全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷1（共238題）

全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷1（共9套）（共238題）全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第1套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若n階方陣A可逆，且伴隨矩陣A*也可逆，則A*的逆矩陣為()A、AB、｜A｜2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A.A’=A’.A=｜A｜.I，所以所以答案為C.2、設(shè)，則Ax=0的基礎(chǔ)解系含有_______個(gè)解向量．()A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于V(A)=3，所以基礎(chǔ)解集含有4—3=1個(gè)向量．答案為A.3、如果n階方陣A滿足AT．A=A．AT=I，則A的行列式｜A｜為()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案為C。4、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A一2I=0，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2-2A-2I=0寫成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一21=0，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I一A)=I，故(A+I)-1=3I.A答案為A.5、設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后所得的矩陣，則有()A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0，則一定有|B|=0D、若|A|＞0，則一定有|B|＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)B=PAQ，其中P，Q為可逆矩陣，于是當(dāng)|A|=0時(shí)，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故選C．6、設(shè)ε1，ε2，ε3是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則該方程組的基礎(chǔ)解系還可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等價(jià)向量組B、ε1，ε2，ε3的一個(gè)等秩向量組C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：A錯(cuò)誤，這是因?yàn)榈葍r(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也與ε1，ε2，ε3等價(jià)，但它不是基礎(chǔ)解系．B也錯(cuò)誤，等價(jià)自然等秩．C正確，一方面它與ε1，ε2，ε3等價(jià)，且另一方面?zhèn)€數(shù)也為3．D錯(cuò)誤，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1線性相關(guān)．7、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C為同階方陣，則A應(yīng)滿足條件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：若AB=AC,則A(B-C)=0，故當(dāng)A可逆，即｜A｜≠0時(shí)B=C答案為D。8、設(shè)A=，則A的屬于特征值0的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：用定義Ax=λx來判斷，這時(shí)λ=0，故計(jì)算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時(shí)，有Ax=0．答案為B。9、設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩陣P，使P－1AP＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析10、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個(gè)數(shù)m＜nB、方程個(gè)數(shù)m＞nC、方程個(gè)數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：對于線性方程組Ax=0來說，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。11、設(shè)三元實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=一2x12+3x22一4x32，則其規(guī)范形為()A、一z12一z22一z32B、一z12+z22+z32C、z12一z22一z32D、z12+z22+z32標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：三元二次型f=一2x12+3x22一4x32，經(jīng)過可逆線性變換：，則其規(guī)范型為f’=z12一z22一z32．12、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．13、齊次線性方程組的解的個(gè)數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無窮多個(gè)解C、無解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無窮多個(gè)解．答案為B。14、已知是三元齊次線性方程組Ax＝0的解，則系數(shù)矩陣A可為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題知是兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則該Ax＝0的基礎(chǔ)解系中至少含有2個(gè)自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，顯然只有A項(xiàng)的秩為1≤l，故選A項(xiàng)．15、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1()A、A-1+B-1B、A+B.C、A(A+B)-1.BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)16、設(shè)A=(aij)是s×r矩陣，B=(bij)是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．17、設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案為D。18、線性方程組無解，則λ=()A、0B、1C、一1D、任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)λ≠0且λ≠一1時(shí)有惟一解，當(dāng)λ=一1時(shí)有無窮多解．當(dāng)λ=0時(shí)無解．答案為A。19、向量組α1，α2和向量組α2，α3均線性無關(guān)，則向量組α1，α2，α3()A、一定線性無關(guān)B、一定線性相關(guān)C、不能由α1，α3線性表示D、既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)，則α1，α2線性無關(guān)，α2，α3線性無關(guān)，但α1，α2，α3線性相關(guān)；又設(shè)α1=則α1，α2線性無關(guān)，α2，α3線性無關(guān)，但α1，α2，α3線性無關(guān)．20、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無關(guān)的向量組，四個(gè)選項(xiàng)中只有D中三個(gè)向量線性無關(guān)．答案為D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、在n階行列式D=|aij|中，當(dāng)i＜j時(shí)，aij=0(i，j=1，2，…，n)，則D=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a11a32…ann知識點(diǎn)解析：該行列式為下三角形，故D=a11a22…ann．22、實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3的正慣性指數(shù)p=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：p=2知識點(diǎn)解析：令由于所以經(jīng)過可逆；線性變換二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=y12+2y22一2y32，所以正慣性指數(shù)p=2．23、設(shè)A為3×4矩陣，C是4階可逆矩陣，矩陣A的秩為2，則矩陣B＝AC的秩為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由任一個(gè)可逆矩陣都是若干個(gè)初等方陣的乘積，而對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩，因C為可逆矩陣，所以r(B)＝r(AC)＝r(A)＝2．24、設(shè)且A的特征值為2和1(二重)，那么B的特征值為_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2和1(二重)知識點(diǎn)解析：因?yàn)閨λE一A|=|(λE一A)T|=|λE一AT|，即A與AT有相同的特征多項(xiàng)式，故有相同的特征值，又AT=B．