2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（原卷版）

.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識點一解無參的一元二次方程【【解題思路】解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數(shù)大于0)．(2)求出相應一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根．(3)畫出相應二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集．【例1】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6)；(7)．【變式】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8).(9)(10)知識點二已知一元二次不等式的解求參數(shù)【【解題思路】已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．【例2】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【變式】1．（2024高一上·全國·專題練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）已知不等式的解集為,則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．的解集為3．（23-24高一下·河北張家口·開學考試）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．知識點三分式不等式與絕對值不等式【【解題思路】1.絕對值不等式2.分式不等式【例3-1】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列不等式的解集.(1)(2)(3)(4)【例3-2】（2025湖北）解下列關于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【變式】1（2023湖南）解下列不等式（1）；（2）.（3）；（4）.（5）2.（2023北京）解下列不等式：（1）；（2）（3）.（4）；（5）；（6）．3．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）（1）解不等式；（2）；（3）.知識點四實際應用題【例4】（23-24高一上·江蘇南京·期中）通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．年，該種玻璃售價為歐元/平方米，銷售量為萬平方米．(1)據(jù)市場調(diào)查，售價每提高歐元/平方米，銷售量將減少萬平方米；要使銷售收入不低于萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米?(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位：萬平方米）至少達到多少時，才可能使年的銷售收入不低于年銷售收入與年投入之和?并求出此時的售價．【變式】1．（23-24高一上·湖北襄陽·期中）中華人民共和國第14屆冬季運動會將于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市舉行，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少0.2萬件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元?(2)為了抓住此次契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.2．（23-24高一上·陜西寶雞·階段練習）如圖，在長為，寬為的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應為多少米？3．（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點C，已知AB長為4米，AD長為3米，設米．

(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內(nèi)；(2)要使矩形花壇AMPN的擴建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時，用料最??？重難點一一元二次函數(shù)的單調(diào)性求參【例5-1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5-2】（23-24陜西渭南·階段練習）若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一上·浙江·單元測試）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（22-23高一上·廣東東莞·期中）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·山東棗莊·階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陜西咸陽·階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．重難點二解含參數(shù)的一元二次不等式【【解題思路】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟二次項系數(shù)的討論：二項式系數(shù)若含有參數(shù)，應討論等于0、小于0、大于0.判斷方程根的個數(shù)：判斷根的個數(shù)，利用判別式與0的關系、寫出解集：無根時直接寫解集；確定有兩個根時，要討論兩根的大小關系，兩根的大小關系有等于、大于、小于【例6】（2025廣東潮州）解下列關于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【變式】（2023-2024江蘇）解關于實數(shù)的不等式；(2)；(3).(4)；(5)（6）（是常數(shù)）（7）重難點三一元二次不等式恒成立【【解題思路】一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對應的二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，考慮兩個方面：x2的系數(shù)和對應方程的判別式的符號．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個最值．解不等式應用題的步驟【例7-1】（2024高一廣西）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例7-2】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例7-3】（23-24高一上·全國·期末）“，為真命題”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例7-4】（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命題“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．83．（23-24高一下·湖南·期中）設命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（23-24高二下·浙江·期中）關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為.單選題1．（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）關于的不等式的解集為，則的值為（）A． B． C． D．2．（23-24山西呂梁·階段練習）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，參賽的各國運動員在比賽、訓練之余，都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售賣的一種亞運會紀念章，每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，則這批紀念章的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一下·上海寶山·階段練習）函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陜西寶雞·階段練習）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023春·福建泉州）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．或6．（2023·全國·高一專題練習）若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（21-22高一上·重慶沙坪壩·期末）關于x的不等式恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．多選題9．（23-24高一上·江西贛州·期中）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的值可能為（

）A． B．2 C．3 D．410．（23-24高二下·浙江寧波·期末）若關于的一元二次不等式的解集為，則（

）A． B．C． D．11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若關于的不等式只有一個整數(shù)解，則的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3填空題12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若關于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)解，則的取值范圍是．13．（23-24·北京朝陽·期中）已知不等式對任意正實數(shù)x恒成立，寫出一個a的可能值為.14．（2024天津南開）已知當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．解答題15．（2024高一北京）設函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于的不等式：．16．（23-24高一上·廣東河源·階段練習）設．(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)