4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第2課時）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和的性質及應用人教A版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質及其應用.2.掌握等差數(shù)列前n項和的最值的求法.3.掌握等差數(shù)列各項絕對值的和的求法.基礎落實·必備知識全過關知識點1

等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征

等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關系令A=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關于n的常函數(shù),{an}是各項為0的常數(shù)列.②當A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關于n的正比例函數(shù),{an}為各項非零的常數(shù)列.③當A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0)名師點睛(1)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)(或0),所以將這些項相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)(或0),所以將這些項相加即得Sn的最大值.(3)特別地,若an>0,d>0,則S1是{Sn}的最小項;若an<0,d<0,則S1是{Sn}的最大項.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn是關于n的二次函數(shù).(

)(2)等差數(shù)列的前n項和Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一.(

)(3)若等差數(shù)列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值.(

)(4)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sp=Sq(p,q∈N*),則Sn在n=(p+q)處取得最大值或最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材習題]等差數(shù)列14,11,8,…前多少項的和最大?為什么?提示

因為前5項均是正數(shù),從第6項開始為負數(shù),所以前5項和最大.也可以用求二次函數(shù)的最值的方法解決.知識點2

等差數(shù)列前n項和的性質

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{an}的前n項和(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù),則偶數(shù)項的和等于奇數(shù)項的和.(

)(3)設兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,√××2.已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為(

)

A.5 B.4 C.3 D.23.在等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,S2=4,S4=9,則S6=

.

解析

設等差數(shù)列的公差為d,由題意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.C15解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.重難探究·能力素養(yǎng)全提升重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一等差數(shù)列前n項和的性質及其應用【例1】

(1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則數(shù)列{an}的前3m項的和S3m為

.

答案

210解析

(方法1)在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.變式探究1一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,則前110項之和為

.

答案

-110解析

(方法1)設Sn=an2+bn.∵S10=100,S100=10,規(guī)律方法

利用等差數(shù)列前n項和的性質簡化計算(1)在解決等差數(shù)列問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運算量大些).(2)如果利用等差數(shù)列前n項和的性質或利用等差數(shù)列通項公式的性質,可簡化運算,為最優(yōu)解法.(3)設而不求,整體代換也是很好的解題方法.探究點二等差數(shù)列前n項和的最值問題【例2】

在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,且a1=25,S17=S9,請問數(shù)列{an}前多少項和最大?(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當n≤13時,an>0;當n≥14時,an<0.∴S13最大.(方法4)由方法1,得d=-2.規(guī)律方法

一般地,在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項和Sn有最小值,具體求解方法如下:(2)利用等差數(shù)列的性質,找出數(shù)列{an}中正、負項的分界項.當a1>0,d<0時,前n項和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;當a1<0,d>0時,前n項和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.變式訓練已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,其中a4=-5,S4=-32.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解得a1=-11,d=2.故an=-11+(n-1)×2=2n-13.探究點三

求數(shù)列{|an|}的前n項和問題

分析先求出通項an,再確定數(shù)列中項的正負,去掉絕對值號,利用Sn求解.變式探究在本例中,若將條件改為“等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.規(guī)律方法

已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項和的步驟(1)確定通項公式an;(2)根據(jù)通項公式確定數(shù)列{an}中項的符號,即判斷數(shù)列{an}是先負后正,還是先正后負;(3)去掉數(shù)列{|an|}中各項的絕對值,轉化為{an}的前n項和求解,轉化過程中有時需添加一部分項,以直接利用數(shù)列{an}的前n項和公式;(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數(shù)的形式.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列前n項和性質的應用.(2)等差數(shù)列前n項和的最值問題.(3)等差數(shù)列中的絕對值求和問題.2.方法歸納:公式法、構造法、函數(shù)法、整體代換法.3.常見誤區(qū):(1)等差數(shù)列前n項和性質應用的前提是等差數(shù)列;(2)易混淆項數(shù)為奇數(shù)與奇數(shù)項等概念.重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測1234561.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且

Sn=20,S2n=80,則S3n=(

)A.130 B.180

C.210

D.260B解析

因為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然構成等差數(shù)列,所以20,60,S3n-80成等差數(shù)列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.1234562.[探究點一、二](多選題)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,前n項和為Sn,滿足a1+5a3=S8,下列選項正確的有(

)A.a10=0 B.S7=S12 C.S10最小 D.S20=0AB解析

因為{an}是等差數(shù)列,設公差為d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即選項A正確,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即選項B正確,當d>0時,則S9或S10最小,當d<0時,則S9或S10最大,即選項C錯誤,又因為S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即選項D錯誤.1234561234564.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則實數(shù)λ的值是

.

答案

-1解析

Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∵{an}為等差數(shù)列,∴1+λ=0,即λ=-1.123456答案

20201234566.已知Sn為等差數(shù)列