故B的特征值即為2和1(二重)．25、設(shè)A=，則(A+B)2一(A2+AB+B2)=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA26、設(shè)矩陣A=，則A的全部特征值為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1，1知識點(diǎn)解析：特征方程｜λE—A｜==0∴λ1=—1，λ2=1．27、設(shè)三元實(shí)二次型f(x1，x2，x3)的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型是_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：f=z12+z22一z32知識點(diǎn)解析：因f為實(shí)二次型，所以f可經(jīng)非退化線性替換x=cz化為規(guī)范形，又r=n=3，正慣性指數(shù)為2，則負(fù)慣性指數(shù)為1，故f的規(guī)范型為f=z12+z22一z32．28、設(shè)矩陣則|AAT|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：9知識點(diǎn)解析：29、二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+x2x3經(jīng)過正交變換x=Px可化為標(biāo)準(zhǔn)形f=6y12則a=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可知，二次型的矩陣A的特征值是6，0，0．由矩陣的特征值的性質(zhì)知，λ1+λ2+λ3=6=a11+a22+a33=3a，故a=2．30、設(shè)A，B都為n階對稱矩陣，則AB也為對稱矩陣的充要條件為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=BA知識點(diǎn)解析：A，B為n階對稱矩陣，則AT=A，BT=B，因?yàn)锳B也是對稱矩陣．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A，B都為n階對稱矩陣，則AB也為對稱矩陣的充要條件為AB=BA.三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、求向量組α1＝(1，－1，0，0)T，α2＝(－1，2，1，－1)T，α3＝(0，1，1，－1)T，α4＝(－1，3，2，1)T，α5＝(－2，6，4，1)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：故A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為α1，α2，α4，即α1，α2，α4是原向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．從上述變換容易看出，知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)三元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)=2，α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個(gè)解，求該方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：[提示]α1一α2=(一2，0，1)T是Ax=0是基礎(chǔ)解系．所以通解為(1，2，2)T+c(一2，0，1)T(c為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)矩陣求3AB一2A.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析34、計(jì)算行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：把第二行的(一1)倍加到第一行，第四行的(一1)倍加到第三行得把第一列的(一1)倍加到第二列，第三列的(一1)倍加到第四列得知識點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識點(diǎn)解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，β1＝α1－α2，β2＝α1－α2＋2α3，β3＝2α1－α2＋3α3，證明：β1，β2，β3是線性相關(guān)的．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1β1＋k2β2＋k3β3＝0，(1)即k1(α2－α3)＋k2(α1－α2＋2α3)＋k3(2α1－α2＋3β3)＝0，(2)整理得(k2＋2k3)α1＋(k1－k2－k3)α2＋(2k2－k1＋3k3)α3＝0，(3)因α1，α2，α3線性無關(guān)，故齊次線性方程組有非零解，即存在k1，k2，k3不全為零，使(1)式成立．因此β1，β2，β3線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第2套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知A、B為n階方陣，且滿足A2＝B2，則必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B項(xiàng)正確．2、設(shè)A為二階方陣，B為三階方陣，且行列式｜A｜＝2，｜B｜＝－1，則行列式｜A｜B｜＝A、8B、－8C、2D、﹣2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因B為3階矩陣，且｜B｜＝－1，｜A｜＝2，所以｜A｜B｜＝｜A｜3｜B｜＝23×(－1)＝－8．3、n維向量組α1，α2…，αs(s≥2)線性相關(guān)充要條件A、α1，α2，…，αs中至少有兩個(gè)向量成比例B、α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)是零向量C、α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出D、α1，α2，…，αs中每一個(gè)向量都可以由其余向量線性表出標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析4、若向量組α1＝(1，t+1，0)，α2＝(1，2，0)，α3﹦(0，0，t－1)線性無關(guān)，則實(shí)數(shù)tA、≠0B、≠1C、≠2D、≠3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：，要使α1，α2，α3線性無關(guān)，則r(A)＝3，即t－1≠0，得t≠l，故B項(xiàng)正確．5、若四階實(shí)對稱矩陣A是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式的代數(shù)余子式A22﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：7、已知四階行列式D的第二行元素為1，0，﹣2，3，第四行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式依次為6，﹣2，k，1，則k﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：9/2知識點(diǎn)解析：由行列式某行元素乘以不同行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式的和為零，得1×6+0×(－2)＋(－2)×k＋3×1＝0，得k＝9／2．8、設(shè)矩形，則2AB﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、若﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：10、設(shè)A﹦且A可逆，則k______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：≠0知識點(diǎn)解析：n階矩陣A可逆｜A｜≠0，則｜A｜＝－k≠0，即k≠0時(shí)，A可逆．11、若A＝，則A－1＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、若A＝，則A－1＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：13、設(shè)矩陣X滿足，則X＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、設(shè)，則A＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：P、Q為初等矩陣，且P－1＝P，Q－1＝Q，故P2＝E，Q2＝E所以P10＝E，Q11＝Q，則15、若方程組，僅有零解，則常數(shù)k取值為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k≠1且k≠－2知識點(diǎn)解析：由齊次線性方程組僅有零解，則∣A∣＝≠0，得k≠－1且k≠－2．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、已知向量組α1＝(1，－1，1)，α2＝(0，a，2)，α3＝(1，2，a)，求：(1)當(dāng)a為何值時(shí)，α1，α2，α3線性無關(guān)．(2)當(dāng)a為何值時(shí)，α1，α2，α3線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，得a≠3且a≠－2，故當(dāng)a≠3且a≠－2時(shí)，α1，α2，α3線性無關(guān)．