2023-2024學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若曲線y=f(x)=2sinx+2024在點(diǎn)(π3,f(π3))處的切線與直線A.1 B.?1 C.2 D.?22.若382023+a能被13整除，則a可以是(

)A.0 B.1 C.11 D.123.對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整數(shù))，如果在p<q時(shí)有ip>iq，則稱ip與iq是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“逆序數(shù)”.例如，數(shù)組(2,4,3,1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“A.34 B.28 C.16 D.134.設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l.則以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(

)

①l與曲線y=f(x)可能沒(méi)有交點(diǎn)

②l與曲線y=f(x)一定只有一個(gè)交點(diǎn)

③l與曲線y=f(x)不可能有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知C7k=C72k?16.已知函數(shù)f(x)=lnx，則?→0limf(3+?)?f(3)?=7.函數(shù)f(x)=2x2?4x+lnx8.已知(1+2x)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第8項(xiàng)，則n=______．9.二項(xiàng)式(x+2x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______10.已知有5個(gè)男生和x個(gè)女生，若從中選擇2個(gè)男生和1個(gè)女生在狂歡節(jié)中表演一個(gè)小品節(jié)目，共有30種不同的選法，則x=______．11.一場(chǎng)晚會(huì)共有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，隨機(jī)排序形成一個(gè)節(jié)目單，則節(jié)目單中前3個(gè)節(jié)目都是舞蹈節(jié)目的概率為：______．12.已知(2x?1)10=a0+13.用1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)abcde?，其中滿足a>b>c<d<e的五位數(shù)有n個(gè)，則在1+(1+x)1+(1+x)2+(1+x)14.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，以下結(jié)論：

①f(x)在區(qū)間(?2.3)上有2個(gè)極值點(diǎn)；

②f′(x)在x=?1處取得極小值；

③f(x)在區(qū)間(?2,3)上單調(diào)遞減；

④f(x)的圖像在x=0處的切線斜率小于0.正確的序號(hào)是______．15.設(shè)a∈R，若關(guān)于x的方程aex=x216.已知函數(shù)f(x)=xex+e?e2,x≤0?2+x2,x>0三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列約束條件下，有多少種站法？

(1)女生不站在兩端；

(2)女生相鄰；

(3)女生不相鄰．18.(本小題14分)

已知f(x)=3x3?9x+5．

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)求函數(shù)y=f(x)在[?1,3]19.(本小題14分)

已知(2x?1x)5．

(1)求展開(kāi)式中含1x的項(xiàng)的系數(shù)；

(2)設(shè)(2x?1x)5的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為M20.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=x?alnx?1(a∈R)．

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線為x軸，求a的值；

(Ⅱ)討論f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(Ⅲ)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有零點(diǎn)t，求證：t<a2．21.(本小題18分)

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若|f′(x)|≤1對(duì)任意x∈R恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”．

(1)判斷函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=ex是否為“線性控制函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)在R上嚴(yán)格增，設(shè)A、B為函數(shù)f(x)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線AB的斜率為k，判斷命題“0<k≤1”的真假，并說(shuō)明理由；

(3)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意x1，x2都有|f(參考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.1

6.137.128.14

9.160

10.3

11.15612.1

13.35

14.②③④

15.(0,416.(0,1+217.解：(1)根據(jù)題意，女生不站在兩端，即男生在兩端，

在5個(gè)男生中選出2人，安排在兩端，剩下5人安排在中間，

有A52A55=2400種排法；

(2)兩名女生要相鄰，先把兩名女生捆綁在一起看作一個(gè)整體，

再和另外的5名男生全排，故有A22A66=1440種排法；

(3)18.解：(1)∵f(x)的定義域?yàn)镽，且f′(x)=9x2?9=9(x+1)(x?1)，

令f′(x)<0，可得?1<x<1，

∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,1)；

(2)令f′(x)>0，可得x<?1或x>1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1)，(1,+∞)，

∴在區(qū)間[?1,3]上，f′(x)，f(x)隨x?1(?1,1)1(1,3)3f′(x)0?0+y=f(x)11單調(diào)遞減極小值?1單調(diào)遞增59∴函數(shù)f(x)在[?1,3]上的最大值為59，最小值為?1．

19.解：(1)(2x?1x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(2x)5?r(?1x)r=(?1)r25?rC5rx5?3r2(r=0,1,2,3,4,5)．

令5?3r2=?120.解：(Ⅰ)f′(x)=1?ax，則f′(1)=1?a=0，解得a=1．

經(jīng)驗(yàn)證，f(x)=x?lnx?1在點(diǎn)(1,0)處的切線為y=0，∴a=1．

(Ⅱ)由題得f′(x)=1?ax=x?ax．

若a≤1，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0恒成立，

∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)無(wú)極值點(diǎn)．

若a>1，當(dāng)x∈(1,a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在區(qū)間(1,a)上單調(diào)遞減，f(x)在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增．

∴x=a為f(x)的極小值點(diǎn)，且f(x)無(wú)極大值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)知當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f(x)>f(1)=0．

∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞)．

∴f(a)<f(1)=0．

若f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有零點(diǎn)t，則t∈(a,+∞)．

而f(a2)=a2?2alna?1，設(shè)g(x)=x2?2xlnx?1(x>1)，

則g′(x)=2x?2(1+lnx)=2(x?1?lnx)．

設(shè)?(x)=2(x?1?lnx)(x>1)，則?′(x)=2(1?1x)=2(x?1)x>0，

∴?(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增．

∴?(x)>?(1)=0，即21.解：(1)|f′(x)|=|cosx|≤1，

所以f(x)=sinx是“線性控制函數(shù)“，

|g′(1)|=e>1，

所以g(x)=ex不是“線性控制函數(shù)”．

(2)設(shè)A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，其中x1<x2，

因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，

所以f(x1)<f(x2)，

所以k=f(x1)?f(x2)x1?x2>0，

因?yàn)閒(x)為“線性控制函數(shù)“，

所以f′(x)≤1，即f′(x)?1≤0，

令F(x)=f(x)?x，

所以F′