2.6.3函數(shù)的最值課件高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

第二章導數(shù)及其應用6.3函數(shù)的最值北師大版

數(shù)學

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.能利用導數(shù)求某些函數(shù)在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.2.體會導數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關系.基礎落實·必備知識一遍過知識點

函數(shù)最值的定義1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值點x0指的是:函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)所有點處的函數(shù)值都不超過f(x0)(如圖所示).x0∈[a,b]由上圖可以看出,最大值或者在極大值點(也是導數(shù)的零點)取得,或者在區(qū)間的端點取得.因此,要想求函數(shù)的最大值,一般首先求出函數(shù)導數(shù)的零點,然后將所有導數(shù)零點與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較,其中最大的值即為函數(shù)的最大值.函數(shù)的最小值點和最小值也是用類似的方法定義.2.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為

.

最值名師點睛1.給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間,如果是開區(qū)間,盡管函數(shù)圖象是連續(xù)的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,2)內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,但在該區(qū)間上,函數(shù)f(x)既沒有最大值,也沒有最小值.2.所給函數(shù)的圖象必須是連續(xù)曲線,否則不一定有最值,例如函數(shù)

在[-1,1]上只有最大值,而沒有最小值.3.函數(shù)的最值是一個整體性概念,最大值(最小值)必須是整個定義的區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值(最小值).函數(shù)在閉區(qū)間上若存在最大值或最小值,則最大值或最小值只能各有一個,具有唯一性;而極大值和極小值可能有多個,也可能沒有.4.極值只能在函數(shù)區(qū)間的內(nèi)部取得,而最值可以在區(qū)間的端點取得,有極值的不一定有最值,有最值的不一定有極值,極值有可能是最值,最值只要不在端點處則一定是極值.思考辨析你能類比最大值點和最大值的定義方法,給出最小值點和最小值的定義嗎?提示

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值點x0指的是:函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)所有點處的函數(shù)值都大于或等于f(x0),函數(shù)的最小值可以在區(qū)間的內(nèi)部取得,也可以在區(qū)間的端點處取得,要想求函數(shù)的最小值,一般首先求出函數(shù)導數(shù)的零點,然后將所有導數(shù)零點與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較,其中最小的值即為函數(shù)的最小值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值.(

)(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得.(

)(3)有極值的函數(shù)一定有最值,有最值的函數(shù)不一定有極值.(

)√××2.下列結論正確的是(

)A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定是在x=a或x=b處取得D.若函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線,則f(x)在區(qū)間[a,b]上存在最大值和最小值D解析

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會在端點處取得,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它在區(qū)間[a,b]上一定存在最大值和最小值.3.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則高應為(

)B重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求函數(shù)的最值角度1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值【例1】

求下列函數(shù)在相應區(qū)間上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];(2)f(x)=2sin

x-x,x∈解

(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-

f(x)-14↗極大值-10↘-12所以當x=-1時,函數(shù)取最小值f(-1)=-14,當x=0時,函數(shù)取最大值f(0)=-10.當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:規(guī)律方法

求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的方法

變式訓練1函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sin

x+1在區(qū)間[0,2π]上的最大值為(

)D角度2.求函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)的最值【例2】

求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)=;(2)f(x)=(x2-3)ex.解

(1),令f'(x)=0,得x=-1或3,容易驗證函數(shù)在x=-1處取得極小值,在x=3處取得極大值,又因為當x=1時y=0,當x<1時y<0,當x>1時y>0.據(jù)此可以畫出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.(2)函數(shù)的定義域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-3,1)內(nèi)單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,極大值等于f(-3)=6e-3;在x=1處取得極小值,極小值等于f(1)=-2e.規(guī)律方法

求函數(shù)在開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)最值的方法求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)內(nèi)的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.C令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1,則f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(x)的最小值是f(1)=,故選C.探究點二含有參數(shù)的函數(shù)最值問題【例3】

已知f(x)=ax-ln

x,a∈R.(1)當a=1時,求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程.(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.規(guī)律方法

對參數(shù)進行討論,其實質(zhì)是討論導函數(shù)f'(x)大于0、等于0、小于0三種情況.若導函數(shù)恒大于等于0或小于等于0,且使f'(x)=0成立的值是孤立的,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點處取得;若導函數(shù)可能等于0,則求出極值點后求極值,再與端點值比較后確定最值.變式訓練3已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的極值;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.解

(1)由f(x)=(x-k)ex,可得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,解得x=k-1,當x變化時,f(x)與f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).所以f(x)有極小值f(k-1)=-ek-1,無極大值.(2)當k-1≤0,即k≤1時,f'(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當0<k-1<1,即1<k<2時,由(1)知f(x)在[0,k-1]上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當k-1≥1,即k≥2時,f'(x)=(x-k+1)ex≤0在x∈[0,1]上恒成立,則函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.綜上,當k≤1時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-k;當1<k<2時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-ek-1;當k≥2時,f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(1-k)e.探究點三由函數(shù)的最值求參數(shù)【例4】

(1)已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,在x∈[-1,2]上的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值.(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28,求k的取值范圍.解

(1)由題設知a≠0,否則f(x)=b為常函數(shù),與題設矛盾.求導得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).①當a>0,且當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗極大值b↘-16a+b由表可知,當x=0時,f(x)取得極大值b,也是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.②當a<0時,同理可得當x=0時,f(x)取得極小值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.綜上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,解得x1=-3,x2=1,當x變化時,h'(x)及h(x)的變化情況如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h'(x)+0-0+h(x)↗極大值28↘極小值-4↗當x=-3時,h(x)取極大值28;當x=1時,h(x)取極小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28,∴如果h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,則k≤-3.即k的取值范圍為(-∞,-3].規(guī)律方法

