蘇科版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專練習(xí)2.13有理數(shù)的乘方(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.13有理數(shù)的乘方（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的乘方1.定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【要點(diǎn)提示】（1）乘方與冪不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來．（3）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．【知識(shí)點(diǎn)二】乘方運(yùn)算的符號(hào)法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個(gè)數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即．【要點(diǎn)提示】(1)有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)三】科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||＜10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，如＝.【要點(diǎn)提示】（1）負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個(gè)數(shù)寫成形式時(shí)，若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)冪的概念的理解【例1】（2023七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．(1)；(2)；(3)（個(gè)m）．【變式1】計(jì)算＝（）A． B． C． D．【變式2】在中，指數(shù)是，底數(shù)是，冪是．【題型2】有理數(shù)乘方運(yùn)算【例2】（23-24七年級(jí)上·陜西商洛·期末）計(jì)算：．【變式1】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：，，．【題型3】乘方運(yùn)算中的符號(hào)規(guī)律問題【例3】（2022七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）若，則的值為．【題型4】有理數(shù)乘方的應(yīng)用【例4】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，當(dāng)你把一張紙對(duì)折1次時(shí)可以得到2層，對(duì)折2次時(shí)可以得到4層，對(duì)折3次時(shí)可以得到8層，繼續(xù)對(duì)折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度．【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）有一種細(xì)菌，經(jīng)過1分鐘分裂成2個(gè)，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個(gè)．把這樣一個(gè)細(xì)菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細(xì)菌充滿為止，用了1小時(shí)，如果開始時(shí)，就在瓶子里放入這樣的細(xì)菌16個(gè)，那么細(xì)菌充滿瓶子所需要的時(shí)間為（

）A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時(shí) D．1小時(shí)【變式2】（2023·四川廣元·一模）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)．即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，當(dāng)時(shí)有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了天【題型5】科學(xué)記數(shù)法【例5】（23-24七年級(jí)上·全國·課堂例題）用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)__________________；(2)__________________；(3)__________________．【變式1】（2024·云南·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)假期云南全省文旅市場創(chuàng)假日旅游歷史新高，總體上實(shí)現(xiàn)了快速發(fā)展、平安有序、安全文明、優(yōu)質(zhì)高效的目標(biāo)，期間，云南全省共接待游客約4500萬人次，用科學(xué)記數(shù)法可以把數(shù)字4500萬表示為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024六年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)有個(gè)整數(shù)位．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武漢·中考真題）國家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近億元，同比增長，國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效．將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·西藏·中考真題）已知，都是實(shí)數(shù)，若，則．2、拓展延伸【例1】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）已知，解答下列問題：（1）由，可得_____，_____．（2）若，求的值．【例2】（23-24六年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）閱讀下面的材料，然后按照材料中提供的方法計(jì)算．計(jì)算：．解：設(shè)，則，所以，即．按照上面的方法，計(jì)算：．專題2.13有理數(shù)的乘方（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的乘方1.定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【要點(diǎn)提示】（1）乘方與冪不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來．（3）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．【知識(shí)點(diǎn)二】乘方運(yùn)算的符號(hào)法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個(gè)數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即．【要點(diǎn)提示】(1)有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)三】科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||＜10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，如＝.【要點(diǎn)提示】（1）負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示，“”照寫，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個(gè)數(shù)寫成形式時(shí)，若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個(gè)數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)冪的概念的理解【例1】（2023七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．(1)；(2)；(3)（個(gè)m）．【答案】(1）底數(shù)是，指數(shù)是5；(2)底數(shù)是，指數(shù)是6；(3)底數(shù)是m，指數(shù)是【分析】（1）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（2）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；（3）首先化成冪的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可．（1）解：，其中底數(shù)是，指數(shù)是5；（2）解：其中底數(shù)是，指數(shù)是6；（3）解：（個(gè)m），其中底數(shù)是m，指數(shù)是．【點(diǎn)撥】本題主要考查了乘方的意義，解題的關(guān)鍵是掌握乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，冪是乘方的結(jié)果，當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括起來再寫指數(shù)．表示n個(gè)a相乘．【變式1】計(jì)算＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的意義和乘法是相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算即可得出答案．解：原式，故選：B【變式2】在中，指數(shù)是，底數(shù)是，冪是．【答案】3﹣﹣【分析】an中，a是底數(shù)，n是指數(shù)，an是冪，據(jù)此作答．解：在中，指數(shù)是3，底數(shù)是，冪是．故填：3；；．【點(diǎn)撥】本題考查冪的定義，熟練掌握定義是關(guān)鍵.【題型2】有理數(shù)乘方運(yùn)算【例2】（23-24七年級(jí)上·陜西商洛·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算，最后加減運(yùn)算即可.解：；【變式1】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算法則，化簡絕對(duì)值的方法計(jì)算出每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)數(shù)即可得到答案．解：A、與不相等，不符合題意；B、與相等，符合題意；C、與不相等，不符合題意；D、與不相等，不符合題意．

