彈性力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析

彈性力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析1彈性力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析1.1引言1.1.1模擬退火算法簡介模擬退火（SimulatedAnnealing，簡稱SA）算法是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化方法，靈感來源于固體物理學(xué)中的退火過程。在退火過程中，固體材料被加熱到高溫，然后緩慢冷卻，以達到能量最低的狀態(tài)。類似地，SA算法通過在搜索過程中引入隨機性，允許在一定條件下接受更差的解，從而避免局部最優(yōu)，尋找全局最優(yōu)解。SA算法的核心在于其溫度控制策略和接受概率函數(shù)。溫度控制策略決定了搜索過程的“冷卻”速度，而接受概率函數(shù)則根據(jù)當(dāng)前解與新解的優(yōu)劣以及當(dāng)前的溫度，決定是否接受新解。隨著溫度的逐漸降低，算法的搜索范圍逐漸縮小，最終收斂到一個解。1.1.2彈性力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用在彈性力學(xué)優(yōu)化中，SA算法可以用于解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，如尋找最優(yōu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)，以最小化結(jié)構(gòu)的重量或成本，同時滿足強度和剛度的要求。由于這類問題往往具有多個局部最優(yōu)解，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法可能陷入局部最優(yōu)，而SA算法的隨機搜索特性使其更有可能找到全局最優(yōu)解。1.2模擬退火算法原理模擬退火算法的基本步驟如下：初始化：選擇一個初始解和初始溫度。迭代搜索：在當(dāng)前溫度下，通過隨機擾動產(chǎn)生新解，并根據(jù)接受概率函數(shù)決定是否接受新解。溫度更新：根據(jù)溫度控制策略降低溫度。收斂判斷：當(dāng)溫度降低到一定程度或達到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)時，算法停止。1.2.1接受概率函數(shù)接受概率函數(shù)通常采用Metropolis準則，其公式為：P其中，ΔE是新解與當(dāng)前解的能量差（在優(yōu)化問題中，通常為目標函數(shù)值的差），T是當(dāng)前的溫度。如果新解優(yōu)于當(dāng)前解（ΔE<0），則新解被無條件接受；如果新解劣于當(dāng)前解（1.2.2溫度控制策略溫度控制策略決定了算法的冷卻速度，常見的策略有：線性冷卻：Tk+1指數(shù)冷卻：Tk+11.3示例：使用模擬退火算法進行彈性力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們有一個簡單的彈性力學(xué)優(yōu)化問題，目標是最小化一個由多個彈簧組成的系統(tǒng)的總能量，同時滿足系統(tǒng)的剛度要求。我們可以通過SA算法來尋找最優(yōu)的彈簧參數(shù)。1.3.1數(shù)據(jù)樣例假設(shè)系統(tǒng)由3個彈簧組成，每個彈簧的剛度ki是優(yōu)化參數(shù)，系統(tǒng)的總能量EE其中，xi1.3.2代碼示例importnumpyasnp

importrandom

#定義目標函數(shù)

defenergy(k):

x=np.array([1,2,3])#彈簧位移

E=0.5*np.sum(k*x**2)#總能量

returnE

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_k,initial_temp,cooling_rate,iterations):

current_k=initial_k

current_energy=energy(current_k)

best_k=current_k

best_energy=current_energy

foriinrange(iterations):

#產(chǎn)生新解

new_k=current_k+np.random.normal(0,1,size=3)

new_energy=energy(new_k)

#計算接受概率

delta_energy=new_energy-current_energy

ifdelta_energy<0orrandom.random()<np.exp(-delta_energy/initial_temp):

current_k=new_k

current_energy=new_energy

#更新最佳解

ifcurrent_energy<best_energy:

best_k=current_k

best_energy=current_energy

#更新溫度

initial_temp*=cooling_rate

returnbest_k,best_energy

#參數(shù)設(shè)置

initial_k=np.array([10,20,30])#初始彈簧剛度

initial_temp=1000#初始溫度

cooling_rate=0.99#冷卻因子

iterations=1000#迭代次數(shù)