1.已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點,探索最值點,根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應用.2.理解運算對象,選擇運算方法,求得運算結果,體現(xiàn)了數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).變式訓練4設函數(shù)f(x)=ln

x+,m>0,求f(x)的最小值為2時的m的值.解

∵f'(x)=(x>0),∴當x∈(0,m)時,f'(x)<0,f(x)在(0,m)內(nèi)單調(diào)遞減,當x∈(m,+∞)時,f'(x)>0,f(x)在(m,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴當x=m時,f(x)取得極小值,也是最小值,又最小值為2,∴f(m)=ln

m+=2,∴m=e.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)求函數(shù)的最值.(2)含有參數(shù)的函數(shù)的最值問題.(3)由函數(shù)的最值求參數(shù).2.方法歸納:分類討論、數(shù)形結合.3.常見誤區(qū):(1)忽略函數(shù)的定義域;(2)分類討論的標準分析不清.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1.[探究點一(角度2)]已知函數(shù)f(x)=ex-x,則函數(shù)f(x)的最小值為(

)B解析

函數(shù)f(x)的定義域為R,且f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,可得x=0.當x<0時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x>0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.故f(x)min=f(0)=e0-0=1.故選B.1812345678910111213141516172.[探究點一(角度1)]函數(shù)f(x)=xe-x在[0,4]上的最大值為(

)18B當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當x∈(1,4)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,12345678910111213141516173.[探究點一(角度1)]“燃脂單車”運動是一種在音樂的烘托下,運動者根據(jù)訓練者的指引有節(jié)奏的踩踏單車,進而達到燃脂目的的運動,由于其操作簡單,燃脂性強,受到廣大健身愛好者的喜愛.已知某一單車愛好者的騎行速度v(單位:km/h)隨時間t(單位:h)變換的函數(shù)關系為,則該單車愛好者騎行速度的最大值為(

)C1812345678910111213141516174.[探究點一(角度2)](多選題)

函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)(

)A.有最大值,無最小值B.有最小值,無最大值C.函數(shù)f(x)存在唯一的零點D.函數(shù)f(x)存在唯一的極值點BD18所以在(1,+∞)內(nèi),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,在(0,1)內(nèi),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=e>0,無最大值,不存在零點.所以f(x)存在唯一的極值點.故選BD.12345678910111213141516171812345678910111213141516175.[探究點一(角度1)]函數(shù)f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是

,最小值是

.

2-21812345678910111213141516176.[探究點三]已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是

.

(-∞,2ln2-2]解析由題意知方程ex-2x+a=0有根,即方程a=2x-ex有根,設g(x)=2x-ex,則令g'(x)=2-ex=0,解得x=ln

2.∴g(x)在(-∞,ln

2)內(nèi)單調(diào)遞增,在(ln

2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴g(x)max=2ln

2-eln

2=2ln

2-2,∴a≤2ln

2-2.1812345678910111213141516177.[探究點三]已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),且f'(-1)=f'(3)=0.(1)求a-b的值;(2)若函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值為20,求函數(shù)f(x)在[-1,4]上的最小值.

181234567891011121314151617解

(1)由題意可得f'(x)=-3x2+2ax+b,因為f'(-1)=f'(3)=0,所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-27+6a+b=0,所以a-b=-6.181234567891011121314151617(2)由(1)可得函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+c,則f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),令f'(x)<0,可得x<-1或x>3;令f'(x)>0,可得-1<x<3,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,在(3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.因為f(-2)=2+c,f(2)=22+c,f(-2)<f(2),所以當x∈[-2,2]時,f(x)max=f(2)=22+c=20,解得c=-2,所以f(x)=-x3+3x2+9x-2,所以f(-1)=-7,f(4)=18,f(-1)<f(4),所以當x∈[-1,4]時,f(x)min=f(-1)=-7.1812345678910111213141516171819202122188.[探究點二]已知函數(shù)f(x)=xlnx-2x,求:(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,a]上的最小值.1234567891011121314151617181920212218解

(1)由題設,f'(x)=ln

x-1,x>0,令f'(x)>0,解得x>e,令f'(x)<0,解得0<x<e,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞).(2)由(1)知,當1<a≤e時,f(x)在區(qū)間[1,a]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(a)=aln

a-2a,當a>e時,f(x)在區(qū)間[1,e)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[e,a]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(e)=eln

e-2e=-e.1234567891011121314151617189.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx3+1,若對任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2),則實數(shù)k的取值范圍是(

)BB級關鍵能力提升練12345678910111213141516171810.已知函數(shù)f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-e,+∞) B.(-∞,-e]C解析

?x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,則f(x)min≤g(x)max,由題得f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(-1)=-,g(x)max=g(-1)=a,∴a≥-.故選C.123456789101112131415161718C12345678910111213141516171812.

函數(shù)f(x)=ex+sinx-x-1在區(qū)間[-π,+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4B123456789101112131415161718B12345678910111213141516171814.已知a≤4x3+4x2+1對任意x∈[-2,1]都成立,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-15]12345678910111213141516171812345678910111213141516171816.已知函數(shù)f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若對任意x≥1都有f(x)≥ax-1,求實數(shù)a的取值范圍.12345678910111213141516171812345678910111213141516171817.已知函數(shù)f(x)=x+alnx+1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為-a+1,求實數(shù)a的值.解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),當a≥0時,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,無極值;當a<0時,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得x<-a,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-a),此時f(x)有極小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,無極大值.由f'(x)=0得x=-a,①若a≥-1,則x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e