(2)若α1，α2，α3線性相關(guān)，則，得a＝3或a＝－2，故當(dāng)a＝3或a＝－2時(shí)，α1，α2，α3線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求向量組α1＝(2，3，1)T，α2＝(1，－1，3)T，α3＝(3，2，4)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：，故此向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為α1，α2(或α1，α3)，且α3＝α1＋α2(或α2＝α3－α1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、判斷向量組α1＝(1，3，4，－2)T，α2＝(3，－1，2，0)T，α3＝(4，－3，1，1)T，α4＝(2，1，3，－1)T是否為R4的基，若不是，求出R4的基．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量空間的一個(gè)基就是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組．，故有一個(gè)極大無關(guān)組為α1，α2(極大無關(guān)組不唯一)，因此α1，α2，α3，α4不是R4的基，而α1，α2才是R4的基．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求向量組α1＝(0，0，0，1)T，α2＝(1，2，－1，1)T，α3＝(1，－2，－1，0)T，α4＝(－1，－2，1，1)T，α5＝(2，0，1，－1)T的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：，故向量組的秩為4．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求R3中由向量組α1＝(2，0，1)T，α2＝(1，1，1)T，α3＝(1，2，3)T生成的子空間V的基和維數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：向量空V的基就是向量空間V中的一個(gè)極大線性無關(guān)組，V的維數(shù)就是此極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)．，得r(A)＝3．則α1，α2，α3線性無關(guān)，所以生成子空間V的基為α1，α2，α3，維數(shù)為3．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)a為何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解，并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、當(dāng)a、b為何值時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解?有無窮多個(gè)解?并求有無窮多解時(shí)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)n階矩陣A、B滿足A+B=AB，求證：E﹣A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳＋B＝AB，所以AB－B－A＋E＝E，所以(E－A)－(E－A)B＝E，即(E－A)(E－B)＝E．所以E－A可逆，且(E－A)﹣1＝E－B．知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第3套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、的根為()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：提示2、3、4列加到第一列．答案為D。2、如果A，B是同階對稱矩陣，則A.B()A、是對稱矩陣B、是非對稱矩陣C、是反對稱矩陣D、不一定是對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)A與B均為對稱矩陣但A.B=不是對稱矩陣．答案選D。3、設(shè)n(n≥3)階矩陣若矩陣A的秩為n一1，則a必為()A、1B、C、一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由r(A)=n一1，必｜A｜=0．若a=1，則r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n-1(1一a+na)=(1一a)n-1[1一(1一n)a]因a≠1，故僅當(dāng)時(shí)，｜A｜=0且r(A)=n一1(即｜An-1｜≠0)．答案為B4、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個(gè)數(shù)m＜nB、方程個(gè)數(shù)m＞nC、方程個(gè)數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：對于線性方程組Ax=0來說，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。5、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：按定義計(jì)算，可得結(jié)果為0．7、設(shè)A為n階方陣，且｜A｜=2，則FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)矩陣則AT.A_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、分塊矩陣則AT=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、已知α1，α2線性無關(guān)而α1,α2,α3線性相關(guān)，則向量組α1，3α2，7α3的極大無關(guān)組為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，3α2知識點(diǎn)解析：由于α1與3α2線性無關(guān)，并且7α3可由α1，3α2線性表示．11、設(shè)矩陣A為4×6矩陣，如果秩A=3，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：由于AX=0是6個(gè)未知量的齊次線性方程組．6一r(A)=6—3=3，所以基礎(chǔ)解系中含有3個(gè)解向量．12、設(shè)λ=2是n階方陣A的一個(gè)特征且｜A｜≠0，則n階方陣B=A3一3E+A-1必有特征值_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜A｜≠0，因此A可逆，又λ=2是A的特征值，因此存在非零向量α得Aα=2α，所以Aα=2α．A2(Aα)=α2(2α)=2A(2α)=4Aα=8α，A-1α=α，所以Bα=A2α－3Eα+A-1α=80α－3α+，所以B有特征值．13、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=一1，λ2=一1，λ3=一2，則｜A｜=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：｜A｜=λ1.λ2.λ3=一2．14、已知三階矩陣有一個(gè)特征向量p=則x=_______，y=_________，p所對應(yīng)的特征值λ=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：X=-2，y=6，λ=-4知識點(diǎn)解析：設(shè)矩陣A的特征向量P所對應(yīng)的特征值為λ，則有(λI-A)p=0．即或解得x=一2，y=6，λ=-4．15、已知二次型f(x)=xTAx的矩陣為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)槎涡蚮(x1，x2，x3)=x12+6x1x3+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩陣的定義知矩陣為三、計(jì)算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)16、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：將各行元素乘1加到第一行上，提取公因子10，再利用行列式的性質(zhì)化為三角形，從而得值為160．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)矩陣求3AB一2A.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)，求k的值使A的秩r(A)分別等于1，2，3．標(biāo)準(zhǔn)答案：對A進(jìn)行初等行變換，得由此可見，當(dāng)k=1時(shí)，r(A)=1；當(dāng)k=一2時(shí)，r(A)=2；當(dāng)k≠1且k≠一2時(shí)，r(A)=3．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知向量組是R2的一組基，求向量在這組基下的坐標(biāo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1,α2,α3，α為列向量的矩陣A作初等行變換，有因此α=2α1+3α2一α3，所以α在基α1,α2,α3下的坐標(biāo)為(2，3，-1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知且a2+b2=1．求(1)A的特征值；(2)將A對應(yīng)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．并寫出所用的變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：=λ2一a2一b2=λ2一1=0．所以A的特征值為λ1=1，λ2=一1．標(biāo)準(zhǔn)形為f標(biāo)=y12一y22知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)矩陣可以對角化，求x與y滿足的條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A可以對角化，因此，A有3個(gè)線性無關(guān)的特征值向量，先求A的特征值，由于因此A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=一1，所以A可對角化，則λ1=λ2=1對應(yīng)于兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量．