#運行模擬退火算法

best_k,best_energy=simulated_annealing(initial_k,initial_temp,cooling_rate,iterations)

print("最優(yōu)彈簧剛度:",best_k)

print("最優(yōu)系統(tǒng)能量:",best_energy)1.3.3代碼講解在上述代碼中，我們首先定義了目標函數(shù)energy，它計算了給定彈簧剛度參數(shù)下的系統(tǒng)總能量。然后，我們實現(xiàn)了模擬退火算法simulated_annealing，該算法接受初始彈簧剛度、初始溫度、冷卻因子和迭代次數(shù)作為輸入，通過迭代搜索來尋找最優(yōu)的彈簧剛度參數(shù)。在每次迭代中，算法通過隨機擾動產(chǎn)生新解，并根據(jù)Metropolis準則計算接受概率。如果新解被接受，算法更新當(dāng)前解和當(dāng)前能量；如果新解優(yōu)于當(dāng)前的最佳解，算法更新最佳解和最佳能量。最后，算法根據(jù)冷卻因子更新溫度，直到達到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)。通過運行這段代碼，我們可以觀察到模擬退火算法如何在多次迭代中逐漸找到最優(yōu)的彈簧剛度參數(shù)，從而最小化系統(tǒng)的總能量。2模擬退火算法原理2.1熱力學(xué)與統(tǒng)計力學(xué)基礎(chǔ)在理解模擬退火算法之前，我們首先需要了解一些熱力學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)的基本概念。熱力學(xué)是研究能量轉(zhuǎn)換和物質(zhì)狀態(tài)變化的科學(xué)，而統(tǒng)計力學(xué)則是從微觀粒子的統(tǒng)計行為出發(fā)，解釋宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)。模擬退火算法的靈感來源于固體物理學(xué)中的退火過程，即通過緩慢冷卻材料，使其內(nèi)部結(jié)構(gòu)達到能量最低的狀態(tài)，從而提高材料的性能。在統(tǒng)計力學(xué)中，一個系統(tǒng)的狀態(tài)可以用能量函數(shù)來描述，而系統(tǒng)在給定溫度下的狀態(tài)分布遵循玻爾茲曼分布。玻爾茲曼分布給出系統(tǒng)處于某一能量狀態(tài)的概率與該狀態(tài)的能量和系統(tǒng)溫度的關(guān)系。在高溫下，系統(tǒng)可能處于高能量狀態(tài)，而在低溫下，系統(tǒng)更傾向于處于低能量狀態(tài)。模擬退火算法利用這一原理，通過控制“溫度”參數(shù)，使優(yōu)化問題的解逐漸趨向于全局最優(yōu)解。2.1.1示例：玻爾茲曼分布假設(shè)我們有一個能量函數(shù)Ex，其中x是系統(tǒng)狀態(tài)的變量。在溫度T下，系統(tǒng)處于狀態(tài)x的概率PxP其中，k是玻爾茲曼常數(shù)，Z是配分函數(shù)，用于歸一化概率分布。2.2Metropolis準則詳解Metropolis準則是一種用于決定系統(tǒng)狀態(tài)更新的策略，它確保了系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換遵循玻爾茲曼分布。在模擬退火算法中，當(dāng)前狀態(tài)通過隨機擾動產(chǎn)生一個候選狀態(tài)，然后根據(jù)Metropolis準則決定是否接受這個候選狀態(tài)作為新的當(dāng)前狀態(tài)。Metropolis準則的接受概率公式如下：P其中，ΔE=Enew?2.2.1示例：Metropolis準則的實現(xiàn)下面是一個簡單的Python代碼示例，展示了如何根據(jù)Metropolis準則決定是否接受一個新的狀態(tài)：importmath

importrandom

defmetropolis_criterion(delta_E,T):

"""

根據(jù)Metropolis準則決定是否接受新的狀態(tài)。

參數(shù):

delta_E:新狀態(tài)與當(dāng)前狀態(tài)之間的能量差。

T:當(dāng)前的溫度參數(shù)。

返回:

True如果接受新狀態(tài)，否則返回False。

"""

ifdelta_E<0:

#如果新狀態(tài)的能量更低，總是接受

returnTrue

else:

#如果新狀態(tài)的能量更高，以一定的概率接受

probability=math.exp(-delta_E/T)

returnrandom.random()<probability2.3溫度參數(shù)的選擇與冷卻策略在模擬退火算法中，“溫度”參數(shù)的選擇和冷卻策略對于算法的收斂性和效率至關(guān)重要。初始溫度的選擇應(yīng)該足夠高，以允許算法在解空間中進行廣泛的探索。隨著迭代的進行，溫度逐漸降低，算法的探索范圍縮小，最終收斂到全局最優(yōu)解或其附近。冷卻策略是指溫度參數(shù)隨迭代次數(shù)變化的方式。常見的冷卻策略包括線性冷卻、指數(shù)冷卻和對數(shù)冷卻。不同的冷卻策略會影響算法的收斂速度和解的質(zhì)量。2.3.1示例：指數(shù)冷卻策略指數(shù)冷卻策略是一種常用的冷卻策略，它通過一個冷卻因子α（0<α<1）來更新溫度參數(shù)。在每次迭代后，溫度參數(shù)T下面是一個使用指數(shù)冷卻策略的Python代碼示例：defexponential_cooling(T,alpha):

