2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照求導(dǎo)法則求導(dǎo)就可以判斷出對錯(cuò).【詳解】對于選項(xiàng)A，，故A不正確；對于選項(xiàng)B，，故B不正確；對于選項(xiàng)C，，故C正確；對于選項(xiàng)D，，故D不正確.故選：C.2．現(xiàn)從3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的概率，計(jì)算出抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生的概率，從而結(jié)合條件概率的計(jì)算公式即可求出.【詳解】解：由題意知，，，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的求解，考查了組合數(shù)的計(jì)算，考查了分類計(jì)數(shù)原理.3．已知某種商品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040506070根據(jù)上表可得回歸方程，計(jì)算得，則當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額的預(yù)報(bào)值為A．75萬元 B．85萬元C．99萬元 D．105萬元【答案】B【詳解】分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得樣本中心，代入回歸方程后求得，然后再求當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值即可．詳解：由題意得，∴樣本中心為．∵回歸直線過樣本中心，∴，解得，∴回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)投入10萬元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額的預(yù)報(bào)值為85萬元．故選B．點(diǎn)睛：本題考查回歸直線過樣本中心這一結(jié)論和平均數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬容易題．4．若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A．360 B．180 C．90 D．45【答案】B【分析】根據(jù)題意，得出二項(xiàng)式的指數(shù)的值，再利用展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．【詳解】展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，所以總共11項(xiàng)，故n＝10，通項(xiàng)公式為當(dāng)，即時(shí)為常數(shù)，此時(shí)所以展開式的常數(shù)項(xiàng)是180故選：B5．中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數(shù)的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”．現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用這9數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】6根算籌可分為1、5,2、4，3、3，再根據(jù)圖示寫出可能的組合，即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；數(shù)字組合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每組可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可以表示個(gè)兩位數(shù)；數(shù)字組合3、3，7、7，每組可以表示1個(gè)兩位數(shù)，則可以表示個(gè)兩位數(shù)；則一共可以表示個(gè)兩位數(shù)；故選．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合算籌計(jì)數(shù)法，考查排列與組合，屬于基礎(chǔ)題，本題的關(guān)鍵在于讀懂題意．6．設(shè)函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．的一個(gè)周期為B．的最大值為2C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的一個(gè)零點(diǎn)為【答案】D【分析】根據(jù)解析式即可得出周期和最大值，即可判斷AB；求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷C；將代入即可驗(yàn)證D.【詳解】，的一個(gè)周期為，故A正確；的最大值為2，故B正確；令，解得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；，且，故D錯(cuò)誤.故選：D.7．已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為,即在區(qū)間上恒成立,再根據(jù)可得答案.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,即在區(qū)間上恒成立,因?yàn)樵谏线f增,所以,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想,屬于中檔題.8．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為A．96 B．84 C．60 D．48【答案】B【詳解】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=84．故選B9．已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的額幾何意義求出切線方程，根據(jù)分段函數(shù)圖象與切線恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，得到當(dāng)時(shí)，切線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由，，得，則（e），在點(diǎn)處的切線方程為：，①由于函數(shù)，②由①②聯(lián)立方程組可得：，化簡得：，③要使得函數(shù)在點(diǎn)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，切線與，，在點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)，只需要滿足③式在內(nèi)有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根即可，則只需和拋物線對稱軸小于1，且當(dāng)時(shí)，才能保證在內(nèi)有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則，即，解得：，的范圍：或.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，利用二次函數(shù)的根的分布是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程的思想.二、填空題10．求值______.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，從而得到求解的值.【詳解】，故填.【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式有五組，其主要功能是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角或直角的三角函數(shù)．記憶誘導(dǎo)公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”．11．隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，則P(ξ<2)=_____.【答案】0.7【詳解】隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，∴曲線關(guān)于x=1對稱，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3，∴P(ξ<2)=1?0.3=0.7．點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.12．已知隨機(jī)變量，且，，則______.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得出關(guān)于、的方程組，即可求得的值.【詳解】，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式求參數(shù)，解答的關(guān)鍵就是得出關(guān)于和的方程組，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13．的展開式中，設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)和為a，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b，則________.【答案】1【分析】分別求得各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，從而求得的值．【詳解】解：在的展開式中，令可得設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)和為，而各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．14．已知函數(shù)(，)的部分圖象如圖所示，則的解析式為___________.【答案】【分析】首先根據(jù)圖象最值求出，然后結(jié)合圖象找到最小正周期，進(jìn)而求出，將點(diǎn)代入解析式即可求解.【詳解】由圖可知最大值為2，故，由圖可知，所以，又因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故答案為?15．用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何兩個(gè)相鄰數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是___________.【答案】40【分析】結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理第一步將3，5排列，第二步將4，6排列，第三步將1，2排列即可.【詳解】第一步：先將3，5排列有種，第二步：再將4，6插空排列（滿足奇偶性不同）有種，第三步：將1，2捆綁插空排列有種，由分步計(jì)數(shù)原理可得種，故答案為：40.三、解答題16．已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以，因此，．?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)?，所以，因此．因?yàn)?，所以，因此，．點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.17．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.【答案】（1）分布列見解析；（2）1；（3）.【分析】(1)的可能取值為，結(jié)合組合知識(shí)，利用古典概型概率公式求出各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列;（2）結(jié)合(1)利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望；（3）利用互斥事件概率的加法公式可得結(jié)果.【詳解】（1）可能取的值為0，1，2..所以，的分布列為