即齊次線性方程組(E—A)X=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，因此r(E—A)=1，對E—A作初等行變換有所以當(dāng)且僅當(dāng)x+y=0時(shí)，r(E-A)=1，即A可對角化，則x，y滿足的條件是x+y=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，問：22、λ取什么值時(shí)，Q為正定的?標(biāo)準(zhǔn)答案：用Q正定它的矩陣的各階順序主子式皆為正數(shù)．因故D1=λ，D2=λ2一1，D3=(λ一2)(λ+1)2所以要Q正定，必須λ＞0，λ2＞1，λ＞2，故λ＞2為答案．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、λ取什么值時(shí)，Q為負(fù)定的?標(biāo)準(zhǔn)答案：Q負(fù)定D1＜0，D2＞0，D3＜0，即λ＜0，λ2＞1，λ＜2→λ<一1所以λ＜一1時(shí)，Q負(fù)定．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、當(dāng)λ=2和λ=一1時(shí)，Q為什么類型?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ一2時(shí)，A的所有主子式均為正數(shù)或0，所以Q是半正定的(因a11，a22=a33=2＞0，detA=-0，二階主子式有3個(gè)值均為3)．或用配方法所以Q半正定．當(dāng)λ=一1時(shí)，Q=一(x—y—z)2，故Q半負(fù)定．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)25、如果Ak=0(k為正整數(shù))，求證：(E—A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)=E．知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是三階可逆方陣，則與A等價(jià)的矩陣為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：等價(jià)矩陣有相同的秩，因A為可逆矩陣，所以r(A)＝3，顯然只有B項(xiàng)的秩為3，故選B項(xiàng)．2、設(shè)矩陣A＝，則A中A、所有三階子式都為零B、所有二階子式都不為零C、存在一個(gè)三階子式不為零D、所有二階子式都為零標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程組Ax＝0存在非零解的充要條件為A、A的列向量線性無關(guān)B、A的行向量線性無關(guān)C、A的列向量線性相關(guān)D、A的行向量線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充要條件是A的列向量線性相關(guān)．4、若二階矩陣A相似于矩陣B＝，E為二階單位矩陣，則與矩陣A－2E相似的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因A～B，故A的特征值為1，3，則A一2E的特征值為－1，1．因相似矩陣必有相同的特征值，所以只有B項(xiàng)正確．5、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值分別為－1，－2，0，則A、A正定B、A負(fù)定C、A半正定D、A半負(fù)定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：正定矩陣特征值全大于0．負(fù)定矩陣特征值全小于0．半正定矩陣特征值中含0，而其余全大于0．半負(fù)定矩陣特征值中含0，而其余全小于0．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知行列式＝a，則數(shù)a＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：9知識點(diǎn)解析：7、設(shè)四階矩陣A＝，則(AT)－1＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)二階矩陣A＝，則｜2A2｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點(diǎn)解析：9、已知矩形方陣AX＝B，其中，則X＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)向量α1＝(1，0，－1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(－1，1，1)T，β＝(2，3，0)T，則β由α1，α2，α3線性表出的表達(dá)式為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：β＝3α1＋2α2＋α3知識點(diǎn)解析：11、設(shè)A為n階方陣，若任何n維列向量都是齊次線性方程組Ax＝0的解，則｜A｜＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因任意一個(gè)n維列向量都是Ax＝0的解，故必存在一個(gè)非零列向量為Ax＝0的非零解，所以｜A｜＝0．12、設(shè)向量組α1＝(1，2，3)T，α2＝(1，0，－1)T，α3＝(2，1，0)T與向量組β1，β2，β3等價(jià)．則向量組β1，β2，β3的秩為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由等價(jià)向量組必有相同的秩，設(shè)13、設(shè)向量α＝為單位向量且a>0，則a＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、已知λ＝1為矩陣A＝的2重特征值，則A的另一特征值為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：設(shè)A的另一個(gè)特征值為x，則tr(A)＝1＋1＋x＝1＋2＋(－1)，得x＝0．故A的另一個(gè)特征值為0．15、設(shè)三元實(shí)二次型f(x1，x2，x3)的秩為3，正慣性指數(shù)為1，則此二次型的規(guī)范形為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：z12－z22－z32知識點(diǎn)解析：由三元實(shí)二次型f的秩為3，且正慣性指數(shù)為1，則負(fù)慣性指數(shù)為3—1＝2，故此二次型的規(guī)范形為z12－z22－z32三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、已知A＝求A的特征值和特征向量，并分析k為何值時(shí)，A能相似于對角陣，k為何值時(shí)，A不能相似于對角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：而當(dāng)k≠0時(shí)，A不能相似于對角陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)A為三階矩陣，且A的特征值為λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其對應(yīng)特征向量分別是p1＝(1，0，0)T，p2＝(1，1，0)T，p3＝(1，1，1)T，求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)矩陣A與B相似，其中．(1)求z和y的值；(2)求可逆矩陣P，使P－1BP＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因A～B，所以A、B有相同的特征值．由題易知，A的特征值為－1，2，x，故B的特征值也為－1，2，x．由｜λE3－B｜＝(λ＋2)[λ2－(y＋1)λ＋(y－2)]＝0，則當(dāng)λ＝－1時(shí)，｜λE3－B｜＝1·[1＋(y＋1)＋(y－2)]＝0，得y＝0．故｜λE3－B｜＝(λ＋2)·(λ2－λ－2)＝(λ＋2)(λ－2)(λ＋1)＝0，得B的特征值為λ1＝－1，λ2＝2，λ3＝－2，故x＝－2．(2)由(1)知B的特征值為λ1＝－1，λ2＝2，λ3＝－2．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、把向量組α1＝(1，1，0，0)，α2＝(1，0，1，0)，α3＝(－1，0，0，1)，α4＝(1，－l，－1，1)化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：先把它們正交化，得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A＝，求正交矩陣Q，使QTAQ＝Q－1AQ＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為1，2，3，且其特征值1，2的特征向量分別為α1＝(1，－2，－1)T，α2＝(－1，－1，1)T，求：(1)A的特征值3的特征向量；(2)矩陣A是什么．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因A為實(shí)對稱矩陣，所以屬于不同特征值的特征向量必正交，故令特征值3對應(yīng)的特征向量α3＝(x1，x2，x3)T，解此齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系α3＝(1，0，1)T，故A的屬于特征值3的全部特征向量為kα3(k為任意實(shí)數(shù)且k≠0)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)＝4x22－3x32＋4x12－4x13＋8x23，用正交變換化上述二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出二次型的秩及其正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f＝y(tǒng)12＋6y22－6y32，故二次型的正慣性指數(shù)為2<3，因此二次型是不定二次型．