"""

使用指數(shù)冷卻策略更新溫度參數(shù)。

參數(shù):

T:當(dāng)前的溫度參數(shù)。

alpha:冷卻因子，0<alpha<1。

返回:

更新后的溫度參數(shù)。

"""

returnalpha*T2.3.2示例：模擬退火算法的完整實現(xiàn)下面是一個使用上述Metropolis準則和指數(shù)冷卻策略的模擬退火算法的Python實現(xiàn)示例：importmath

importrandom

defenergy_function(x):

"""

定義優(yōu)化問題的能量函數(shù)。

這里使用一個簡單的二次函數(shù)作為示例。

"""

returnx**2

defrandom_neighbor(x):

"""

生成當(dāng)前狀態(tài)的隨機鄰近狀態(tài)。

這里通過在當(dāng)前狀態(tài)上添加一個隨機擾動來實現(xiàn)。

"""

returnx+random.uniform(-1,1)

defsimulated_annealing(initial_state,initial_temperature,cooling_factor,stopping_temperature):

"""

模擬退火算法的實現(xiàn)。

參數(shù):

initial_state:初始狀態(tài)。

initial_temperature:初始溫度。

cooling_factor:冷卻因子，0<alpha<1。

stopping_temperature:停止溫度，當(dāng)溫度低于此值時，算法停止。

返回:

最終狀態(tài)和對應(yīng)的能量值。

"""

current_state=initial_state

current_energy=energy_function(current_state)

temperature=initial_temperature

whiletemperature>stopping_temperature:

#生成候選狀態(tài)

candidate_state=random_neighbor(current_state)

candidate_energy=energy_function(candidate_state)

#計算能量差

delta_E=candidate_energy-current_energy

#根據(jù)Metropolis準則決定是否接受候選狀態(tài)

ifmetropolis_criterion(delta_E,temperature):

current_state=candidate_state

current_energy=candidate_energy

#更新溫度

temperature=exponential_cooling(temperature,cooling_factor)

returncurrent_state,current_energy

#定義參數(shù)

initial_state=10

initial_temperature=100

cooling_factor=0.99

stopping_temperature=0.001

#運行模擬退火算法

final_state,final_energy=simulated_annealing(initial_state,initial_temperature,cooling_factor,stopping_temperature)

print(f"最終狀態(tài):{final_state},最終能量:{final_energy}")在這個示例中，我們使用了一個簡單的二次函數(shù)作為能量函數(shù)，通過隨機擾動生成候選狀態(tài)，并使用Metropolis準則和指數(shù)冷卻策略來控制狀態(tài)的更新和溫度的降低。最終，算法將收斂到能量函數(shù)的最小值附近，即全局最優(yōu)解。3彈性力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)實現(xiàn)步驟詳解3.1初始化參數(shù)設(shè)置在開始模擬退火算法之前，我們需要初始化一系列參數(shù)，這些參數(shù)對于算法的性能至關(guān)重要。以下是一些關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)置：初始溫度T0溫度衰減系數(shù)α：控制溫度下降的速度，α應(yīng)該小于1但接近1，例如0.99。迭代次數(shù)N：在每個溫度下進行的迭代次數(shù)，確保算法在不同溫度下充分探索解空間。終止溫度Te初始解x0能量函數(shù)Ex3.1.1示例代碼#初始化參數(shù)

T0=10000#初始溫度

alpha=0.99#溫度衰減系數(shù)

N=100#每個溫度下的迭代次數(shù)

T_end=1#終止溫度

x0=[10,20,30]#初始解，例如彈性力學(xué)中的材料參數(shù)

E=lambdax:x[0]**2+x[1]**2+x[2]**2#示例能量函數(shù)，實際應(yīng)用中應(yīng)替換為具體問題的能量計算

#設(shè)置當(dāng)前溫度和初始解

T=T0

x=x03.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移與能量計算在模擬退火算法中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指從當(dāng)前解轉(zhuǎn)移到一個新的解。這個過程通常通過在當(dāng)前解的基礎(chǔ)上進行微小的隨機擾動來實現(xiàn)。然后，我們計算新解和當(dāng)前解的能量差，以決定是否接受新解。3.2.1示例代碼importrandom

defstate_transfer(x):

