數(shù)學八年級蘇科版（上冊）第3章勾股定理綜合測評及解析

第頁第3章勾股定理綜合測評（一）（本試卷滿分100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.如圖1，兩個較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的邊長為（）A．4B．8C．16D．64圖1圖22.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C.，，1D.4，5，63.歷史上對勾股定理的一種證法采用了圖2所示的圖形，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上．證明中用到的面積相等關系是（）A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四邊形CDAE=S四邊形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD4.圖3所示的各直角三角形中，邊長x的值為5的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個圖35.國家八縱八橫高鐵網(wǎng)絡規(guī)劃中“京昆通道”的重要組成部分──西成高鐵于2017年12月6日開通運營，西安至成都列車運行時間由14小時縮短為3.5小時．張明和王強相約從成都坐高鐵到西安旅游．如圖4，張明家（記作A）在成都東站（記作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王強家（記作C）在成都東站南偏東60°的方向且相距3000米，則張明家與王強家的距離為（）A.4000米B.5000米C.6000米D.7000米圖4圖5圖6圖76．如圖5，一圓柱高8cm，底面半徑為2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定7.如圖6，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為（）A.90°B.60°C.45°D.30°8.若直角三角形的兩邊長分別為3和4，則以第三邊長為直徑的圓的面積為（）A.πB.πC.7π或25πD.π或π9.如圖7，在4×5的方格中，A，B為兩個格點，再選一個格點C，使∠ACB為直角，則滿足條件的點C的個數(shù)為（）A.3B.4C.5D.610．如圖8，在△ABC中，D是邊BC上的一點，AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面積是（）A．30 B．36 C．72 D．125圖8二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則BD=．圖9圖10圖1112．如圖10，已知△OAB，以OB為邊作△OBC，再以OC為邊作△OCD.若∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，則OD2的值等于_____________.13.探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，可發(fā)現(xiàn):4=，12=，24=，…，請寫出第5個數(shù)組：．14.現(xiàn)在人們鍛煉身體的意識日漸增強，但是一些人保護環(huán)境的意識卻很淡?。畧D11是昌平濱河公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角∠ABC，而走“捷徑AC”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他們踩壞了米的草坪，只為少走米的路．15.如圖12，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為40，小正方形的面積為5，則（a+b）2的值為________.圖12圖1316.如圖13，長方形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為______.三、解答題（本大題共6小題，共52分）17.（6分）如圖14，已知AD是△ABC的角平分線，AB=AC=13cm，AD=12cm．求BC的長．圖14圖1518.（8分）如圖15，已知四邊形ABCD中，∠A為直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四邊形ABCD的面積．19.（8分）圖16是一副秋千架，左圖是從正面看，當秋千繩子自然下垂時，踏板離地面0.5m（踏板厚度忽略不計），右圖是從側面看，當秋千踏板蕩起至點B的位置時，點B離地面垂直高度BC為1m，離秋千支柱AD的水平距離BE為1.5m（不考慮支柱的直徑）．求秋千支柱AD的高．圖16圖1720.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當四個全等的直角三角形如圖17擺放時，可以用“面積法”來推導說明a2+b2=c2．請你寫出推導過程．21.（10分）如圖18，沿海城市A接到臺風警報，在該市正南方向130km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=50km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？①②圖18圖1922.（12分）（1）如圖19-①，長方體的長為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖19-②，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計），容器的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？附加題（20分，不計入總分）23.在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.若∠C為直角，則由勾股定理得a2＋b2＝c2.（1）若∠C為銳角，試說明：a2＋b2＞c2；（2）若∠C為鈍角，試判斷a2＋b2與c2的關系，并進行驗證.參考答案：一、1.B2.B3.D4.B5.B6.B7.C8.D9.D10.B二、11.212.713.11，60，6114.502015.7516.5三、17.解：因為AB=AC，AD是△ABC的角平分線，所以AD⊥BC，BD=CD．因為在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD2=AB2－AD2＝132－122＝25，所以BD=5.所以BC=10cm．18.解：因為∠A為直角，AD=12，AB=16，所以BD2=AD2+AB2=400，所以BD=20.因為BD2+CD2=202+152=625=BC2，所以△BDC是直角三角形，且∠CDB為直角.所以S△ABD=×16×12=96，S△BDC=×20×15=150.所以四邊形ABCD的面積為96+150=246．19.解：設AD=xm，則由題意得AB=（x-0.5）m，AE=（x-1）m.