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，β1＝α1－α2，β2＝α1－α2＋2α3，β3＝2α1－α2＋3α3，證明：β1，β2，β3是線性相關(guān)的．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1β1＋k2β2＋k3β3＝0，(1)即k1(α2－α3)＋k2(α1－α2＋2α3)＋k3(2α1－α2＋3β3)＝0，(2)整理得(k2＋2k3)α1＋(k1－k2－k3)α2＋(2k2－k1＋3k3)α3＝0，(3)因α1，α2，α3線性無關(guān)，故齊次線性方程組有非零解，即存在k1，k2，k3不全為零，使(1)式成立．因此β1，β2，β3線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第5套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知二階行列式A、7B、－7C、1D、-1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：2、下列為初等方陣的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因只有單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣才稱為初等方陣，故A項(xiàng)正確，因B、C、D項(xiàng)都是單位矩陣經(jīng)過了兩次初等變換才能得到，所以B、C、D不對．3、向量組α1，α2，…，αs，(s≥2)的秩為零的充要條件是A、α1，α2，…，αs全是零向量B、α1，α2，…，αs中沒有線性相關(guān)的部分組C、α1，α2，…，αs中可以有非零向量D、α1，α2，…，αs可以全是非零向量標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：只有零矩陣的秩才是0，故此向量組應(yīng)全是零向量，因此A項(xiàng)正確．4、設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩陣P，使P－1AP＝B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析5、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋3x32＋2x1x2＋2x2x3的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由二次型的矩陣，得r(A)＝3，即此二次型的秩為3，故選D項(xiàng)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知三階行列式，＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點(diǎn)解析：7、設(shè)矩陣，則A+P1TB＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)A為3×4矩陣，C是4階可逆矩陣，矩陣A的秩為2，則矩陣B＝AC的秩為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：由任一個(gè)可逆矩陣都是若干個(gè)初等方陣的乘積，而對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩，因C為可逆矩陣，所以r(B)＝r(AC)＝r(A)＝2．9、已知α1＝(－1，1，0)T，α2＝(2，－1，1)T是四元非齊次線性方程組Ax＝b的兩個(gè)解向量，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax＝0必有一個(gè)非零解向量ξ＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(3，－2，1)T知識點(diǎn)解析：ξ＝α2－α1＝(3，－2，1)T．10、已知向量組的秩為2，則t＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：11、已知向量α＝(1，0，－1)T，β＝(k，1，2)T，α與β的內(nèi)積為2，則k＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點(diǎn)解析：α與β的內(nèi)積為αTβ＝(1，0，－1)＝2，即k－2α2，得k＝4．12、已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，且A與B相似，則｜B－E｜＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：由相似矩陣有相同的特征值，得B的特征值也為1，2，3，則B－E的特征值為0，1，2，故｜B－E｜＝0×1×2＝0．13、若矩陣相似，則x＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點(diǎn)解析：因相似矩陣有相同的特征值，而由題知A的特征值為1，2，則B的特征值也為1，2，故tr(B)＝1＋2＝－1＋x，得x＝4．14、矩陣A＝對應(yīng)的二次型f＝_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：－x12＋2x22＋x32＋2x1x2－2x2x3知識點(diǎn)解析：暫無解析15、已知二次型f(x1，x2，x3)＝kx12＋(k＋1)x22＋(k－1)x32正定，則數(shù)k的取值范圍為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k>1知識點(diǎn)解析：因f正定，所以，得k>1．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、用Cramer法則解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)行列式知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知AP﹦PB，其中，求A及A6．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知三階矩陣A＝，求A的伴隨矩陣A*和(A*)－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A｜＝2≠0，故A可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知矩陣，矩陣X滿足AX+B＝X，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX＋B＝XX－AX＝B(E－A)X＝B知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知行列式D＝中元素a21的代數(shù)余子式A21＝0，求元素a21的代數(shù)余子式A21的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A＝，求出r(A一2E3)+r(A+E3)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：故r(A－2E3)＋r(A＋E3)＝2＋2＝4．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)α1，α2是Ax＝0的基礎(chǔ)解系，證明：α1＋α2，2α1－α2也是它的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)β1＝α1＋α2，β2＝2α1－α2，則知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第6套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=O或B=OB、A+B=OC、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：AB=0→｜AB｜=0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C。2、設(shè)A=，則以矩陣A為對應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1+x2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：A的主對角線元素1對應(yīng)x2系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對應(yīng)x1x3系數(shù)2．答案為C。3、若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1時(shí)題中齊次線性方程組只有零解．答案為B.4、設(shè)n維向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，選C.5、設(shè)3階矩陣其中α，β，γ2，γ3均為3維行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，則行列式|A-B|等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：選B．6、行列式D＝的第三行第二列元素的代數(shù)余子式A32＝A、2B、－1C、﹣2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由A32＝(－1)3＋2＝－2．故選C．7、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：單個(gè)非零向量是線性無關(guān)的，∴選項(xiàng)A不對，而(α1，α2，α3)→因?yàn)楹辛阆蛄康南蛄拷M一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C8、實(shí)二次型f(x1，…，xn)=xTAx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B。