第64講　離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)字特征

第64講離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)字特征【備選理由】例1,例2考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;例3,例4考查了概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用.例1[配例3使用][2023·河南信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)模擬]某芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片Ⅰ有四道工序,前三道工序的生產(chǎn)互不影響,第四道是檢測(cè)評(píng)估工序,包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.(1)該芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分別為P1=150,P2=149,P3=①求生產(chǎn)一件該芯片I的次品率PM.②在第四道工序中,智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰,合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知芯片Ⅰ智能自動(dòng)檢測(cè)顯示該芯片的合格率為98%,求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí),抽檢一個(gè)芯片,該芯片恰為合格品的概率.(2)該芯片企業(yè)改進(jìn)了生產(chǎn)工藝并生產(chǎn)了芯片Ⅱ.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得芯片Ⅰ與芯片Ⅱ,并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪,對(duì)開(kāi)機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查,據(jù)統(tǒng)計(jì),回訪的100名用戶中,手機(jī)安裝芯片Ⅰ的有40人,其中對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意的占70%;手機(jī)安裝芯片Ⅱ的有60人,其中對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意的占1415.現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從對(duì)手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人群中抽取9人,再?gòu)倪@9人中選取4人進(jìn)行座談,記抽到對(duì)安裝芯片Ⅱ的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望解:(1)①PM=1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)=1-4950×4849×4748②設(shè)“芯片Ⅰ智能自動(dòng)檢測(cè)合格”為事件A,“人工抽檢合格”為事件B,由已知得P(A)=98100=4950,P(AB)=1-PM=1-350則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí),抽檢一個(gè)芯片,該芯片恰為合格品的概率為P(B|A)=P(AB)P(A)(2)由題意知,對(duì)安裝芯片Ⅰ的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為40×70%=28,對(duì)安裝芯片Ⅱ的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為60×1415=56,所以采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法的抽樣比為1∶2,故所抽取的9人中,手機(jī)安裝芯片Ⅰ的有3人,手機(jī)安裝芯片Ⅱ的有6人,所以X的所有可能取值為則P(X=1)=C33C61C94=6126=121,PP(X=3)=C31C63C94=3×20126=1021,P所以X的分布列為X1234P15105所以E(X)=1×121+2×514+3×1021+4×5例2[配例3使用]在某次比賽中,某田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽.比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽,只有預(yù)賽和半決賽都晉級(jí)才能進(jìn)入決賽.已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率均為34;乙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為45和12;丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為p和32-p,其中12(1)試判斷甲、乙、丙三人中誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大;(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為18,求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)X的分布列和期望解:(1)由題意知,甲在預(yù)賽和半決賽中均晉級(jí)的概率P1=34×34=乙在預(yù)賽和半決賽中均晉級(jí)的概率P2=45×12=丙在預(yù)賽和半決賽中均晉級(jí)的概率P3=p32因?yàn)?2<p<56,所以P3∈12,916,當(dāng)且僅當(dāng)p=34所以當(dāng)p∈12,34∪34,56時(shí),P1>P3>P2,即甲進(jìn)入決賽的可能性最大;當(dāng)p=34時(shí),P1(2)設(shè)甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為P,則P=P1P2P3=916×25×p32-p=18,且12所以丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為23和5丙在預(yù)賽和半決賽中均晉級(jí)的概率P3=59由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=1-916×1-2P(X=1)=916×1-25×1-59+1-916×25P(X=2)=916×25×1-59+916×1-25×5P(X=3)=916×25×59=18X0123P72692771所以E(X)=0×760+1×269720+2×277720+3×1例3[配例4使用]燈帶是生活中常見(jiàn)的一種裝飾材料,已知某款燈帶的安全使用壽命為5年,燈帶上照明的燈珠為易損配件,該燈珠的零售價(jià)為4元/只,但在購(gòu)買燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購(gòu)買備用燈珠,該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出,提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率,若該顧客買1盒此款燈帶,每盒有2條燈帶,記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量,n表示該顧客購(gòu)買1盒燈帶的同時(shí)購(gòu)買的備用燈珠數(shù)量.(1)求X的分布列.(2)若滿足P(X≥n)≤0.6的n的最小值為n0,求n0;(3)在燈帶安全使用壽命期內(nèi),以購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù),比較n=n0-1與n=n0哪種方案更優(yōu).解:(1)由題圖可知,P(X=5)=P(X=7)=P(X=8)=0.2,P(X=6)=0.4,則X的所有可能取值是10,11,12,13,14,15,16,P(X=10)=0.2×0.2=0.04,P(X=11)=2×0.2×0.4=0.16,P(X=12)=0.42+2×0.2×0.2=0.24,P(X=13)=2×(0.2×0.2+0.2×0.4)=0.24,P(X=14)=0.22+2×0.4×0.2=0.2,P(X=15)=2×0.2×0.2=0.08,P(X=16)=0.2×0.2=0.04,所以X的分布列為X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)可知P(X≥12)=0.8,P(X≥13)=0.56,故n0=13.(3)由(2)可知n=n0-1=12.在燈帶安全使用壽命期內(nèi),當(dāng)n=12時(shí),設(shè)購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用為u元,當(dāng)n=13時(shí),設(shè)購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用為v元,則E(u)=4×0.5×12+0.24×4+0.2×8+0.08×12+0.04×16=28.16,E(v)=4×0.5×13+0.2×4+0.08×8+0.04×12=27.92.因?yàn)镋(v)<E(u),故以購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù),n=n0比n=n0-1的方案更優(yōu).例4[配例5使用][2023·云南曲靖質(zhì)檢]在今年的“世界讀書(shū)日”來(lái)臨之際,某書(shū)店為了了解市民的閱讀情況,在某小區(qū)隨機(jī)抽取了40名居民,將他們的年齡分成[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]共七段,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這40名居民中年齡不低于70歲的人數(shù).(2)①若從樣本中年齡在40歲及以上的居民中任取4名贈(zèng)送圖書(shū),求這4名居民中至少有1人年齡不低于70歲的概率.②該書(shū)店采用抽獎(jiǎng)方式來(lái)提升購(gòu)書(shū)意愿,將某特定書(shū)籍售價(jià)提高10元,且允許購(gòu)買此特定書(shū)籍的居民抽獎(jiǎng)3次,規(guī)定中獎(jiǎng)1次、2次、3次分別獎(jiǎng)現(xiàn)金x元、2x元、3x元,且居民每次中獎(jiǎng)的概率均為15.若要使抽獎(jiǎng)方案對(duì)該書(shū)店有利,則獎(jiǎng)金x最高可定為多少元?(結(jié)果精確到個(gè)位數(shù)解:(1)由頻率分布直方圖得,40名居民中年齡不低于70歲的人數(shù)為40×(0.005×10)=2.(2)①由頻率分布直方圖知,40歲及以上的居民共有40×(0.015+0.010+0.005+0.005)×10=14(名),年齡不低于70歲的居民有2名,記事件A為“這4名居民中至少有1人年齡不低于70歲”,則P(A)=1-C124C144=1②設(shè)居民三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量X,則X的所有可能取值為0,x,2x,3x.由題