6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第2課時(shí)）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

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數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能夠利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.通過(guò)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的訓(xùn)練,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系內(nèi)容分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵詞分類(lèi)分步本質(zhì)每類(lèi)方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果,用其中任何一種方法都可以做完這件事任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,各個(gè)步驟中的方法互相依存,缺少任何一步也不能完成這件事,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事各類(lèi)(步)的關(guān)系各類(lèi)方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的,即“分類(lèi)互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性,“獨(dú)立”確保不重復(fù),即“分步互依”2.(1)某學(xué)生在書(shū)店對(duì)3本不同的書(shū)感興趣,決定至少買(mǎi)其中的1本,則不同的購(gòu)買(mǎi)方法有(

)A.3種 B.6種C.7種 D.9種(2)在1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中任取數(shù)(不重復(fù)取)作和,則得到的不同的和共有(

)A.8個(gè) B.9個(gè)

C.10個(gè) D.5個(gè)解析:(1)分3類(lèi):買(mǎi)1本書(shū),買(mǎi)2本書(shū),買(mǎi)3本書(shū).各類(lèi)的方法依次為3種、3種、1種,故不同的購(gòu)買(mǎi)方法有3+3+1=7種,故選C.(2)第1類(lèi),兩個(gè)數(shù)的和是1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7;第2類(lèi),三個(gè)數(shù)的和是1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9;第3類(lèi),四個(gè)數(shù)的和是1+2+3+4=10,故得到不同的和為3,4,5,6,7,8,9,10,共有8個(gè),故選A.答案:(1)C

(2)A【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)如果完成一件事情有n類(lèi)不同的辦法,在每一類(lèi)中都有若干種不同的方法,那么完成這件事所有的方法為n類(lèi)所有方法的和.(

√

)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,若事情是分n步完成的,則其中任何一步都不能完成這件事,只有所有步驟都完成后,才能完成這件事.(

√

)(3)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是有關(guān)做一件事的不同方法的種類(lèi)問(wèn)題,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理可以看成相同的方法.(×)合作探究釋疑解惑探究一選(抽)取與分配問(wèn)題【例1】

(1)4名同學(xué)報(bào)名參加跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)比賽項(xiàng)目,每人限報(bào)一個(gè),共有多少種不同的報(bào)名方法?(2)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍,共有多少種可能的結(jié)果?解:(1)依題意,應(yīng)該以“4名同學(xué)”為主體考慮,只有4名同學(xué)都報(bào)名確定了項(xiàng)目,這件事情才算完成,而每名同學(xué)的報(bào)名方法都有3種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共有3×3×3×3=34=81種報(bào)名方法.(2)依題意,應(yīng)該以“三個(gè)冠軍”為主體考慮,只有三個(gè)冠軍都確定了得主,這件事情才算完成,而每項(xiàng)冠軍的得主都有4種情況,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共有4×4×4=43=64種可能的結(jié)果.選準(zhǔn)主體,解決元素可重復(fù)的計(jì)數(shù)問(wèn)題利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題,通常情況下,每一步中可用的方法都是不重復(fù)的,即每一步中的方法數(shù)各不相同,但在有些實(shí)際問(wèn)題中,每一步可用的方法允許重復(fù),亦即元素可重復(fù)利用,因此每一步中的方法數(shù)相同.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是選準(zhǔn)主體元素,“一定會(huì)……”“必須要……”的是主體元素,只有每個(gè)主體元素都確定方法數(shù)后,這件事情才算完成,從而可運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練1】

(1)5名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每名同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有(

)

A.10種 B.20種C.25種 D.32種(2)某公交車(chē)上有6名乘客,沿途4個(gè)車(chē)站,則乘客下車(chē)的可能方式有(

)A.64種 B.46種C.24種 D.360種解析:(1)依題意,應(yīng)該以“5名同學(xué)”為主體考慮,每名同學(xué)都有2種選擇,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的報(bào)名方法共有25=32種,故選D.(2)由題意,每名乘客都肯定要下車(chē),但某個(gè)車(chē)站可能沒(méi)有乘客下車(chē),因此以乘客為主體考慮,每名乘客都有4種選擇,故乘客下車(chē)的可能方式有4×4×4×4×4×4=46種,故選B.答案:(1)D

(2)B探究二有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題【例2】

若甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃利用寒假?gòu)腁,B,C,D這4處景點(diǎn)中任選1處景點(diǎn)旅游,每人彼此獨(dú)立地選景點(diǎn)游玩,且A必須有人去,則不同的選擇方法有(

