蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.5解一元二次方程(公式法與因式分解法)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題1.5解一元二次方程（公式法與因式分解法）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

2.一元二次方程根的判別式

用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無(wú)實(shí)根.

【知識(shí)點(diǎn)二】因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用公式法解一元二次方程【例1】（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）解下列一元二次方程（公式法）(2)（公式法）【變式1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【變式2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【題型2】公式法解一元二次方程的應(yīng)用【例2】（2024·遼寧撫順·二模）在中，，，且．將沿方向平移得，連接．當(dāng)時(shí)，平移的距離為．【變式1】（22-23九年級(jí)上·黑龍江雞西·期中）三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和3，第三邊的長(zhǎng)是方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A． B．10 C． D．或10【變式2】如圖，將圖1的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則（

）A． B． C． D．【題型3】用因式分解法解一元二次方程【例3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用因式分解法解方程:(1)；(2)【變式1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【變式2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【題型4】因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用【例4】（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）關(guān)于x的方程無(wú)解，則．【變式1】（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的值為（

）

A．1 B．2 C．1或3 D．2或4【變式2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)），若一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17【題型5】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠?】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）選擇適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)．【變式1】選擇適當(dāng)方法解方程：(1)．(2)．【變式2】（23-24八年級(jí)下·安徽宣城·期末）用適當(dāng)方法解方程：(1)；(2)．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）方程的解為．【例2】（2024·四川涼山·中考真題）已知，則的值為．2、拓展延伸【例1】（2024·廣西河池·一模）解方程：．【例2】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）．專題1.5解一元二次方程（公式法與因式分解法）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

2.一元二次方程根的判別式

用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無(wú)實(shí)根.

【知識(shí)點(diǎn)二】因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用公式法解一元二次方程【例1】（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）解下列一元二次方程（公式法）(2)（公式法）【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）先確定的值，求出的值，確定能否用公式法計(jì)算，若，即代入求根公式計(jì)算即可；（）先確定的值，求出的值，確定能否用公式法計(jì)算，若，即代入求根公式計(jì)算即可；本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步驟．解：（1），，，，∴，∴，；（2），，，，∴，∴，．【變式1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，(2)，.(3)解：（1）∵，，，∴，∴，即，.（2）移項(xiàng)，得，∴，，，∴，∴，即，.（3）∵，，，∴，∴，即.【變式2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程無(wú)解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（2）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；（3）由題意易得，然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解．（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程無(wú)解．【題型2】公式法解一元二次方程的應(yīng)用【例2】（2024·遼寧撫順·二模）在中，，，且．將沿方向平移得，連接．當(dāng)時(shí)，平移的距離為．【答案】【分析】本題考查勾股定理、平移的性質(zhì)，解一元二次方程，根據(jù)平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到，再根據(jù)勾股定理，即可求得平移的距離．解：由題意可得，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，解得舍去，故答案為：．【變式1】（22-23九年級(jí)上·黑龍江雞西·期中）三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和3，第三邊的長(zhǎng)是方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A． B．10 C． D．或10【答案】A【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三邊關(guān)系即可得出答案.解：，，∴，解得：，，∵，∴2，3，5無(wú)法構(gòu)成三角形，∴這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為：2，3，，其周長(zhǎng)為：.故選A.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及公式法解方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，將圖1的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)左圖可以知道圖形是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為，右圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬分別為、，并且它們的面積相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．解：依題意得，整理得：，則，方程兩邊同時(shí)除以，，（負(fù)值已經(jīng)舍去），故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了圖形的剪拼，此題是一個(gè)信息題目，首先正確理解題目的意思，然后會(huì)根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)量關(guān)系列出方程解決問題．【題型3】用因式分解法解一元二次方程【例3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用因式分解法解方程:(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵；（1）先移項(xiàng)然后提公因式，根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（2）先移項(xiàng)然后提公因式，根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．（1）解：移項(xiàng)，得：，因式分解，得：于是，得：或，∴，．（2）移項(xiàng)，得，即，因式分解，得：，整理，得：，于是，得或，∴，．【變式1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】（1）方程左右兩邊都有因式，先移項(xiàng)，然后利用提公因式法將等式的左邊因式分解；（2）直接利用平方差公式將方程的左邊因式分解．解：（1）移項(xiàng)，得，∴，即，∴或，∴，．（2）因式分解，得．化簡(jiǎn)，得，∴或，∴，．【變式2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，解：（1），或，，．（2）原方程可化為，，或，，．【題型4】因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用【例4】（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）關(guān)于x的方程無(wú)解，則．【答案】0或6/6或0【分析】本題考查分式方程無(wú)解求參數(shù)的值，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，根據(jù)分式方程無(wú)解分兩種情況：整式方程無(wú)解和分式方程有增根，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．解：方程去分母，得：，整理，得：，∵方程無(wú)解，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故答案為：0或6．【變式1】（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的值為（

）

A．1 B．2 C．1或3 D．2或4【答案】C【分析】本題考查了兩直線交點(diǎn)問題，一元二次方程的求解，將交點(diǎn)代入正比例函數(shù)求出n的值，再代入一次函數(shù)求出m的值，得出，進(jìn)行求解即可．解：將點(diǎn)代入正比例函數(shù)，得：，代入一次函數(shù)，得，解得：，，，，解得：或3，故選：C．【變式2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)），若一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程與幾何的綜合應(yīng)用．熟練掌握一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到6是等腰三角形的腰長(zhǎng)，是方程的一個(gè)根，進(jìn)行求解即可．解：∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，；不管m去何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6，另兩邊長(zhǎng)是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴6是腰長(zhǎng)，是方程的一個(gè)根，∴，整理，得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)：，周長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)：，周長(zhǎng)．故選：A．【題型5】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠?】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）選擇適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，．【分析】本題考查了解一元二次方程中的公式法和直接開平方法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．（1）解：，∴，∴，∴，；（2）解：，∴，，，則，∴，即，．【變式1】選擇適當(dāng)方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）方程兩邊都除以2，再開方，求出方程的解即可；（2）先利用提取公因式法把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．（1）解：，方程兩邊同除以2，得：，開方，得：，解得：，；（2）解：，，，或，解得：，．【變式2】（23-24八年級(jí)下·安徽宣城·期末）用適當(dāng)方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程．根據(jù)方程的特征選擇恰當(dāng)方法求解是解題的關(guān)鍵．（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．（1）解：∵，∴，即，∴，∴，∴，．（2）解：∵，∴，∴或，∴，．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）方程的解為．【答案】【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．解：，方程兩邊同時(shí)乘以得，，，，，或．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故舍去．原方程的解為：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是解分式方程，解題的關(guān)鍵在于注意分式方程必須檢驗(yàn)根的情況．【例2】（2024·四川涼山·中考真題）已知，則的值為．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．將代入，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，，要進(jìn)行舍解．解：∵，∴，將代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案為：