#生成一個隨機擾動

delta=[random.uniform(-1,1)for_inrange(len(x))]

#應(yīng)用擾動生成新解

x_new=[x_i+delta_iforx_i,delta_iinzip(x,delta)]

returnx_new

#計算能量差

defenergy_difference(x,x_new,E):

returnE(x_new)-E(x)

#在當(dāng)前溫度下進行迭代

for_inrange(N):

x_new=state_transfer(x)

delta_E=energy_difference(x,x_new,E)

#根據(jù)能量差和當(dāng)前溫度決定是否接受新解

ifdelta_E<0orrandom.uniform(0,1)<math.exp(-delta_E/T):

x=x_new

#降低溫度

T=T*alpha3.3接受概率計算接受概率是模擬退火算法中的一個關(guān)鍵概念，它決定了在能量增加的情況下，算法是否仍然接受新解。接受概率由以下公式計算：P其中，ΔE是新解和當(dāng)前解的能量差，T3.3.1示例代碼importmath

defacceptance_probability(delta_E,T):

#計算接受概率

returnmath.exp(-delta_E/T)

#在每個溫度下進行迭代

whileT>T_end:

for_inrange(N):

x_new=state_transfer(x)

delta_E=energy_difference(x,x_new,E)

ifdelta_E<0orrandom.uniform(0,1)<acceptance_probability(delta_E,T):

x=x_new

#降低溫度

T=T*alpha通過以上步驟，模擬退火算法能夠在解空間中進行有效的搜索，最終找到全局最優(yōu)解或接近全局最優(yōu)的解。在彈性力學(xué)優(yōu)化問題中，這些步驟需要根據(jù)具體問題的能量函數(shù)和約束條件進行調(diào)整。4彈性力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的收斂性分析4.1收斂性理論基礎(chǔ)在優(yōu)化算法中，收斂性是指算法在迭代過程中逐漸接近最優(yōu)解的特性。對于模擬退火（SimulatedAnnealing,SA）算法而言，其收斂性理論基礎(chǔ)主要來源于統(tǒng)計力學(xué)中的Metropolis準則和Markov鏈理論。4.1.1Metropolis準則Metropolis準則來源于統(tǒng)計物理學(xué)，用于描述粒子在不同能量狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率。在SA算法中，這一準則被用來決定是否接受一個比當(dāng)前解更差的解。具體而言，如果新解的適應(yīng)度值優(yōu)于當(dāng)前解，則新解被接受；如果新解的適應(yīng)度值較差，則根據(jù)以下概率接受新解：P其中，ΔE是新解與當(dāng)前解之間的適應(yīng)度差值，T4.1.2Markov鏈理論SA算法的迭代過程可以被視為一個Markov過程，其中每個狀態(tài)代表一個可能的解，狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率由Metropolis準則決定。根據(jù)Markov鏈理論，如果滿足一定的條件（如詳細平衡條件和遍歷性），則算法的解分布將收斂到一個穩(wěn)定的分布，即平衡分布。在SA算法中，這個平衡分布通常接近于全局最優(yōu)解的分布。4.2SA算法的收斂條件SA算法的收斂性依賴于以下條件：初始溫度足夠高：初始溫度應(yīng)足夠高，以確保算法在開始時能夠接受大部分的解，包括那些比當(dāng)前解更差的解。這有助于算法在搜索空間中廣泛探索，避免過早陷入局部最優(yōu)。溫度逐漸降低：溫度應(yīng)按照一定的冷卻策略逐漸降低，以減少接受較差解的概率。冷卻策略的選擇對算法的收斂速度和效果有重要影響。遍歷性：算法應(yīng)能夠在搜索空間中遍歷所有可能的解，即從任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠多的迭代，能夠以非零概率到達任何其他狀態(tài)。詳細平衡條件：在每個溫度下，算法應(yīng)滿足詳細平衡條件，即對于任意兩個狀態(tài)i和j，從i轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率與從j轉(zhuǎn)移到i的概率的比值，應(yīng)等于兩個狀態(tài)的平衡概率的比值。4.3影響收斂性的因素分析SA算法的收斂性受到多種因素的影響，包括：溫度的初始值和冷卻策略：初始溫度的選擇和冷卻策略的設(shè)定直接影響算法的探索能力和收斂速度。初始溫度過高可能導(dǎo)致算法在搜索空間中無目的的游蕩，而過低則可能使算法過早收斂于局部最優(yōu)。冷卻策略應(yīng)確保溫度逐漸降低，但降低速度不宜過快，以保持算法的探索能力。解的鄰域結(jié)構(gòu)：解的鄰域結(jié)構(gòu)定義了從當(dāng)前解到下一個解的轉(zhuǎn)移方式。鄰域結(jié)構(gòu)的選擇應(yīng)確保算法能夠遍歷整個搜索空間，同時保持計算效率。迭代次數(shù)：在每個溫度下，算法應(yīng)進行足夠多的迭代，以確保解分布接近平衡分布。迭代次數(shù)過少可能導(dǎo)致算法未能充分探索當(dāng)前溫度下的解空間，從而影響收斂性。隨機性：SA算法的隨機性是其能夠跳出局部最優(yōu)的關(guān)鍵。然而，隨機性過強可能導(dǎo)致算法在搜索空間中無目的的游蕩，而過弱則可能使算法陷入局部最優(yōu)。因此，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整算法的隨機性，以平衡探索和開發(fā)。4.3.1代碼示例：模擬退火算法實現(xiàn)importnumpyasnp