)A.16種

B.18種 C.37種 D.40種解析:(方法1:直接法)滿(mǎn)足題意的不同的選擇方法有以下三類(lèi)(1)三名同學(xué)中只有一名同學(xué)去A,這時(shí)分兩步完成:第一步,選一名同學(xué)去A,有3種方法;第二步,剩下的兩名同學(xué)分別從B,C,D中任選1處景點(diǎn)旅游,有32=9種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有3×32=27種選擇方法.(2)三名同學(xué)中有兩名同學(xué)去A,這時(shí)分兩步完成:第一步,選兩名同學(xué)去A:甲乙、甲丙、乙丙,有3種方法;第二步,剩下的一名同學(xué)從B,C,D中任選1處景點(diǎn)旅游,有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有3×3=9種選擇方法.(3)三名同學(xué)都去A,只有1種選擇方法.綜上,由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知一共有27+9+1=37種不同的選擇方法.(方法2:間接法)三名同學(xué)去4處景點(diǎn),若沒(méi)有特別要求,則每名同學(xué)都有4種選擇方法,一共有43=64種選擇方法;其中如果沒(méi)有人去A,那么三名同學(xué)只去3處景點(diǎn),一共有33=27種選擇方法,故A必須有人去時(shí),共有64-27=37種不同的選擇方法.答案:C求解有限制條件的計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本方法(1)直接法:先按照限制條件進(jìn)行分類(lèi),在每一類(lèi)情況中,運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求出所有符合要求的方法種數(shù),再根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,將每一類(lèi)中的方法數(shù)相加即得結(jié)果.(2)間接法:先不考慮限制條件,運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求出所有可能的方法種數(shù),再求出不滿(mǎn)足限制條件時(shí)的方法種數(shù),相減即得所求結(jié)果.【變式訓(xùn)練2】

某班從6人中選出4人參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)課外活動(dòng),每人只能參加其中一項(xiàng),且每項(xiàng)課外活動(dòng)都有人參加,其中甲、乙兩人都不能參加化學(xué)課外活動(dòng),則不同的參加課外活動(dòng)方案的種數(shù)為(

)A.94 B.180 C.240

D.286解析:第一步,因?yàn)榧?、乙兩人都不能參加化學(xué)課外活動(dòng),所以從剩下的4人中選1人參加化學(xué)課外活動(dòng),共有4種選法;第二步,在剩下的5人中任選3人參加數(shù)學(xué)、物理、生物學(xué)課外活動(dòng),共有5×4×3=60種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同參加課外活動(dòng)方案的種數(shù)為4×60=240,故選C.答案:C探究三涂色問(wèn)題【例3】

如圖,用紅、黃、綠、黑4種不同的顏色給五個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同,則有多少種不同的涂色方法?解:給圖中區(qū)域標(biāo)上記號(hào)A,B,C,D,E,如圖所示.當(dāng)B與D同色時(shí),有4×3×2×1×2=48種不同的涂色方法;當(dāng)B與D不同色時(shí),有4×3×2×1×1=24種不同的涂色方法.故共有48+24=72種不同的涂色方法.1.如圖,現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)四個(gè)區(qū)塊進(jìn)行著色,要求有公共邊界的兩個(gè)區(qū)塊不能用同一種顏色,則不同的著色方案數(shù)為

.

解析:按A,B,C,D順序著色,A區(qū)塊有5種著色方案,B區(qū)塊有4種著色方案,C區(qū)塊有3種著色方案,D區(qū)塊有3種著色方案,故不同的著色方案數(shù)為5×4×3×3=180.答案:1802.如圖,該幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成,現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有(

)A.36種

B.24種

C.12種

D.9種解析:第1步:涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面,因?yàn)橐笙噜彽拿婢煌?所以共有3×2×1=6種不同的涂法,第2步:涂三棱柱ABC-A1B1C1的三個(gè)側(cè)面,先涂側(cè)面AA1B1B有2種涂法,再涂側(cè)面BB1C1C和側(cè)面CC1A1A都只有1種涂法,所以涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面共有2×1×1=2種不同的涂法,所以不同的涂色方案共有6×2=12種,故選C.答案:C解決涂色問(wèn)題的基本策略(1)選擇正確的涂色順序,按順序逐一涂色,弄清每一區(qū)域涂色的方法數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算;若圖形不規(guī)則,則往往從某一區(qū)域開(kāi)始涂色;如果圖形具有一定的對(duì)稱(chēng)性,那么可以先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類(lèi),對(duì)每一類(lèi)再進(jìn)行分步涂色,利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算求解.(2)按照涂色實(shí)際所用的顏色數(shù)分類(lèi)求解,在每一類(lèi)中,運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算,最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得到所有涂色的方法數(shù).(3)對(duì)空間幾何體的涂色問(wèn)題,可將空間問(wèn)題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題進(jìn)行解決.【變式訓(xùn)練3】