0

1

2

P

（2）由（1），的數(shù)學(xué)期望為;（3）由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為.【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；③“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望.18．已知在與時(shí)都取得極值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）f（x）的遞增區(qū)間為和（1，＋∞），遞減區(qū)間為．當(dāng)x＝－時(shí)，f（x）有極大值f＝；當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）有極小值f（1）＝－．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于0，所以若f（x）在與時(shí)，都取得極值，則就可得到a，b的值；（2）先由求出函數(shù)中的c值，再求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍是函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍是函數(shù)的減區(qū)間，增區(qū)間與減區(qū)間的分界點(diǎn)為極值點(diǎn)，且當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)取得極大值，當(dāng)極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)取得極小值，再把x的值代入原函數(shù)求出極大值與極小值試題解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由題設(shè)知x＝1，x＝－為f′（x）＝0的解．∴－a＝1－，＝1×．∴a＝－，b＝－2．經(jīng)檢驗(yàn)，這時(shí)x＝1與x＝－都是極值點(diǎn)．（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．∴f（x）＝x3－x2－2x＋1．x

1

+

0

-

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

∴f（x）的遞增區(qū)間為和（1，＋∞），遞減區(qū)間為．當(dāng)x＝－時(shí)，f（x）有極大值f＝；當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）有極小值f（1）＝－．19．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域和最小正周期；（2）若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，求的最小值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）結(jié)合正切型函數(shù)求定義域即可求出定義域，對函數(shù)化簡整理結(jié)合周期公式即可求出最小正周期；（2）根據(jù)平移伸縮變換求出變換后的解析式，然后結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以函?shù)的定義域所以函數(shù)的最小正周期，（2）因?yàn)閷⒑瘮?shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，所以，因?yàn)橛窒蛴移揭?)個(gè)單位長度，所以，又因?yàn)槠揭坪蠛瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以取得最小值為.20．設(shè)()，，（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，（i）求的取值范圍；（ii）證明：隨著的減小而增大.【答案】（1）若，的單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）分類討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為最大值大于0，然后解不等式即可；（ii）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及不等式的性質(zhì)即可證得.【詳解】（1）因?yàn)?，則，①若，則在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；②若，令，則，時(shí)，，的單調(diào)遞增；時(shí)，，的單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上：