2024-2025學(xué)年重慶一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.兩條平行直線3x+4y?12=0與ax+8y+11=0之間的距離為(

)A.235 B.2310 C.7 3.已知點(diǎn)A(?3,5)，B(2,15)，在直線l：3x?4y+4=0上存在一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.(0.1) B.(43,2) C.(4.若滿足∠ABC=π4，AC=6，BC=k的△ABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.(0,6] B.(0,6]∪{62} C.[6,65.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是(

)A. B.

C. D.6.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為(

)A.12 B.22 C.?7.已知“m≤t”是”x2+y2+A.(?1,+∞) B.[1,+∞) C.(?∞,1] D.(?∞,?1)8.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A.橢圓C的離心率的取值范圍是(0,32) B.橢圓C的離心率的取值范圍是(32,1)

C.橢圓C二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=1+i2k+1(k∈Z)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知橢圓C：x26+y2b2=1(b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1A.b=2 B.△F1AF2的面積為2

C.橢圓C11.已知點(diǎn)A，B為圓O：x2+y2=26上兩動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=46，點(diǎn)P為直線A.以A，B為直徑的圓與直線l相離 B.∠APB的最大值為π3

C.PA?PB的最小值為8 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知兩點(diǎn)A(?3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則l的斜率的取值范圍為______．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b=2，S△ABC=23，且ccosB+bcosC?2acosA=0，則A=14.如圖，正八面體ABCDEF的12條棱長(zhǎng)相等，則二面角E?AB?F的余弦值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，bsinC+asinA=bsinB+csinC．

(1)求A；

(2)若a=7,△ABC的面積為3316.(本小題15分)

已知三角形ABC，A(1,4)，B(?1,0)，C(2,1)，以BA，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A的直線l交直線BC與點(diǎn)E，若S△ABE=2S△ACE，求直線17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=1，BC=4，PA=11，M，N分別為BC、PC的中點(diǎn)，PD⊥DC，PM⊥MD．

(1)證明：PM⊥平面ABCD；

(2)求直線AN與平面PCD所成角的正弦值．18.(本小題17分)

在矩形ABCD中，AB=4，AD=2.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE=2，CF=1.沿EF將四邊形AEFD翻折至四邊形A′EFD′，點(diǎn)A′?平面BCFE．

(1)求證：CD′//平面A′BE；

(2)A′，B，C，D′四點(diǎn)是否共面？給出結(jié)論，并給予證明；

(3)在翻折的過程中，設(shè)二面角A′?BC?E的平面角為θ，求tanθ的最大值．19.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42，離心率為12,M(2,0),N(?2,0)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過P(4,0)作一條斜率存在且不為0的直線l交E于A，B兩點(diǎn)．

(i)證明：直線AM和直線BM的斜率均存在且互為相反數(shù)；參考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.(?∞,?1]∪[3,+∞)

13.π314.?115.解：(1)由正弦定理及bsinC+asinA=bsinB+csinC，知bc+a2=b2+c2，

由余弦定理，知cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因?yàn)椤鰽BC的面積16.解：(1)由題可知，以BA，BC為鄰邊的平行四邊ABCD滿足AD//BC，CD//AB，

所以kAD=kBC，kCD=kAB，

設(shè)D(x,y)，則可得y?4x?1=13且y?1x?2=2；

解得x=4，y=5，所以D(4,5)．

(2)要使S△ABE=2S△ACE，則需B，C到直線l

的距離d1，d2之比為2，如圖所示：

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y?4=k(x?1)，即kx?y?k+4=0，

由d1=2d2得|?2k+4|17.解：(1)證明：由四邊形ABCD為平行四邊形，且∠BCD=60°，AB=1，BC=4，M為BC的中點(diǎn)，所以CD=2，

在△BCD中，由余弦定理可得DM=CD2+CM2?2CD?CM?cos∠BCD=1+4?2×1×2×12=3，

可得CM2=CD2+DM2，可得CD⊥MD，

因?yàn)镻D⊥DC，PM⊥MD，

所以在△PCD中，PC2=CD2+PD2，

在△PMD中，PD2=PM2+MD2，

所以PC2=CD2+PM2+MD2=(CD2+DM2)+PM2=CM2+PM2，

可得PM⊥MC，而PM⊥MD，MC∩MD=M，MC?面ABCD，MD?面ABCD，

可證得PM⊥平面ABCD；

(2)由(1)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：且D(0,0,0)，M(3,0,0)，C(0,1,0)，P(3,0,z0)，設(shè)z0>0，

A(23,?2,0)18.解：(1)證明：因?yàn)镈′F//A′E，D′F?平面A′EB，A′E?平面A′EB，

所以D′F//平面A′EB，

因?yàn)镕C//EB，F(xiàn)C?平面A′EB，EB?平面A′EB．

所以D′F//平面A′EB，

又因?yàn)镕C∩D′F=F，所以平面D′FC//平面A′EB，

因?yàn)镃D′?面D′FC，所以CD′//平面A′EB．

(2)A′，B，C，D′四點(diǎn)不共面．

證明：假設(shè)A′，D′，B，C四點(diǎn)共面，則A′D′//BC或A′D′∩BC=Q．

若A′D′//BC，又因?yàn)锳′D′?平再BCFE，所以A′D′//平面BCFE，

所以A′D′//EF(與已知矛盾，舍去)，

若A′D′∩BC=Q，所以Q∈平面A′EFD′，Q∈平面BCFE，

根據(jù)基本事實(shí)3，所以Q∈EF，

所以A′D′，BC，EF交于一點(diǎn)(與已知矛盾，舍去)；

綜上所述，A′，B，C，D′四點(diǎn)不共面．

(3)如圖，在面AC內(nèi)作AO⊥EF于點(diǎn)O，作A′M⊥AO于M，作MN⊥BC于N，

由題意可得點(diǎn)M為點(diǎn)A′在平面BCFE的射影，所以A′M⊥平面BCFE，

所以A′M⊥BC，又因?yàn)镸N⊥BC，MN∩A′M=M，

所以BC⊥平面A′MN，所以BC⊥A′N，

所以∠A′NM為二面角A′?BC?E的平面角θ，

因?yàn)锳O⊥EF，A′O⊥EF，所以∠A′OM為二面角A′?EF?B的平面角，

設(shè)∠A′OM=α，α∈(0,π)

當(dāng)α=π2時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)M重合，由AO=45,ON=125，

可得tanθ=53．

α∈(0,π2)時(shí)，因?yàn)锳O=45，

所以A′M=45sinα,OM=45cosα，

所以AM=45+45cosα，

故MN=4?(45+45cosα)×25=125?8519.解：(1)因?yàn)闄E圓E的的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42，

所以2a=42，①

因?yàn)闄E圓E的離心率為12，

所以e=ca=12，②

又a2=b2+c2，③

聯(lián)立①②③，

解得a=22，b=6，c=2，

則橢圓E的方程為x28+y26=1；

(2)(i)證明：設(shè)直線l的方程為y=k(x?4