24.1.2垂直于弦的直徑課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

1.能通過(guò)折紙?zhí)骄繄A的對(duì)稱性，能證明圓是軸對(duì)稱圖形2.能由圓的軸對(duì)稱性推導(dǎo)垂徑定理及其推論.3.能利用垂徑定理解決相應(yīng)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)垂直于弦的直徑第二十四章

圓這是趙州橋，建于1400多年前的隋朝，是一座世界聞名的石拱橋,整個(gè)橋身是圓弧的一段，長(zhǎng)50多米，寬9米多，這么長(zhǎng)的橋，全部用石頭砌成，沒(méi)有橋墩，橫跨在37米寬的河面上，這樣巨型的跨度，在當(dāng)時(shí)是首屈一指。是建橋史上的一個(gè)創(chuàng)舉，比歐州19世紀(jì)建造的同類拱橋早一千二百多年，趙州橋經(jīng)歷了洪水，地震的襲擊和一千多年使用的考驗(yàn)，依然雄姿煥發(fā)，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．趙州橋主橋拱的半徑是多少？問(wèn)題情境問(wèn)

題（一）剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？活動(dòng)1：探索軸對(duì)稱問(wèn)

題（二）不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎？由此你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.例1求證：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.

導(dǎo)引：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D以外

的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AA′⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A′，垂足為M，連接OA，OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.

∴△OAA′是等腰三角形.又∵AA′⊥CD，(三線合一）

∴AM=MA′即CD是AA′的垂直平分線，那么對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′ABD┐EC活動(dòng)2：探索垂徑定理

如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．根據(jù)圓的對(duì)稱性，你發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①過(guò)圓心②垂直于弦題設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理定理中的徑可以是直徑、半徑、弦心距等過(guò)圓心的直線或線段AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。ABD┐ECAE＝BE⌒⌒AC＝BC⌒⌒AD＝BD幾何語(yǔ)言：CD是直徑所在直線，CD⊥AB定理簡(jiǎn)史歐幾里得(古希臘數(shù)學(xué)家，公元前330年-公元前275年)《幾何原本》第I卷中的第12個(gè)命題即為垂徑定理，這可能是最早的有關(guān)于垂徑定理的記載。歐幾里得是誰(shuí)？《幾何原本》是什么？思考：下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說(shuō)明理由嗎？牛刀小試圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖7圖8OO(E)O(E)AAABBBCCCDDD才有直徑CD垂直弦AB，平分弦AB所對(duì)的兩條弧。EAB是弦，但不能是直徑時(shí)，垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.活動(dòng)3垂徑定理推論

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。∴CD⊥AB,∵CD是直徑，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE活動(dòng)3幾何語(yǔ)言

根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō).如果具備：（1）過(guò)圓心

（2）垂直于弦

（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧

（5）平分弦所對(duì)的劣弧

上述五個(gè)條件中的任意

個(gè)條件都可以推出其他

個(gè)結(jié)論.即知二推三注意兩三例2如圖：⊙O的半徑是5cm，弦AB為6cm。求圓心O到弦AB的距離。OE·AB圓心到弦的距離叫做弦心距。又OA=5cm解：連接OA，過(guò)圓心O作OE⊥AB,垂足為E,學(xué)以致用1：則AE=EB=AB=6=3(cm)變式1：如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8㎝，圓心O到AB的距離為3㎝，求⊙O的半徑。則AE=EB=AB=8=4(cm)解：連接OA，過(guò)圓心O作OE⊥AB,垂足為E,又OE=3cmABOE┐變式2：在半徑為5㎝的圓中，圓心O到弦AB的距離為3㎝，求AB的長(zhǎng)。方法總結(jié)：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、圓心到弦的距離等問(wèn)題．解：連接OA，過(guò)圓心O作OE⊥AB,垂足為E,又OA=5cm;OE=3cm;E則AB=2AEAB的長(zhǎng)為8cm.ABO┐?趙州橋的下部呈圓弧型,橋的跨度(弧所對(duì)的弦長(zhǎng))AB為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)CD為7.23m,你能求出橋拱所在圓的半徑嗎？┐學(xué)以致用2：回歸求趙州橋拱半徑的問(wèn)題如何確定圓心？弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心7.23m37mDCAB┐解得：r

≈27．3（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.?37m?7.23m解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題⊙Ｏ解：如圖，設(shè)的半徑為rm,

OA=r,AB=37，CD=7.23,

OD=OC－CD=r－7.23，AD=18.5r垂徑定理往往轉(zhuǎn)化成應(yīng)用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量關(guān)系？

在a，d，r，h中，已知其中任意兩個(gè)量，可以求出其它兩個(gè)量．r2=（a）2+d2OA2=AE2+OE2拓展提升圓材埋壁問(wèn)徑幾何？“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題。今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？圓材埋壁問(wèn)徑幾何？今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：“如圖，CD為的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE=１寸，AB=10寸，求直徑CD的?！苯猓哼B接OA，設(shè)OA=r,由CE=1寸，則OE=（r-1）寸CD為直徑，弦AB⊥CD，AB=10寸高速公路的隧道，形狀是圓的一部分，如圖，路面AB是10米，凈高CD是7米，則圓的半徑OA是多少米？拓展提升ABCDO⊙Ｏ解：如圖，設(shè)的半徑為r,

OA=r,AB=10，CD=7,

OD=CD－OC=7-r，AD=5在Rt△OAD中，由勾股定理，得∴隧道圓的半徑是米.

一、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是其任意一條過(guò)圓心的直線（或直徑所在直線．）課堂小結(jié):三、垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