2023–2024學年七年級數學下冊單元速記與巧練（人教版）第五章 相交線與平行線壓軸專練（解析版）

第五章相交線與平行線（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一平行線中含一個拐點問題】 1【題型二平行線中含兩個拐點問題】 6【題型三平行線中含多個拐點問題】 9【題型四平行線中與平移的綜合問題】 13【題型一平行線中含一個拐點問題】例題：如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓練】1．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數量關系是______．【答案】【詳解】如下圖所示，過點C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內角互補），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．2．已知：ABEF，在平面內任意選取一點C．利用平行線的性質，探究∠B、∠F、∠C滿足的數量關系．圖形∠B、∠F、∠C滿足的數量關系圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）圖（6）(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數量關系填寫下表：(2)請選擇其中一個圖形進行說明理由．【詳解】（1）解：∠B、∠C、∠F之間的數量關系如下表：圖形∠B、∠F、∠C滿足的數量關系圖（1）∠B+∠F=∠C圖（2）∠F-∠B=∠C圖（3）∠B-∠F=∠C圖（4）∠B+∠F+∠C=360°圖（5）∠B-∠F=∠C圖（6）∠F-∠B=∠C（2）解：圖（1）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠B+∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；圖（2）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；圖（3）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（4）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；圖（5）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（6）∠C與∠B、∠F之間的數量關系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【題型二平行線中含兩個拐點問題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【變式訓練】1．如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【詳解】解：過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．2．（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據上面的推理方法，直接寫出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．【詳解】（1）證明：過P作，如圖，

∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如圖，過點P作，過點Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：；

（3）過點P作，過點Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案為：．

【題型三平行線中含多個拐點問題】例題：如圖，直線，則的度數為___________°．【答案】360【詳解】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，如圖所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案為：360．【變式訓練】1.如圖：(1)如圖1，，若，計算并直接寫出的大?。?2)如圖2，在圖1的基礎上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎上，繼續(xù)將且線變成折現．請你寫出一條關于、的數量關系（無需證明直接寫出）【詳解】（1）解：過P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）證明：過點P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4∵l1∥l2∴l(xiāng)1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（兩直線平行，內錯角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（兩直線平行，內錯角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如圖，分別過P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．2．猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數式表示的度數．【詳解】解：（1）如圖1：，如圖2：，如圖3：，如圖1說明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下圖：過F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案為：；（3）如下圖：，過E作，過F作，∵，∴，∴，，，∴，即；綜上所述：由當平行線AB與CD間沒有點的時候，，當A、C之間加一個折點F時，；當A、C之間加二個折點E、F時，則；以此類推，如圖5，，當、之間加三個折點時，則；…當、之間加n個折點時，則，即的度數是．【題型四平行線中與平移的綜合問題】例題：（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，線段AB，BC被直線AC所截，D是線段AC上的點，過點D作DE∥AB，連接AE，．將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【詳解】解：（1）證明：，．，，．（2）如圖，過點D作DF∥AE交AB于點F，則．∵，由平移的性質，得，，．，，，，【變式訓練】1．（2023下·陜西咸陽·八年級統考期中）如圖，將沿的方向平移得到．

(1)若，求的度數；(2)若，求平移的距離．【答案】(1)(2)1cm【分析】（1）根據平移的性質，得到對應角相等，即可得解；（2）根據，求出的長，即為平移的距離【詳解】（1）解：將沿的方向平移得到，∴；（2）解：∵，∴，即：平移的距離為1cm．【點睛】本題考查平移的性質，熟練掌握平移的性質，是解題的關鍵．2．（2023下·江蘇淮安·七年級校聯考期中）如圖，將沿射線的方向平移個單位到的位置，點的對應點分別點．(1)若，則______．(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平移的定義可知，進而可知；（2）根據平移的性質可知，，再利用平行線的性質解答即可．【詳解】（1）解：∵將沿射線的方向平移個單位到的位置，∴，∵，∴，故答案為；（2）解：由平移的性質可知：，，∴，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平移的性質，平移的定義，平行線的性質，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．3．（2023下·江西南昌·七年級統考期末）將三角形沿射線方向平移到三角形的位置．

(1)如圖1，當點D與點B重合時．判斷：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）(2)如圖2，當點D與點B不重合時，連接，．試探究，，三個角之間的數量關系，并證明你的結論．【答案】(1)=(2)或，見解析【分析】（1）根據平移的性質得出結論；（2）根據點D的位置可分為點D在點左邊和點在點右邊兩種情形，利用平行線的性質得出結果．【詳解】（1）解：，理由如下：∵三角形是由三角形平移得到，∴，∴；（2）解：根據點D的位置可分為兩種情形，①若點D在點左邊，如圖．

由平移的性質可得：，，，∵，∴，∴．②

若點在點右邊，如圖：

由平移的性質可得：，，，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查圖形的平移和平行線的性質，靈活運用這些性質和特點是解題的關鍵.4．（2023下·河北邢臺·七年級校考期末）如圖1，，被直線所截，，過點A作，D是線段上的點，過點D作交于點E．

(1)求的度數；(2)將線段沿線段方向平移得到線段，連接．①如圖2，當時，求的度數；②如圖3，當時，求的度數；③在整個平移過程中，是否存在？若存在，直接寫出此時的度數，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行線的性質得，，根據同角的補角相等可得答案；（2）①如圖1中，過點D作，則，再證明，根據平行線的性質可得答案；②如圖3中，過點D作，則，再證明，根據平行線的性質可得答案即可求解；③分兩種情形：圖2，圖3分別求解即可．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如圖2，過點D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如圖3，過點D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如圖2，當時，由①知，，，∴；如圖3，當時，由②知，，，∴

【點睛】本題考查了平移性質、平行線的性質，角的和差等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，并學會用分類討論的思想思考問題．5．（2023下·福建泉州·七年級統考期末）如圖，將線段平移得到，使與對應，與對應，連接，．

(1)求證：；(2)點在的延長線上，點與關于直線對稱，直線交的延長線于點．點在線段上，且．①設，求的度數（用含的代數式表示）；②證明：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據平移的性質可知，，再利用平行線的性質可知；（2）①根據平行線的性質及對稱的性質可知，進而可知；②根據對稱的性質可知的面積與的面積相等，再利用等面積法可知．【詳解】（1）證明：將線段平移得到，使與對應，與對應，∴由平移性質知，，∴，，∴；（2）①解：∵由（1）知，∴，∵，∴，∵，，∴，由對稱性質知，，∴，∴，∴，∵，，∴；

②證明：過作于，于，并連接，∴由對稱性質知，的面積與的面積相等，，∵，，∴，∵，∴，過點作于點，則，∴，

．【點睛】本題考查了平移的性質，平行線的性質，軸對稱的性質，掌握平移的性質及軸對稱的性質是解題的關鍵．6．（2023下·北京海淀·七年級期末）如圖，已知線段，點是線段外一點，連接，．將線段沿平移得到線段．點是線段上一動點，連接，．

(1)依題意在圖1中補全圖形，并證明：；(2)過點C作直線．在直線上取點，使．①當時，畫出圖形，并直接用等式表示與之間的數量關系；②在點運動的過程中，當點到直線的距離最大時，的度數是________（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①點在直線的上方時，；點在直線的下方時，；②．【分析】（1）作，根據平行線的性質證明即可；（2）①分兩種情況，畫出圖形后，利用平行線的性質求解即可；②先確定點到直線的最大距離就是線段的長，再畫出圖形，利用平行線的性質和