importrandom

importmath

#定義目標函數(shù)

defobjective_function(x):

returnx**2

#定義鄰域結(jié)構(gòu)

defneighborhood(x):

returnx+random.uniform(-1,1)

#定義接受準則

defacceptance_probability(old_cost,new_cost,temperature):

ifnew_cost<old_cost:

return1.0

else:

returnmath.exp(-(new_cost-old_cost)/temperature)

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations):

current_solution=initial_solution

best_solution=current_solution

temperature=initial_temperature

foriinrange(max_iterations):

#生成新解

new_solution=neighborhood(current_solution)

#計算新解和當(dāng)前解的目標函數(shù)值

old_cost=objective_function(current_solution)

new_cost=objective_function(new_solution)

#計算接受概率

ap=acceptance_probability(old_cost,new_cost,temperature)

#根據(jù)接受概率決定是否接受新解

ifrandom.random()<ap:

current_solution=new_solution

#更新最優(yōu)解

ifnew_cost<objective_function(best_solution):

best_solution=new_solution

#溫度更新

temperature*=cooling_rate

returnbest_solution

#參數(shù)設(shè)置

initial_solution=10.0

initial_temperature=100.0

cooling_rate=0.99

max_iterations=1000

#運行算法

best_solution=simulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations)

print("最優(yōu)解：",best_solution)4.3.2代碼解釋上述代碼實現(xiàn)了一個簡單的模擬退火算法，用于尋找函數(shù)fx通過調(diào)整初始溫度、冷卻策略、迭代次數(shù)和鄰域結(jié)構(gòu)，可以優(yōu)化算法的收斂性，使其更有效地找到全局最優(yōu)解。5彈性力學(xué)問題建模在彈性力學(xué)中，結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一個關(guān)鍵領(lǐng)域，旨在尋找結(jié)構(gòu)設(shè)計的最優(yōu)解，以滿足特定的性能指標，如最小化結(jié)構(gòu)重量、成本或應(yīng)力，同時確保結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性。模擬退火（SA）算法作為一種全局優(yōu)化方法，被廣泛應(yīng)用于解決這類問題，因為它能夠有效地避免局部最優(yōu)解，尋找全局最優(yōu)解。5.1建模步驟定義結(jié)構(gòu)和材料屬性：首先，需要確定結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料屬性（如彈性模量、泊松比）以及邊界條件。確定優(yōu)化目標：明確優(yōu)化的目標，例如最小化結(jié)構(gòu)的重量或成本，同時確保結(jié)構(gòu)的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。建立有限元模型：使用有限元分析（FEA）軟件或自定義代碼，將結(jié)構(gòu)離散化為多個小的單元，每個單元的力學(xué)行為可以通過彈性力學(xué)方程來描述。定義設(shè)計變量：設(shè)計變量可以是結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)（如厚度、截面尺寸）或材料屬性（如密度、彈性模量）。設(shè)置約束條件：根據(jù)工程要求，設(shè)置結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、位移、頻率等約束條件。建立目標函數(shù)和約束函數(shù)：將優(yōu)化目標和約束條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達式，作為SA算法的輸入。5.2示例：橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們正在優(yōu)化一座橋梁的橫梁厚度，以最小化其重量，同時確保在最大載荷下的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。#橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化示例

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標函數(shù)：橋梁重量

defweight(thickness):

