2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第二章直線和圓的方程人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式.3.會(huì)求兩條平行直線間的距離.4.會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1兩點(diǎn)間的距離公式當(dāng)P1P2∥x軸(y1=y2)時(shí),|P1P2|=|x2-x1|,當(dāng)P1P2∥y軸(x1=x2)時(shí),|P1P2|=|y2-y1|1.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么這兩點(diǎn)間的距離為

過(guò)關(guān)自診1.兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為2.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三點(diǎn),且|AB|=|AC|,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.-2 B.-1 C.1

D.2A知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,點(diǎn)P到直線l的距離,就是從點(diǎn)P到直線l的

的長(zhǎng)度,其中Q是垂足.

2.公式:點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的距離d=

.

名師點(diǎn)睛1.運(yùn)用公式前首先應(yīng)把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對(duì)值符號(hào)里面是把坐標(biāo)(x0,y0)代入直線方程的左邊得到的.當(dāng)A=0或B=0時(shí),上述公式仍然成立.垂線段PQ過(guò)關(guān)自診1.點(diǎn)P(x0,y0)到x軸,y軸,直線y=a,x=b的距離分別是什么?2.已知點(diǎn)P(-1,2)到直線l:4x-3y+m=0的距離為1,則m的值為(

)A.-5或-15 B.-5或15C.5或-15 D.5或15

提示

到x軸的距離d=|y0|,到y(tǒng)軸的距離d=|x0|,到y(tǒng)=a的距離d=|y0-a|,到x=b的距離d=|x0-b|.D3.[人教B版教材習(xí)題]如果點(diǎn)P(m,n)到直線x+y-1=0的距離為0,寫(xiě)出m,n滿足的關(guān)系式.解m+n-1=0.知識(shí)點(diǎn)3兩條平行直線間的距離1.概念:兩條平行直線間的距離是夾在兩條平行直線間的

的長(zhǎng).

2.求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離.3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離

此公式的應(yīng)用前提是l1與l2方程中x,y分別對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等

公垂線段

過(guò)關(guān)自診1.直線l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三點(diǎn),直線l2:x+y+1=0與直線l1平行,那么點(diǎn)A,B,C到直線l2的距離分別為多少?有什么規(guī)律嗎?2.[2023上海長(zhǎng)寧期末]兩條平行直線4x-3y+5=0和4x-3y-5=0的距離為

.

2重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【例1】

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路分析

可求出三條邊的長(zhǎng),根據(jù)所求長(zhǎng)度判斷三角形的形狀.∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.∴△ABC是等腰直角三角形.規(guī)律方法

兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.變式訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(-3,4),B(2,

),在x軸上找一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.探究點(diǎn)二坐標(biāo)法及其應(yīng)用【例2】

[北師大版教材習(xí)題]用坐標(biāo)法證明:(1)在直角三角形中,斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;(2)若三角形一邊上的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則該邊所對(duì)的角是直角.證明

(1)以Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AC所在直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(1).所以|DA|=|DC|=|DB|.所以在直角三角形中,斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(1)(2)以△ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系如圖(2).因?yàn)閍≠0,所以b=0,所以C(0,c),所以AC⊥AB,所以若三角形一邊上的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則該邊所對(duì)的角為直角.(2)規(guī)律方法

坐標(biāo)法及其應(yīng)用(1)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)系建立的是否合適,會(huì)直接影響問(wèn)題能否方便解決.建系的原則主要有兩點(diǎn):①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運(yùn)算.②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標(biāo)軸;如果圖形為中心對(duì)稱圖形,可考慮將中心作為原點(diǎn);如果有軸對(duì)稱性,可考慮將對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸.(2)利用坐標(biāo)法解平面幾何問(wèn)題常見(jiàn)的步驟:①建立坐標(biāo)系,盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上;②用坐標(biāo)表示有關(guān)的量;③將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算;④把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.變式訓(xùn)練2已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,在平面ABC上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解

以BC所在直線為x軸,以線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,探究點(diǎn)三求點(diǎn)到直線的距離【例3】

(1)點(diǎn)P(-1,2)到直線2x+y-10=0的距離為

.

(2)點(diǎn)P(-1,2)到直線3x=2的距離為

.

(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則實(shí)數(shù)m的值為

.

變式探究

已知點(diǎn)A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a的值為

.