某學(xué)校高二數(shù)學(xué)興趣小組給一個(gè)底面邊長(zhǎng)互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色,提出如下的“四色問(wèn)題”:要求相鄰兩個(gè)面不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的染色方案有(

)A.18種

B.36種 C.48種 D.72種解析:若選擇4種顏色,則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色,其他3個(gè)面,用剩下的3種顏色,所以有2×4×3×2×1=48種;若選擇3種顏色,則前后側(cè)面用1種顏色,左右側(cè)面用另1種顏色,下底面用剩下的1種顏色,所以有4×3×2=24種.綜上,不同的染色方案有24+48=72種.答案:D

易錯(cuò)辨析忽略題目中的隱含條件而致錯(cuò)【典例】

某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各1人,則不同的選法有

種.

錯(cuò)解:第1步,從會(huì)英語(yǔ)的7人中選1人,有7種選法;第2步,從會(huì)日語(yǔ)的3人中選1人,有3種選法,故共有7×3=21種不同的選法.答案:21以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)誤的根本原因在于忽視了其中有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)這一隱含條件,從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.正解:依題意得,既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的有7+3-9=1人,6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).第1類(lèi),從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種方法,此時(shí)選會(huì)日語(yǔ)的有3種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得選法種數(shù)為6×3=18;第2類(lèi),從不只會(huì)英語(yǔ)的1人中選1人有1種方法,此時(shí)選會(huì)日語(yǔ)的有2種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得選法種數(shù)為1×2=2.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,可知不同選法共有18+2=20種.答案:20解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定好分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),合理恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類(lèi),而且要做到不重不漏,利用分類(lèi)加法(分步乘法)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解決.【變式訓(xùn)練】

在7名學(xué)生中,有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從7人中選2人同時(shí)參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解:選參加象棋比賽的學(xué)生有兩種方法:在只會(huì)下象棋的3人中選或在既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的2人中選.選參加圍棋比賽的學(xué)生也有兩種選法:在只會(huì)下圍棋的2人中選或在既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的2人中選.互相搭配,可得四類(lèi)不同的選法.第1類(lèi),從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第2類(lèi),從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第3類(lèi),從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種選法;第4類(lèi),2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽,有2種選法.故共有6+6+4+2=18種選法.隨堂練習(xí)1.把3個(gè)不同的小球任意放到4個(gè)不同的盒子中,所有可能的放法共有(

)

A.24種

B.4種

C.43種

D.34種解析:第1個(gè)小球放到盒子中有4種放法,第2個(gè)小球放到盒子中也有4種放法,第3個(gè)小球放到盒子中也有4種放法.把這3個(gè)小球放完,就做完了這件事情,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法,故選C.答案:C2.某學(xué)校高二年級(jí)的3個(gè)班級(jí)將要去甲、乙、丙、丁4個(gè)工廠(chǎng)參觀學(xué)習(xí),要求每個(gè)班只能去1個(gè)工廠(chǎng)參觀學(xué)習(xí),且甲工廠(chǎng)必須有班級(jí)去參觀學(xué)習(xí),則不同的參觀方案有(

)A.16種

B.27種 C.37種

D.48種解析:每個(gè)班級(jí)都可以從這4個(gè)工廠(chǎng)中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí),各有4種選擇,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有43=64種參觀方案,若甲工廠(chǎng)沒(méi)有班級(jí)參觀學(xué)習(xí),此時(shí)每個(gè)班級(jí)都可以從其余3個(gè)工廠(chǎng)中選1個(gè)參觀學(xué)習(xí),各有3種選擇,共有33=27種參觀方案,所以甲工廠(chǎng)必須有班級(jí)去參觀學(xué)習(xí)時(shí),不同的參觀方案有64-27=37種,故選C.答案:C3.某校高一年級(jí)有四個(gè)班