局部刪去不要;(2)畫整個函數y=f2(x)的圖象,再取其在區(qū)間D2上的圖象,其他局部刪去不要;(3)依次畫下去;(4)將各個局部合起來就是所要畫的分段函數的圖象.2.如圖1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,動點P從B點開始沿著折線BC、CD、DA前進至A,假設P點運動的路程為x,△PAB的面積為y.圖1-2-2-15(1)寫出y=f(x)的解析式,指出函數的定義域;(2)畫出函數的圖象并求出函數的值域.活動：學生之間相互討論交流,教師幫助學生審題讀懂題意.首先通過畫草圖可以發(fā)現,P點運動到不同的位置,y的求法是不同的(如圖1-2-2-16的陰影局部所示).圖1-2-2-16可以看出上述三個陰影三角形的底是相同的,它們的面積由其高來定,所以只要由運動里程x來求出各段的高即可.三角形的面積公式為底乘高除以2,那么△PAB的面積的計算方式由點P所在的位置來確定.解：(1)分類討論:①當P在BC上運動時,易知∠B=60°,那么知y=×10×(xsin60°)=x,0≤x≤4.②當P點在CD上運動時,y=×10×2=10,4<x≤10.③當P在DA上運動時,y=×10×(14-x)sin60°=x+35,10<x≤14.綜上所得,函數的解析式為y=(2)f(x)的圖象如圖1-2-2-17所示:圖1-2-2-17由圖象,可知y的取值范圍是0≤y≤10,即函數f(x)的值域為[0,10].知能訓練1.函數f(x)=|x-1|的圖象是()圖1-2-2-18分析:方法一:函數的解析式化為y=畫出此分段函數的圖象,應選B.方法二:將函數f(x)=x-1位于x軸下方局部沿x軸翻折到x軸上方,與f(x)=x-1位于x軸上方局部合起來,即可得到函數f(x)=|x-1|的圖象,應選B.方法三:由f(-1)=2,知圖象過點(-1,2),排除A、C、D,應選B.答案：B2.函數f(x)=(1)畫出函數的圖象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.解析:分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象,合在一起得函數的圖象.(1)如圖1-2-2-19所示,畫法略.圖1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f［f(-1)］=f(1)=1.3.某人驅車以52千米/時的速度從A地駛往260千米遠處的B地,到達B地并停留1.5小時后,再以65千米/時的速度返回A地.試將此人驅車走過的路程s(千米)表示為時間t的函數.分析:此題中的函數是分段函數,要由時間t屬于哪個時間段,得到相應的解析式.解：從A地到B地,路上的時間為=5(小時);從B地回到A地,路上的時間為=4(小時).所以走過的路程s(千米)與時間t的函數關系式為s=拓展提升問題:函數y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,n∈N*.(1)求:f(2),f(3),f(4),f(5);(2)猜想f(n),n∈N*.探究:(1)由題意得f(1)=1,那么有f(2)=f(1)+2=1+2=3,f(3)=f(2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=