9、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1，α1+α2，α1+α2+α3C、α1一α2，α2一α3，α3一α1D、α1+α2，2α2+α3，3α3+α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：顯然(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0．10、設(shè)向量組(I)：α1=(a11，a21,a31)T，α2=(a12，a22，a32)T，α3=(a13,a23，a33)T，向量組(Ⅱ)：β1=(a11，a21，a31，a41)T，β2=(a12，a22，a32，a42)T，β3=(a13，a23，a33，a43)T，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：令α1=(1，0，0)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，0)T，β1=(1，0，0，1)T，β2=(1，0，0，0)T，β3=(0，1，0，0)T，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，而β1，β2，β3線性無關(guān)，排除A，C．同理可舉例排除D．也可證明B成立，(I)無關(guān)，故矩陣A4×3=(β1，β2，β3)有一個(gè)3階主式不為零，故A的列向量組的秩也必為3，故β1，β2，β3線性無關(guān)．11、設(shè)A為3階方陣且｜A｜=，則｜一2A｜=()A、一4B、4C、一1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：｜一2A｜=(一2)3｜A｜=一8×=一4．答案為A。12、已知A、B為n階方陣，且滿足A2＝B2，則必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B項(xiàng)正確．13、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項(xiàng)正確．14、已知線性方程組則下列判斷正確的是()A、λ=2時(shí),方程組有無窮多組解B、λ=一3時(shí)方程組無解C、λ=3時(shí)方程組有無窮多組解D、λ≠2時(shí)方程組有惟一解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，依次將第一行、第二行和第三行加到第四行上：這時(shí)就可發(fā)現(xiàn)若λ=一3，則矩陣最后一行前面4個(gè)數(shù)等于0，而最后一個(gè)數(shù)等于4，用方程式表示將得到0=4，這表明方程組無解，故應(yīng)該選B。15、設(shè)矩陣A，B，C滿足AC=CB，且C為m×n矩陣，則A和B分別是()A、n×m與m×n矩陣B、n×n與m×m矩陣C、m×m與n×n矩陣D、m×n與n×m矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：根據(jù)矩陣乘法的定義，A的列數(shù)等于C的行數(shù)，A的行數(shù)等于C的行數(shù)，因此A為m×m矩陣；同理B的行數(shù)等于C的列數(shù)，B的列數(shù)等于C的列數(shù)，因此B為n×n矩陣．16、線性方程組無解，則λ=()A、0B、1C、一1D、任意實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)λ≠0且λ≠一1時(shí)有惟一解，當(dāng)λ=一1時(shí)有無窮多解．當(dāng)λ=0時(shí)無解．答案為A。17、設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2∴｜A｜=｜B｜，｜AA｜=｜BB｜．∴｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2∴｜A｜2=｜B｜2．答案為D。18、當(dāng)t為______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：二次型的矩陣各階順序主子式為2＞0，即即因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，答案為C19、非齊次線性方程組Ax=β中，A和增廣矩陣A的秩都等于4，A是4×6矩陣，則()A、無法確定方程組是否有解B、方程組無解C、方程組有無窮多組解D、方程組有惟一組解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同，方程組必有解。又因?yàn)榉匠探M的未知數(shù)個(gè)數(shù)等于6，而系數(shù)陣的秩等于4，因此方程組有無窮多組解．20、設(shè)A，B是同階正交矩陣，則下列命題不正確的是()A、AB也是正交矩陣B、A*也是正交矩陣C、A+B也是正交矩陣D、A-1也是正交矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)A=E，B=一E，則A，B均為正交矩陣，但A+B為零矩陣，不是正交矩陣．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)向量組α1=線性無關(guān)，則a、b、c滿足的關(guān)系式是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a≠0，b≠0，c≠0知識點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性無關(guān)，因此矩陣A=(α1，α2，α3)為滿秩矩陣，即｜A｜==2abc≠0所以a≠0，b≠0，c≠0．22、設(shè)A為n階矩陣，則存在兩個(gè)不相等的n階矩陣B，C，使AB=AC的充要條件為Ax=0有非零解，則|A|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：考慮Ax=0有非零解，即|A|=0．設(shè)其一個(gè)解為x*，則2x*同樣是它的一個(gè)解，構(gòu)造B，C，令x*與2x*分別為B與C的一個(gè)列向量，其余元素都取0，于是有AB=AC=0，但B≠C故所求答案即為|A|=0．23、向量空間V＝{α＝(0，a1，a2)｜a1，a2為任意實(shí)數(shù)}的維數(shù)為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因向量空間的維數(shù)就是此向量空間的基中的基向量的個(gè)數(shù)，即極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)．由a1，a2的任意性，得α＝a1(0，1，0)＋a2(0，0，1)．而e1＝(0，1，0)與e2＝(0，0，1)線性無關(guān)，故向量空間V的維數(shù)為2．24、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為0，1，2，它們對應(yīng)的特征向量分別為α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，則a＝______，b＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0．1知識點(diǎn)解析：由實(shí)對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，25、設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，和是A屬于不同特征值λ1和λ2的特征向量，則a=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識點(diǎn)解析：由于實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(a1，a2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．26、當(dāng)k=_______時(shí)，僅有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：僅有全解27、已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則x=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：A的行列式等于A的所有特征值的乘積，因?yàn)锳有一個(gè)特征值為0，所以|A|=5—2x=0，x=28、若向量組線性相關(guān)，則t=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．29、設(shè)A為n階方陣且|A|≠0，則A*可逆并且(A*)-1=______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因|A|≠0，故A可逆且故(A*)-1=(|A|A-1)-1=30、設(shè)2階實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)特征值分別為一2，一3，則矩陣為__________定矩陣，|A|=______，多項(xiàng)式f(x)=x2一1，則|f(A)|=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：負(fù)，6，24知識點(diǎn)解析：由于A的兩特征值一2，一3均小于0，則A為負(fù)定矩陣．|A|=一2×(一3)=6．f(A)的特征值f(一2)=3,f(一3)=8，則|f(A)|=3×8=24．三、計(jì)算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、計(jì)算行列式D=標(biāo)準(zhǔn)答案：第1列乘(一a1)加到第二列上，第1列乘(一a2)加到第二列上，第一列乘(一a3)加到第三列上，得D=b1b2b3．