4.2.5正態(tài)分布課件高二上學期數(shù)學人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計4.2.5正態(tài)分布人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.通過實例,認識正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義.理解3σ原則,會求隨機變量在特殊區(qū)間內的概率.2.通過本節(jié)的學習,體會函數(shù)思想、數(shù)形結合思想在實際中的運用.基礎落實·必備知識全過關知識點一

正態(tài)曲線1.定義一般地,函數(shù)

對應的圖象稱為正態(tài)曲線(也因形狀而被稱“鐘形曲線”,φ(x)也常常記為φμ,σ(x)).其中μ=

,即X的均值;σ=

,即X的標準差.

E(X)2.正態(tài)曲線的性質(1)正態(tài)曲線關于

對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置),具有中間高、兩邊低的特點;

(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為

;(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大,說明標準差越大,數(shù)據(jù)的集中程度越

,所以曲線越“胖”;σ越小,說明標準差越小,數(shù)據(jù)的集中程度越

,所以曲線越“瘦”.

x=μ

1弱

強

名師點睛1.正態(tài)曲線位于x軸上方,與x軸不相交.2.曲線在x=μ時處于最高點,并由此處向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低,其圖象“中間高,兩邊低”.3.當σ一定時,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.4.正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定,參數(shù)μ是反映隨機變量的平均水平的特征數(shù),所以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計.過關自診1.關于正態(tài)曲線特點的描述:①曲線關于直線x=μ對稱,這條曲線在x軸上方;②曲線關于直線x=σ對稱,這條曲線只有當x∈(-3σ,3σ)時才在x軸上方;③曲線關于y軸對稱,曲線對應的函數(shù)是一個偶函數(shù);④曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低;⑤曲線的對稱軸由μ確定,曲線的形狀由σ確定;⑥σ越大,曲線越“胖”,σ越小,曲線越“瘦”.說法正確的是(

)

A.①④⑤⑥ B.②④⑤

C.③④⑤⑥

D.①⑤⑥A解析

參照正態(tài)曲線的性質,正態(tài)曲線位于x軸上方,只有當μ=0時,正態(tài)曲線才關于y軸對稱,因此A選項正確.2.[北師大版教材習題改編]若隨機變量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函數(shù)為

(x∈R),則σ的值為(

)A.1 B.2 C.4 D.8B知識點二

正態(tài)分布1.正態(tài)分布一般地,如果隨機變量X落在區(qū)間[a,b]內的概率,總是等于φμ,σ(x)對應的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a,b]內圍成的

,則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布,記作X~

.

此時φμ,σ(x)稱為X的概率密度函數(shù),此時μ是X的

,σ是X的

,σ2是X的

.

面積

N(μ,σ2)均值

標準差

方差

2.隨機變量X在三個特殊區(qū)間內取值的概率及3σ原則(1)在三個特殊區(qū)間內取值的概率若X~N(μ,σ2),則①P(|X-μ|≤σ)=

≈

,

②P(|X-μ|≤2σ)=

≈

,

③P(|X-μ|≤3σ)=

≈

.

P(μ-σ≤X≤μ+σ)68.3%P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)95.4%P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)99.7%(2)3σ原則由于隨機變量X在(-∞,+∞)內取值的概率為1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X約有99.7%的可能會落在距均值3個標準差的范圍之內,也就是說只有約0.3%的可能會落入這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件),這一結論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”.

通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生名師點睛X幾乎都取值于區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]之內,而在此區(qū)間以外取值的概率是極小的,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.這是統(tǒng)計中常用的檢驗的基本思想.3.標準正態(tài)分布μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布,記作X~

.

過關自診1.如果隨機變量X~N(4,1),則P(X<2)等于(

)

A.0.21 B.0.023 C.0.045

D.0.021N(0,1)B2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布,且X落在區(qū)間(0.2,+∞)內的概率為0.5,那么相應的正態(tài)曲線f(x)在x=

時達到最高點.

