6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第2課時）課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學

選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用課標定位素養(yǎng)闡釋1.能夠利用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.2.通過運用兩個計數(shù)原理解決問題的訓練,提升數(shù)學運算、數(shù)學抽象以及數(shù)學建模等核心素養(yǎng),培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.自主預(yù)習新知導學兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系內(nèi)容分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結(jié)果,用其中任何一種方法都可以做完這件事任何一步都不能獨立完成這件事,各個步驟中的方法互相依存,缺少任何一步也不能完成這件事,只有每一個步驟都完成才算做完這件事各類(步)的關(guān)系各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的,即“分類互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性,“獨立”確保不重復(fù),即“分步互依”2.(1)某學生在書店對3本不同的書感興趣,決定至少買其中的1本,則不同的購買方法有(

)A.3種 B.6種C.7種 D.9種(2)在1,2,3,4這四個數(shù)中任取數(shù)(不重復(fù)取)作和,則得到的不同的和共有(

)A.8個 B.9個

C.10個 D.5個解析:(1)分3類:買1本書,買2本書,買3本書.各類的方法依次為3種、3種、1種,故不同的購買方法有3+3+1=7種,故選C.(2)第1類,兩個數(shù)的和是1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7;第2類,三個數(shù)的和是1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9;第3類,四個數(shù)的和是1+2+3+4=10,故得到不同的和為3,4,5,6,7,8,9,10,共有8個,故選A.答案:(1)C

(2)A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果完成一件事情有n類不同的辦法,在每一類中都有若干種不同的方法,那么完成這件事所有的方法為n類所有方法的和.(

√

)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,若事情是分n步完成的,則其中任何一步都不能完成這件事,只有所有步驟都完成后,才能完成這件事.(

√

)(3)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是有關(guān)做一件事的不同方法的種類問題,兩個計數(shù)原理可以看成相同的方法.(×)合作探究釋疑解惑探究一選(抽)取與分配問題【例1】

(1)4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個比賽項目,每人限報一個,共有多少種不同的報名方法?(2)4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個比賽項目的冠軍,共有多少種可能的結(jié)果?解:(1)依題意,應(yīng)該以“4名同學”為主體考慮,只有4名同學都報名確定了項目,這件事情才算完成,而每名同學的報名方法都有3種,由分步乘法計數(shù)原理,可得共有3×3×3×3=34=81種報名方法.(2)依題意,應(yīng)該以“三個冠軍”為主體考慮,只有三個冠軍都確定了得主,這件事情才算完成,而每項冠軍的得主都有4種情況,由分步乘法計數(shù)原理,可得共有4×4×4=43=64種可能的結(jié)果.選準主體,解決元素可重復(fù)的計數(shù)問題利用分步乘法計數(shù)原理解決實際問題,通常情況下,每一步中可用的方法都是不重復(fù)的,即每一步中的方法數(shù)各不相同,但在有些實際問題中,每一步可用的方法允許重復(fù),亦即元素可重復(fù)利用,因此每一步中的方法數(shù)相同.解決這類問題時,關(guān)鍵是選準主體元素,“一定會……”“必須要……”的是主體元素,只有每個主體元素都確定方法數(shù)后,這件事情才算完成,從而可運用分步乘法計數(shù)原理解決問題.【變式訓練1】

(1)5名同學報名參加兩個課外活動小組,每名同學限報其中的一個小組,則不同的報名方法共有(

)

A.10種 B.20種C.25種 D.32種(2)某公交車上有6名乘客,沿途4個車站,則乘客下車的可能方式有(

)A.64種 B.46種C.24種 D.360種解析:(1)依題意,應(yīng)該以“5名同學”為主體考慮,每名同學都有2種選擇,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有25=32種,故選D.(2)由題意,每名乘客都肯定要下車,但某個車站可能沒有乘客下車,因此以乘客為主體考慮,每名乘客都有4種選擇,故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4=46種,故選B.答案:(1)D