#假設(shè)橋梁長度為100m，材料密度為7850kg/m^3

return100*thickness*7850

#定義約束函數(shù)：橋梁應(yīng)力

defstress(thickness):

#假設(shè)最大載荷為1000kN，橫梁截面為矩形

#應(yīng)力計算公式簡化為：應(yīng)力=載荷/(橫梁面積*材料許用應(yīng)力)

#橫梁面積=厚度*寬度，假設(shè)寬度為1m

#材料許用應(yīng)力為200MPa

return1000/(thickness*1*200e6)

#定義模擬退火算法的接受準則

defacceptance_criterion(energy_old,energy_new,temperature):

ifenergy_new<energy_old:

returnTrue

else:

returnnp.exp((energy_old-energy_new)/temperature)>np.random.rand()

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_thickness,cooling_rate,num_iterations):

current_thickness=initial_thickness

current_energy=weight(current_thickness)

temperature=1.0

foriinrange(num_iterations):

#生成新的厚度

new_thickness=current_thickness+np.random.normal(0,0.1)

new_energy=weight(new_thickness)

#檢查約束條件

ifstress(new_thickness)<=1:

#應(yīng)用接受準則

ifacceptance_criterion(current_energy,new_energy,temperature):

current_thickness=new_thickness

current_energy=new_energy

#冷卻

temperature*=cooling_rate

returncurrent_thickness

#初始厚度為0.5m，冷卻率為0.99，迭代次數(shù)為1000

initial_thickness=0.5

cooling_rate=0.99

num_iterations=1000

optimal_thickness=simulated_annealing(initial_thickness,cooling_rate,num_iterations)

print(f"Optimalthickness:{optimal_thickness}m")在這個例子中，我們定義了橋梁的重量和應(yīng)力作為目標函數(shù)和約束函數(shù)。通過模擬退火算法，我們尋找滿足應(yīng)力約束下的最小重量橫梁厚度。6SA算法在彈性力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用實例模擬退火算法在彈性力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用，通常涉及復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和材料，需要通過迭代過程來尋找最優(yōu)解。下面通過一個具體的例子來說明SA算法如何應(yīng)用于彈性力學(xué)優(yōu)化問題。6.1優(yōu)化問題描述考慮一個由多個彈簧組成的系統(tǒng)，目標是最小化系統(tǒng)的總能量，同時確保每個彈簧的應(yīng)力不超過其材料的許用應(yīng)力。6.1.1目標函數(shù)系統(tǒng)的總能量可以通過所有彈簧的能量之和來表示。6.1.2約束函數(shù)每個彈簧的應(yīng)力不能超過其材料的許用應(yīng)力。6.1.3設(shè)計變量設(shè)計變量可以是每個彈簧的截面面積。6.2SA算法實現(xiàn)#彈簧系統(tǒng)優(yōu)化示例

importnumpyasnp

#定義目標函數(shù)：系統(tǒng)總能量

deftotal_energy(areas):

#假設(shè)彈簧的長度為1m，彈性系數(shù)為100N/m

#彈簧能量公式簡化為：能量=彈性系數(shù)*長度/截面面積

#系統(tǒng)總能量為所有彈簧能量之和

returnsum(100*1/areaforareainareas)

#定義約束函數(shù)：彈簧應(yīng)力

defspring_stress(areas):

#假設(shè)最大載荷為1000N，材料許用應(yīng)力為200MPa

#彈簧應(yīng)力計算公式簡化為：應(yīng)力=載荷/(截面面積*材料許用應(yīng)力)

returnall(1000/(area*200e6)<=1forareainareas)

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_areas,cooling_rate,num_iterations):

current_areas=initial_areas

current_energy=total_energy(current_areas)

temperature=1.0

foriinrange(num_iterations):

#生成新的截面面積

new_areas=current_areas+np.random.normal(0,0.1,size=len(current_areas))

new_energy=total_energy(new_areas)

#檢查約束條件

ifspring_stress(new_areas):

#應(yīng)用接受準則

ifacceptance_criterion(current_energy,new_energy,temperature):

current_areas=new_areas

current_energy=new_energy

#冷卻

temperature*=cooling_rate

returncurrent_areas

#初始截面面積為[0.5,0.6,0.7]m^2，冷卻率為0.99，迭代次數(shù)為1000

initial_areas=np.array([0.5,0.6,0.7])

cooling_rate=0.99

num_iterations=1000

optimal_areas=simulated_annealing(initial_areas,cooling_rate,num_iterations)

print(f"Optimalareas:{optimal_areas}m^2")在這個例子