3.[人教A版教材習題改編]設隨機變量X~N(0,1),則X的概率密度函數(shù)為

,P(|X|≤1)=

,P(X≤1)=

,P(X>1)=

.(精確到0.001)

0.2解析

由正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱,且在x=μ處達到峰值和其落在區(qū)間(μ,+∞)內的概率為0.5,得μ=0.2.0.6830.8410.159重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一正態(tài)曲線及其性質【例1】

某次我市高三教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布,則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的一項是(

)A.甲科總體的標準差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同A解析

由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等,由正態(tài)曲線的性質,可知σ越大,正態(tài)曲線越“胖”;σ越小,正態(tài)曲線越“瘦”.故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選A.規(guī)律方法

利用正態(tài)曲線的性質求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此性質結合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值

,由此性質結合圖象可求σ.(3)由曲線的“胖瘦”區(qū)分σ的大小.變式訓練1(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)圖象如圖所示,則下列說法正確的是(

)A.甲類水果的平均質量μ1=0.4kgB.甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小D.乙類水果的質量服從正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99ABC解析

由圖象可知,甲類水果的平均質量μ1=0.4

kg,乙類水果的平均質量μ2=0.8

kg,故A,C正確;甲圖象比乙圖象更高瘦,所以甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右,故B正確;乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的最大值為1.99,即

=1.99,σ2≠1.99,故D錯誤.故選ABC.探究點二正態(tài)分布下的概率計算【例2】

(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)=(

)A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2C解析

∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2,其圖象的對稱軸是直線x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故選C.(2)[人教A版教材習題改編]某市高二年級男生的身高X(單位:cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),隨機選擇一名本市高二年級的男生,求下列事件的概率:①165≤X≤175;②X<165;③X>175.解

∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.∴①P(165≤X≤175)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.②P(X<165)=[1-P(165≤X≤175)]≈×(1-0.683)=0.158

5.③P(X>175)=P(X<165)=0.158

5.規(guī)律方法

服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間內取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1.(2)注意概率值的求解轉化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);③若b<μ,則P(X<b)=(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)對應的值.變式訓練2(1)如果隨機變量ξ~N(0,1),且P(ξ>1)=0.3,則P(0≤ξ≤1)等于(

)A.0.4 B.0.2C.0.3 D.0.5B解析

(1)由題意,隨機變量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=0.3,則P(ξ<-1)=0.3,所以,P(0≤ξ≤1)=P(-1≤ξ≤1)=(1-0.3-0.3)=0.2.故選B.(2)某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D解析

對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大,故A正確;對于B,由正態(tài)曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態(tài)曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對于D,因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.故選D.探究點三正態(tài)分布的實際應用【例3】

(1)[北師大版教材習題]一批電阻的阻值X(單位:Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52),現(xiàn)從甲、乙兩箱成品中各隨機抽取一只電阻,測得阻值分別為1011Ω和982Ω,可以認為

.(填寫所有正確結論的序號)

①甲、乙兩箱電阻均可出廠;②甲、乙兩箱電阻均不可出廠;③甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠;④甲箱電阻不可出廠,乙箱電阻可出廠.③解析

因為X~N(1

000,52),所以μ=1

000,σ=5.所以μ-3σ=1

000-3×5=985,μ+3σ=1

000+3×5=1

015.因為1

011∈[985,1

015],982?[985,1

015],所以甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠.(2)設在一次數(shù)學考試中,某班學生的分數(shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班共54名學生,求這個班在這次數(shù)學考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解

由題得μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.158

5.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158

5=0.841

5.∴54×0.841

5≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.158

5,即P(X>130)=0.158

5.∴54×0.158

5≈9,即130分以上的人數(shù)約為9.變式探究

如果例3(2)中把條件“這個班共54名學生”換成“現(xiàn)已知該班同學中不及格的有9人”,求相應結論.解

∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20,∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.683,∴X<90的概率約為

×(1-0.683)=0.158

5.設該班學生共有x人,則0.158

5x=9,解得x≈57.∴P(X≥90)=1-0.158

5=0.841

5,∴這個班在這次數(shù)學考試中及格的人數(shù)為0.841

5×57≈48(人),又P(X<90)=P(X>130),∴130分以上的人數(shù)約為9.規(guī)律方法

1.利用轉化的思想方法,把普通的區(qū)間轉化為3σ區(qū)間,由特殊區(qū)間的概率值求出.2.解答正態(tài)分布的實際應用題,其關鍵是如何轉化,同時應熟練掌握隨機變量在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內的概率值.在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結合思想.3.利用“3σ原則”可進行合理性分析.變式訓練3[人教A版教材例題改編]小明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.如果某天有38min可用,小明應選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應該選擇哪種交通工具?請說明理由.解

對于隨機變量X,樣本的均值為30,樣本的標準差為6;對于隨機變量Y,樣本的均值為34,樣本的標準差為2.用樣本的均值估計參數(shù)μ,用樣本的標準差估計參數(shù)σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38

min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應選擇騎自行車;如果只有34

min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應選擇坐公交車.成果驗收·課堂達標檢測12345678910A級必備知識基礎練1.[探究點二]已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,4),P(X>2)=0.3,P(X<0)=(