故選：B．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：，，．【答案】4/【分析】本題主要考查了去括號(hào)法則、有理數(shù)的乘方運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)去括號(hào)法則、有理數(shù)的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．解：；；．故答案為：，4，．【題型3】乘方運(yùn)算中的符號(hào)規(guī)律問題【例3】（2022七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正；(2)負(fù)；(3)負(fù)；(4)負(fù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可．（1）解：∵的指數(shù)是12，為偶數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，∴的結(jié)果為正；（2）解：∵的指數(shù)是9，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)；（3）解：∵表示的是的相反數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，的結(jié)果為正，所以的結(jié)果為負(fù)；（4）解：∵的指數(shù)是11，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)乘方中的符號(hào)問題，判斷每個(gè)數(shù)的正負(fù)號(hào)即可求解．解：∵，，，∴，，，0中，只有0是非負(fù)數(shù)．故選：A．【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了偶次方以及絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)偶次方以及絕對(duì)值具有非負(fù)性來解即可．解且解得：故答案為：．【題型4】有理數(shù)乘方的應(yīng)用【例4】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，當(dāng)你把一張紙對(duì)折1次時(shí)可以得到2層，對(duì)折2次時(shí)可以得到4層，對(duì)折3次時(shí)可以得到8層，繼續(xù)對(duì)折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度．【答案】(1)層數(shù)；(2)6.4毫米【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，通過例舉尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）由于把紙對(duì)折1次時(shí)，可以得到2層；當(dāng)對(duì)折2次時(shí)，可以得到4-2層；當(dāng)對(duì)折3次時(shí)，可以得到8-23層，由此即可得到層數(shù)5和折紙的次數(shù)之間的關(guān)系；（2）利用（1）的結(jié)論代入其中計(jì)算即可求解．（1）解：∵對(duì)折1次，層數(shù)，對(duì)折2次，層數(shù)，對(duì)折3次，層數(shù)，∴對(duì)折n次，層數(shù)；（2）解：（毫米），答：對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度的總厚度為6.4毫米．【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）有一種細(xì)菌，經(jīng)過1分鐘分裂成2個(gè)，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個(gè)．把這樣一個(gè)細(xì)菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細(xì)菌充滿為止，用了1小時(shí)，如果開始時(shí)，就在瓶子里放入這樣的細(xì)菌16個(gè)，那么細(xì)菌充滿瓶子所需要的時(shí)間為（

）A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時(shí) D．1小時(shí)【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的應(yīng)用，列出等式是解此題的關(guān)鍵．先計(jì)算出裝滿一瓶的細(xì)菌，個(gè)，設(shè)將16個(gè)這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶，則，再根據(jù)1小時(shí)分，求解即可．解：一個(gè)細(xì)菌1分鐘分裂成2個(gè)，2分鐘分裂成4個(gè)，分鐘分裂成個(gè)，一個(gè)細(xì)菌經(jīng)過1小時(shí)的繁殖能使瓶子充滿，設(shè)將16個(gè)這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶．，，小時(shí)分，，故選：B【變式2】（2023·四川廣元·一模）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)．即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，當(dāng)時(shí)有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了天【答案】516【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意以及圖形分析，根據(jù)滿七進(jìn)一求解是解題的關(guān)鍵．解：繩結(jié)表示的數(shù)為，故答案為：516；【題型5】科學(xué)記數(shù)法【例5】（23-24七年級(jí)上·全國·課堂例題）用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)__________________；(2)__________________；(3)__________________．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．（1）；故答案為：；（2）故答案為：；（3）故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式1】（2024·云南·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)假期云南全省文旅市場創(chuàng)假日旅游歷史新高，總體上實(shí)現(xiàn)了快速發(fā)展、平安有序、安全文明、優(yōu)質(zhì)高效的目標(biāo)，期間，云南全省共接待游客約4500萬人次，用科學(xué)記數(shù)法可以把數(shù)字4500萬表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．解：4500萬即45000000，，故選：D．【變式2】（2024六年級(jí)下·上海·專題練習(xí)）一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)有個(gè)整數(shù)位．【答案】7/七【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時(shí)，時(shí)，是幾，小數(shù)點(diǎn)就向后移幾位．解：，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)有個(gè)整數(shù)位．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖北武漢·中考真題）國家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生