(2)B探究二有限制條件的計數(shù)問題【例2】

若甲、乙、丙三名同學計劃利用寒假從A,B,C,D這4處景點中任選1處景點旅游,每人彼此獨立地選景點游玩,且A必須有人去,則不同的選擇方法有(

)A.16種

B.18種 C.37種 D.40種解析:(方法1:直接法)滿足題意的不同的選擇方法有以下三類(1)三名同學中只有一名同學去A,這時分兩步完成:第一步,選一名同學去A,有3種方法;第二步,剩下的兩名同學分別從B,C,D中任選1處景點旅游,有32=9種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有3×32=27種選擇方法.(2)三名同學中有兩名同學去A,這時分兩步完成:第一步,選兩名同學去A:甲乙、甲丙、乙丙,有3種方法;第二步,剩下的一名同學從B,C,D中任選1處景點旅游,有3種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,一共有3×3=9種選擇方法.(3)三名同學都去A,只有1種選擇方法.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知一共有27+9+1=37種不同的選擇方法.(方法2:間接法)三名同學去4處景點,若沒有特別要求,則每名同學都有4種選擇方法,一共有43=64種選擇方法;其中如果沒有人去A,那么三名同學只去3處景點,一共有33=27種選擇方法,故A必須有人去時,共有64-27=37種不同的選擇方法.答案:C求解有限制條件的計數(shù)問題的基本方法(1)直接法:先按照限制條件進行分類,在每一類情況中,運用兩個計數(shù)原理求出所有符合要求的方法種數(shù),再根據(jù)分類加法計數(shù)原理,將每一類中的方法數(shù)相加即得結(jié)果.(2)間接法:先不考慮限制條件,運用兩個計數(shù)原理求出所有可能的方法種數(shù),再求出不滿足限制條件時的方法種數(shù),相減即得所求結(jié)果.【變式訓練2】

某班從6人中選出4人參加學校舉辦的數(shù)學、物理、化學、生物學課外活動,每人只能參加其中一項,且每項課外活動都有人參加,其中甲、乙兩人都不能參加化學課外活動,則不同的參加課外活動方案的種數(shù)為(

)A.94 B.180 C.240

D.286解析:第一步,因為甲、乙兩人都不能參加化學課外活動,所以從剩下的4人中選1人參加化學課外活動,共有4種選法;第二步,在剩下的5人中任選3人參加數(shù)學、物理、生物學課外活動,共有5×4×3=60種選法.由分步乘法計數(shù)原理,得不同參加課外活動方案的種數(shù)為4×60=240,故選C.答案:C探究三涂色問題【例3】

如圖,用紅、黃、綠、黑4種不同的顏色給五個區(qū)域涂色,要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同,則有多少種不同的涂色方法?解:給圖中區(qū)域標上記號A,B,C,D,E,如圖所示.當B與D同色時,有4×3×2×1×2=48種不同的涂色方法;當B與D不同色時,有4×3×2×1×1=24種不同的涂色方法.故共有48+24=72種不同的涂色方法.1.如圖,現(xiàn)有5種不同顏色要對四個區(qū)塊進行著色,要求有公共邊界的兩個區(qū)塊不能用同一種顏色,則不同的著色方案數(shù)為

.

解析:按A,B,C,D順序著色,A區(qū)塊有5種著色方案,B區(qū)塊有4種著色方案,C區(qū)塊有3種著色方案,D區(qū)塊有3種著色方案,故不同的著色方案數(shù)為5×4×3×3=180.答案:1802.如圖,該幾何體由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成,現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有(