)A.0.2 B.0.3

C.0.7D.0.811B解析

∵X~N(1,4),∴P(X<0)=P(X>2)=0.3.故選B.123456789102.[探究點二·2023陜西渭南高二期末]已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(ξ<4)=0.78,則P(2<ξ<3)=(

)A.0.2 B.0.24

C.0.28

D.0.3211C解析

由隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),可知正態(tài)曲線關于直線x=3對稱.由P(ξ<4)=0.78,可得P(ξ≥4)=P(ξ≤2)=1-0.78=0.22.則P(2<ξ<4)=1-2×0.22=0.56,故P(2<ξ<3)=P(2<ξ<4)=×0.56=0.28.故選C.123456789103.[探究點三·2023山西太原五中高三期末]某中學高三(1)班有50名學生,在一次高三模擬考試中,經(jīng)統(tǒng)計得:數(shù)學成績X~N(110,100),則估計該班數(shù)學得分大于120分的學生人數(shù)為(

)(參考數(shù)據(jù):已知X~N(μ,σ2)時,有P(|X-μ|≤σ)≈0.683,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954)A.16 B.10 C.8 D.211C解析

因為數(shù)學成績X~N(110,100),所以μ=110,σ=10.因此由P(|X-110|≤10)≈0.683?P(100≤X≤120)≈0.683?P(110≤X≤120)≈×0.683=0.341

5,所以有P(X>120)=-P(110≤X≤120)=-0.341

5=0.158

5,估計該班數(shù)學得分大于120分的學生人數(shù)為0.158

5×50≈8.故選C.123456789104.[探究點三·2023黑龍江哈爾濱高二期末]首屆國家最高科學技術獎得主,雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問題和農業(yè)科學發(fā)展貢獻了中國力量,某雜交水稻種植研究所調查某地水稻的株高時,發(fā)現(xiàn)株高X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(100,102),若測量10000株水稻,求株高在[80,90]的水稻數(shù)量.(附X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)11解

由X~N(100,102)知,μ=100,σ=10,所以P(80≤X≤90)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)≈(0.954-0.683)=0.135

5.所以若測量10

000株水稻,株高在[80,90]的約有1

355株.12345678910B級關鍵能力提升練5.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,則P(X<6)=(

)A.0.3 B.0.4

C.0.85

D.0.711D解析

因為X~N(4,σ2),正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=4,因為P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故選D.123456789106.(多選題)“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系.某水稻種植研究所調查某地雜交水稻的株高,得出株高X(單位:cm)服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù),x∈(-∞,+∞),則(

)A.該地雜交水稻的平均株高為100cmB.該地雜交水稻株高的方差為10C.該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D.隨機測量該地的一株雜交水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一樣大11AC解析

因為

,所以μ=100,σ=10,即均值為100,標準差為10,方差為100,故A正確,B錯誤;根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)φ(x)圖象關于直線x=100對稱,所以該地雜交水稻株高在120

cm以上的數(shù)量和株高在80

cm以下的數(shù)量一樣多,故C正確;隨機測量該地的一株雜交水稻,其株高在(80,90)和在(110,120)的概率一樣大,故D錯誤.故選AC.1234567891011123456789107.(多選題)4月23日為世界讀書日,已知某高校學生每周閱讀時間X服從正態(tài)分布X~N(9,4),則(

)A.該校學生每周平均閱讀時間為9小時B.該校學生每周閱讀時間的標準差為4C.該校學生每周閱讀時間少于3小時的人數(shù)約占0.3%D.若該校有10000名學生,則每周閱讀時間在3~5小時的人數(shù)約為215(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)11AD1234567891011123456789108.[2023黑龍江肇東高二期末]已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),且,則P(3<ξ<5)=

.

110.4123456789109.研究某市某種作物,其單株生長果實個數(shù)ξ服從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,從中隨機抽取10株,果實個數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機變量X,假設X服從二項分布,則X的方差為

.

112.4解析

因為ξ~N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1.所以P(90≤ξ≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.12345678910C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練10.為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產經(jīng)驗,可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設生產狀態(tài)正常,記X表示一天內抽取的16個零件中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望;(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,試用所學知識說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性.附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,0.99716≈0.9531.111234567891011解

(1)由題可知零件尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之內的概率約為0.997,則落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率為1-0.997=0.003,因為P(X=0)=×(1-0.997)0×0.99716≈0.953

1,所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.046

9,又因為X~B(16,0.003),所以E(X)=16×0.003=0.048.(2)如果生產狀態(tài)正常,一個零件尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只