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)＝x12－2x22－2x32－4x1x2＋4x1x3＋8x2x3，用正交變換法x＝Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析33、求線性方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有所以線性方程組的同解方程組為其中x4是自由未知量，方程組的通解為，k為任意實(shí)數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)矩陣A＝，對參數(shù)λ討論矩陣A的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對矩陣實(shí)行初等變換，得當(dāng)λ＝3時(shí)，A的秩為2，當(dāng)λ≠3時(shí)，A的秩為3．知識點(diǎn)解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多個(gè)解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時(shí)，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時(shí)，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時(shí)，，方程組有無窮多個(gè)解．知識點(diǎn)解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時(shí),同解方程組為x1=一2一x2一x3．對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個(gè)特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)n階方陣A的秩滿足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(單位方陣)，證明：一1是A的一個(gè)特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A≠I，所以A—I不是零矩陣，從而r(A—I)≥1，因此由已知條件r(A+I)≤n一1，A+I是奇異矩陣，｜A+I｜=0，所以齊次線性方程組(A+I)X=0有非零解α．即存在非零向量α使得(A+I)α=0．Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一個(gè)特征值．知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、已知三階矩陣A有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝2，則2A*的特征值是A、1，－1，2B、－2，2，－1C、－4，4，－2D、2，－2，4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題知｜A｜＝λ1·λ2·λ3＝－2，而2A*的特征值是2·，其中λi是A的特征值，故2A*的特征值為－4，4，－2．2、下列矩陣中能相似于對角陣的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題知，四個(gè)矩陣的特征值均是1，1，2，存在二重特征值1，故只有二重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)3－r(E3－A)＝2，即r(E3－A)＝1時(shí)，該矩陣能相似于對角陣．由A3、A、B為n階矩陣，且A～B，則下述結(jié)論中不正確的是A、λE－A＝AE－BB、｜A｜＝｜B｜C、｜λE－A｜＝｜λE－B｜D、r(A)＝r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由方陣相似性質(zhì)知，若A～B，則｜A｜＝｜B｜，｜λE－A｜＝｜λE－B｜，r(A)＝r(B)，tr(A)＝tr(B)．故B，C，D項(xiàng)都正確．只有A項(xiàng)不正確．4、下列矩陣中與A＝合同的矩陣是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：合同性質(zhì)：若兩個(gè)矩陣合同，則它們有相同的正慣性指數(shù)．，故A的正慣性指數(shù)為2．顯然C項(xiàng)的正慣性指數(shù)為2，故C項(xiàng)正確．5、二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的規(guī)范形是A、z12＋z22+32B、z12－z22－z32C、z12＋z22﹣z32D、z12－z22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：，得A的特征值為λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1．故此二次型的規(guī)范型為z12＋z22－z32．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式的值為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點(diǎn)解析：7、設(shè)矩形A＝，則行列式｜2A－1｜＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：8、設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行的2倍加到第3行得到矩陣B，若B＝，則A＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)矩陣A＝，若齊次線性方程組Ax＝0有非零解，則數(shù)t＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：10、向量空間V＝{α＝(0，a1，a2)｜a1，a2為任意實(shí)數(shù)}的維數(shù)為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因向量空間的維數(shù)就是此向量空間的基中的基向量的個(gè)數(shù)，即極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)．由a1，a2的任意性，得α＝a1(0，1，0)＋a2(0，0，1)．而e1＝(0，1，0)與e2＝(0，0，1)線性無關(guān)，故向量空間V的維數(shù)為2．11、設(shè)向量α＝(1，0，－1)，則它的單位化向量為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、設(shè)矩陣A＝的特征值為1，2，3，則數(shù)x＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：由＝｜A｜，得(－1)3+1x＝1×2×3，得x＝6．13、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為0，1，2，它們對應(yīng)的特征向量分別為α1＝(1，1，1)，α2＝(1，a，－1)，α3＝(b，－2，1)，則a＝______，b＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0．1知識點(diǎn)解析：由實(shí)對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量，得α1α2T＝0，14、若實(shí)對稱矩陣A＝為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿足______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a>1知識點(diǎn)解析：因A為正定矩陣，所以｜A｜>0，即3(a－1)>0，得a>1．15、設(shè)矩陣A＝，則二次型xTAx的規(guī)范形是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：z12－z22知識點(diǎn)解析：由A＝，得A的特征值為1，－1，故A的正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為1，則二次型的規(guī)范形為z12－z22．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)向量α＝(2，1，3)，β＝(1，2，3)，求：(1)若滿足A=αTβ，求A2．(2)向量α與β的內(nèi)積(α，β)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)，令B=P1AP2，求B－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：P1，P2為初等矩陣，則B由A經(jīng)初等變換得到．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求向量組：的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量通過該極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：以所有向量為列向量形成4×4矩陣，然后對該矩陣施行初等行變換化為簡化行階梯形矩陣：所以其一個(gè)極大無關(guān)組為：α1，α2，α4，且α3＝－5α1＋3α2－2α4．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A＝，(1)求矩陣A的特征值與對應(yīng)的全部特征向量；(2)判定A是否可以與對角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對角矩陣A，使得P－1AP＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)由(1)知，當(dāng)λ1＝λ2＝λ3＝－1時(shí)，其對應(yīng)的特征向量只有一個(gè)，不等于其重根數(shù)3，因此A不能對角化知識點(diǎn)解析：暫無解析22、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋5x32＋2x1x2＋2x1x3＋8x2x3．