規(guī)律方法

點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),只需把直線方程化為一般式,直接利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.(2)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)值時(shí),只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于參數(shù)的方程即可.探究點(diǎn)四兩平行線間的距離【例4】

[北師大版教材例題]求下列各對(duì)平行直線間的距離:(1)l1:3x+4y-1=0,l2:3x+4y+3=0;(2)l1:y=3x+2,l2:y=3x-3;(3)l1:x-2y-1=0,l2:2x-4y+3=0.規(guī)律方法

兩條平行線間的距離的求法(1)化為一般式,且兩條平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的,代入兩條平行線的距離公式.(2)一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離.變式訓(xùn)練3已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離是

,求直線l1的方程.解

(方法1)∵l1∥l2,∴可設(shè)l1的方程為x+y+c=0.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)兩點(diǎn)間的距離公式;(2)點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程及點(diǎn)到直線的距離公式d=

;(3)兩條平行線間的距離公式及兩平行線間的最值問(wèn)題;(4)距離公式的應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、公式法、解方程(組)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)已知距離求參數(shù)問(wèn)題易漏解;(2)設(shè)直線方程易忽略斜率是否存在;(3)運(yùn)用兩平行線間的距離公式時(shí),必須保證兩直線方程中x,y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相同.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練181920211.[探究點(diǎn)一]已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,-3),則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是(

)D1234567891011121314151617181920212.[探究點(diǎn)三]已知點(diǎn)(a,1)到直線x-y+1=0的距離為1,則a的值為(

)D1234567891011121314151617181920213.[探究點(diǎn)三]點(diǎn)P(a,0)到直線3x+4y-6=0的距離大于3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(7,+∞) B.(-∞,-3)C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)C1234567891011121314151617181920214.[探究點(diǎn)三]點(diǎn)P(2,3)到直線ax+(a-1)y+3=0的距離d最大時(shí),d與a的值依次為(

)A.3,-3 B.5,2

C.5,1 D.7,1C解析

直線ax+(a-1)y+3=0恒過(guò)點(diǎn)A(-3,3),根據(jù)已知條件可知當(dāng)直線ax+(a-1)y+3=0與AP垂直時(shí),距離最大,最大值為d=AP=5,此時(shí)kAP=0,故直線ax+(a-1)y+3=0的斜率不存在,所以a=1.故選C.1234567891011121314151617181920215.[探究點(diǎn)四](多選題)與直線2x+y+1=0的距離等于

的直線方程可以為(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.2x+y-2=0 D.2x+y+2=0AD解析

根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為2x+y+C=0(C≠1),解得C=0或C=2,故所求直線方程為2x+y=0或2x+y+2=0.1234567891011121314151617181920216.[探究點(diǎn)二]已知△ABC的三頂點(diǎn)A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),則BC邊上的高AD的長(zhǎng)度為

.

1234567891011121314151617181920217.[探究點(diǎn)一][2023安徽滁州月考]已知點(diǎn)M(-1,1),N(3,-3),且過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線l分別到點(diǎn)M,N的距離相等,則直線l的斜率為

.

解析

根據(jù)題意,分2種情況討論:①直線l與直線MN平行時(shí),直線l與點(diǎn)M,N的距離相等,1234567891011121314151617181920218.[探究點(diǎn)三]如圖,已知直線l1:x+y-1=0,現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置,若l2,l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形面積為4,則l2的方程為

.

x+y-3=01234567891011121314151617181920218.[探究點(diǎn)三]如圖,已知直線l1:x+y-1=0,現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置,若l2,l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形面積為4,則l2的方程為

.

x+y-3=01234567891011121314151617181920219.[探究點(diǎn)一]求過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1),B(-3,1)等距離的直線l的方程.解

(方法1)∵點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,∴直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,123456789101112131415161718192021(方法2)①當(dāng)直線l過(guò)線段AB的中點(diǎn)時(shí),直線l與點(diǎn)A,B的距離相等.∵AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線l過(guò)點(diǎn)P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.②當(dāng)直線l∥AB時(shí),直線l與點(diǎn)A,B的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.12345678910111213141516171819202110.[探究點(diǎn)四]直線l經(jīng)過(guò)兩直線2x-y+4=0與x-y+5=0的交點(diǎn),且與直線l1:x+y-6=0平行.(1)求直線l的方程;(2)若點(diǎn)P(a,1)到直線l的距離與直線l1和直線l的距離相等,求實(shí)數(shù)a的值.123456789101112131415161718192021即兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6).∵直線l1:x+y-6=0的斜率k1=-1,∴直線l的斜率k=-1.∴直線l的方程為y-6=-(x-1),即x+y-7=0.123456789101112131415161718192021B級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練11.過(guò)點(diǎn)A(1,2),且與原點(diǎn)O距離最大的直線的方程是(

)A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0A12345678910111213141516171819202112.已知直線l:kx-y+2-k=0過(guò)定點(diǎn)M,點(diǎn)P(x,y)在直線2x+y-1=0上,則|MP|的最小值是(

)B解析

由題易得直線l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,過(guò)定點(diǎn)M(1,2).∵點(diǎn)P(x,y)在直線2x+y-1=0上,123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021B12345678910111213141516171819202115.(多選題)若點(diǎn)P(x,y)在直線4x+3y=0上,且x,y滿足-14≤x-y≤7,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值可以是(

)A.6 B.8.5

C.10 D.12ABC12345678910111213141516171819202116.(多選題)已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直線l上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”,下列直線是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是(

)A.y=x+1 B