)A.36種

B.24種

C.12種

D.9種解析:第1步:涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面,因為要求相鄰的面均不同色,所以共有3×2×1=6種不同的涂法,第2步:涂三棱柱ABC-A1B1C1的三個側(cè)面,先涂側(cè)面AA1B1B有2種涂法,再涂側(cè)面BB1C1C和側(cè)面CC1A1A都只有1種涂法,所以涂三棱柱的三個側(cè)面共有2×1×1=2種不同的涂法,所以不同的涂色方案共有6×2=12種,故選C.答案:C解決涂色問題的基本策略(1)選擇正確的涂色順序,按順序逐一涂色,弄清每一區(qū)域涂色的方法數(shù),根據(jù)分步乘法計數(shù)原理進行計算;若圖形不規(guī)則,則往往從某一區(qū)域開始涂色;如果圖形具有一定的對稱性,那么可以先對涂色方案進行分類,對每一類再進行分步涂色,利用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理進行計算求解.(2)按照涂色實際所用的顏色數(shù)分類求解,在每一類中,運用分步乘法計數(shù)原理計算,最后用分類加法計數(shù)原理得到所有涂色的方法數(shù).(3)對空間幾何體的涂色問題,可將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題進行解決.【變式訓練3】

某學校高二數(shù)學興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色,提出如下的“四色問題”:要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的染色方案有(

)A.18種

B.36種 C.48種 D.72種解析:若選擇4種顏色,則前后側(cè)面或左右側(cè)面用1種顏色,其他3個面,用剩下的3種顏色,所以有2×4×3×2×1=48種;若選擇3種顏色,則前后側(cè)面用1種顏色,左右側(cè)面用另1種顏色,下底面用剩下的1種顏色,所以有4×3×2=24種.綜上,不同的染色方案有24+48=72種.答案:D

易錯辨析忽略題目中的隱含條件而致錯【典例】

某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各1人,則不同的選法有

種.

錯解:第1步,從會英語的7人中選1人,有7種選法;第2步,從會日語的3人中選1人,有3種選法,故共有7×3=21種不同的選法.答案:21以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯誤的根本原因在于忽視了其中有1人既會英語又會日語這一隱含條件,從而導致解題錯誤.正解:依題意得,既會英語又會日語的有7+3-9=1人,6人只會英語,2人只會日語.第1類,從只會英語的6人中選1人有6種方法,此時選會日語的有3種方法.由分步乘法計數(shù)原理得選法種數(shù)為6×3=18;第2類,從不只會英語的1人中選1人有1種方法,此時選會日語的有2種方法,由分步乘法計數(shù)原理得選法種數(shù)為1×2=2.由分類加法計數(shù)原理,可知不同選法共有18+2=20種.答案:20解答此類問題的關(guān)鍵是確定好分類的標準,合理恰當?shù)剡M行分類,而且要做到不重不漏,利用分類加法(分步乘法)計數(shù)原理進行解決.【變式訓練】

在7名學生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另2名既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從7人中選2人同時參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解:選參加象棋比賽的學生有兩種方法:在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選.選參加圍棋比賽的學生也有兩種選法:在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選.互相搭配,可得四類不同的選法.第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種選法;第3類,從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種選法;第4類,2名既會下象棋又會下圍棋的學生分別參加象棋比賽和圍棋比賽,有2種選法.故共有6+6+4+2=18種選法.隨堂練習1.把3個不同的小球任意放到4個不同的盒子中,所有可能的放法共有(

)

A.24種

B.4種

C.43種

D.34種解析:第1個小球放到盒子中有4種放法,第2個小球放到盒子中也有4種放法,第3個小球放到盒子中也有4種放法.把這3個小球放完,就做完了這件事情,由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法,故選C.答案:C2.某學校高二年級的3個班級將要去甲、乙、丙、丁4個工廠參觀學習,要求每個班只能去1個工廠參觀學習,且甲工廠必須有班級去參觀學習,則不同的參觀方案有(

)A.16種

B.27種 C.37種

D.48種解析:每個班級都可以從這4個工廠中選1個參觀學習,各有4種選擇,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有43=64種參觀方案,若甲工廠沒有班級參觀學習,此時每個班級都可以從其余3個工廠中選1個參觀學習,各有3種選擇,共有33=27種參觀方案,所以甲工廠必須有班級去參觀學習時,不同的參觀方案有64-27=37種,故選C.答案:C3.某校高一年級有四個班