求：(1)二次型的矩陣；(2)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)二次型的矩陣(2)f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋5x32+2x1x2＋2x1x3＋8x2x3＝(x1＋x2＋x3)2＋x22＋4x32＋6x23＝(x1＋x2＋x3)2＋(x2＋3x3)－5x32，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f＝y(tǒng)122＋y222－5y322(注：標(biāo)準(zhǔn)形不唯一)．則二次型的規(guī)范形為f＝z122＋z122－z322．知識點(diǎn)解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)n階矩陣A滿足A2+2A－4E＝O，證明A可逆，并求A－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A2+2A－4E＝O整理變形為A2+2A＝4EA(A+2E)＝4EA·=E．故A可逆．且A－1=知識點(diǎn)解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第8套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A=，當(dāng)x與y滿足_________時(shí)，有AB=BA．()A、2x=7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于解得y=x+1．答案為C。2、如果n階方陣A滿足AT．A=A．AT=I，則A的行列式｜A｜為()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案為C。3、設(shè)A是n階方陣，已知A2一2A—2I=O，則(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：把已知關(guān)系式A2—2A—2I=O寫成(A+I)M=I的形式，則M是(A+I)的逆方陣．由題設(shè)關(guān)系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案為A。4、已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則矩陣A可為()A、(5，一3，一1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：將四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證Ax=0是否成立即可．答案為A。5、齊次線性方程組的自由未知量是()A、x1，x2B、x2，x3C、x2，x4D、x1，x4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對系數(shù)矩陣作初等變換得：所以x2，x4為自由未知量．答案為C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式中元素λ的代數(shù)余子式的值為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：42知識點(diǎn)解析：λ的代數(shù)余子式為(一1)4+3=42．7、設(shè)a、b、c為互異實(shí)數(shù)，則=0的充要條件為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a+b+c=0知識點(diǎn)解析：∵abc為互異實(shí)數(shù)8、設(shè)A為n階方陣且｜A｜=3，則｜(3AT)-1｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜(3AT)-1｜=9、若=3，則k=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k≠1且k≠—2知識點(diǎn)解析：=(k一1)2(k+2)≠0，故k≠1且k≠一2．10、由m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)__________時(shí)，向量組一定線性相關(guān)．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：m＞n知識點(diǎn)解析：由于向量組里都是n維向量，任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)，故m＞n時(shí)，向量組線性相關(guān)．11、設(shè)α1，α2，…，αr是非齊次線性方程組AX=β的解，若k1α1+k2α2+…+krαr也是AX=β的解，則k1，k2，…，kr滿足的條件是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k1，k2，…，kr=1知識點(diǎn)解析：由于Aαi=β，i=1，2，…，r，因此A(k1α1+k2α2+…+krαr)=k1α1+k2α2+…+krαr=(k1，k2，…，kr)β=β，所以k1，k2，…，kr=1．12、矩陣A=的非零特征值是__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ=4知識點(diǎn)解析：A的特征多項(xiàng)式為13、實(shí)對稱矩陣A滿足A2+A2+A=3I，則A=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：I知識點(diǎn)解析：設(shè)矩陣A的特征值為λ，則有λ3+λ2+λ=3，即(λ—1)(λ2+2λ+3)=0．由于實(shí)對稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)，故λ2+2λ+3=(λ+1)2+2＞0，由此可得A只有惟一的三重特征值1，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=I，于是有A=PIP-1=I．14、在R3中向量α=與任意向量均正交，則｜｜α｜｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：由于(α1，e1)=a1=0，(α1，e2)=a2=0，(α1，e3)=a3=0，所以α為零向量，故‖α‖=0．15、二次型的矩陣為A=，則規(guī)范型為__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+2y22—y32．知識點(diǎn)解析：作可逆線性變換二次型化為規(guī)范型y12+2y22—y32．三、計(jì)算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計(jì)算D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：將第一行乘1加到第二行上，再將新的第二行乘1加到第三行上，依次類推，最后可得行列式的值為1．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算行列式．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2(x+y)(一x2+xy—y2)=一2(x3+y3)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)矩陣A=，求A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型并求A的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對矩陣A作初等變換，有為A在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，并且r(A)=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求向量組α1=(1，2，1，0)T，α2=(1，1，1，2)T，α3=(3，4，3，4)T，α4—(4，5，6，4)T的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組．標(biāo)準(zhǔn)答案：以α1，α2，α3，α4為列向量構(gòu)成矩陣A由此可知B的列向量組的秩為3，且第1，2，4列為B的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，所以向量組α1，α2，α3，α4的秩為3，α1，α2，α4為其一個(gè)極大線性無關(guān)組(α1，α3，α4也是一個(gè)極大線性無關(guān)組)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=0，λ3=一1，并且A屬于λ1，λ2，λ3的特征向量分別為α1=，求矩陣A及A5．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Aαi=λi，αi=1，2，3，所以令知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知2是三階方陣A=的二重特征值，求A的另一個(gè)特征值，并求可逆陣P使得P-1AP為對角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A的另一個(gè)特征值為λ，則2+2+λ=tr(A)，即2+2+λ=1+4+5，所以λ=6．對應(yīng)于λ1=λ2=2的特征向量為知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A滿足A2+2A=O，而且r(A)=2．(1)求出A的全體特征值．(2)當(dāng)k為何值時(shí)，kE3+A必為正定矩陣?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)矩陣A的特征值為λ，則有A2+2A=0知，λ2+2λ=0，故λ=0或λ=2．因?yàn)閞(A)=2，λ=0不可能是二重根，故λ是二重根．(2)kE3+A的特征值為k+λ，kE3+A為正定矩陣的充要條件是kE3+A有3個(gè)大于0的特征值，故當(dāng)k＞0時(shí)，k+λ＞0