在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．所以秋千支柱AD的高為3m.20.解：因為S五邊形ABCDE=S梯形AEDF+S梯形BCDF=S正方形DEPC+2S△AEP，即（b+a+b）?b+（a+a+b）?a=c2+2×ab，整理得a2+b2=c2．21.解：在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD2=AB2-AD2=1302-502=14400，所以BD=120km.則120÷15=8（h）.所以臺風中心經(jīng)過8h從B點移到D點.如圖1，因為距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，所以人們要在臺風中心到達E點之前撤離.BE=BD-DE=120﹣30=90（km），=6（h）.所以游人在接到臺風警報后的6h內(nèi)撤離才可脫離危險．圖122.解：（1）如圖2，由題意知能放入木棒的最大長度為DF的長.由題意得DB2=AB2+AD2=42+32=25，DF2=DB2+FB2=25+122=169，所以DF=13.所以該長方體中能放入木棒的最大長度是13cm．圖2圖3（2）將容器側面展開，如圖3所示，作點A關于EF的對稱點A′，則A′B的長度即為螞蟻爬行的最短路徑．由題意A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12（cm）.由勾股定理，得A′B2=A′D2+BD2=169，所以A′B=13cm．所以螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是13cm.23.解：（1）如圖4，過點A作AD⊥BC于點D，則BD＝BC－CD＝a－CD.在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2；在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a－CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2＋2a?CD.因為a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＞c2.圖4圖5（2）a2＋b2＜c2.驗證如下：如圖5，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，則BD＝BC＋CD＝a＋CD.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a＋CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2－2a?CD.因為a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＜c2.第3章勾股定理綜合測評（二）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.若一個直角三角形的兩條直角邊的長分別為6cm和8cm，則斜邊的長為（）A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm2.如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AB=13，BC=12.若以AC為邊長作正方形（圖中陰影部分），則這個正方形的面積為（）A.5B.10C.20D.25C圖1AB圖C圖1AB圖2圖3圖43.若三角形的三邊長分別為3cm，4cm和5cm，則這個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是（）A.45oB.90oC.135oD.150o4.從5，9，12，13，17這5個數(shù)中選取3個數(shù)，可以作為勾股數(shù)的一組是（）A.5，9，12B.5，9，13C.5，12，13D.9，12，175．下面說法正確的是（）A．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，b=4，則c=5C．直角三角形的兩直角邊長都是5，那么斜邊長為10D．直角三角形中，斜邊最長6.圖2的虛線部分是“趙爽弦圖”示意圖，它是由4個全等的直角三角形圍成的，AC=3cm，BC=2.5cm，現(xiàn)將4個直角三角形中邊長為3cm的直角邊分別向外延長1倍，得到如圖所示的“數(shù)學風車”，則這個“數(shù)學風車”的外圍周長是（）A.26cmB.34cmC.36cmD.38cm7.如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90o，點D在BC上，連接AD，且AD=BD，若BD=10，BC=16，則AC的長為（）A.8B.10C.12D.14圖4所示是一個十字路口，O是兩條公路的交點，點A，B，C，D分別表示公路上的四輛車.若OC=80m，AC=170m，AB=50m，BD2=50000m2，則C，D兩輛車之間的距離為（）圖6BAA.50mB.40mC.30mD.圖6BA圖59.如圖5，在單位長度為1的正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB，CD，AE，DE四條線段，其中能構成一個直角三角形的三條線段的是（圖5A.AB，CD，AE B.AE，DE，CD C.AE，DE，AB D.AB，CD，ED10.如圖6，圓柱底面的半徑為cm，高為9cm，A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條線上，用一根棉線從點A順著圓柱側面繞3圈到點B，則這根棉線的長度最短是（）A.12cm B.15cm C.18cm D.21cm二、填空題（每小題3分，共18分）11.在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，且c=b+1，a=9，則b=＿＿___.12.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，且三邊長滿足（a+c+b）（a2+c2-b2）=0.若∠A=30o，則∠C的度數(shù)是______.13.圖7所示的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形，若正方形A，B的邊長分別為8cm，6cm，正方形C的面積SC=35cm2，則正方形D的面積SD=_______.圖7圖8圖9圖圖7圖8圖9圖1014.如圖8所示，為修筑鐵路需鑿通隧道AC，現(xiàn)測量出∠ACB=90o，AB=6km，BC=4.8km，若每天鑿隧道200m，則_______天才能把隧道AC鑿通.15.如圖9，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AB2+BE2=16，AD2+DF2=25，EF=x，∠AEB=∠CFE，則x=_______.16.如圖10，由8個全等的直角三角形（圖中帶陰影的三角形）與中間的小正方形拼成一個大正方形，如果最大的正方形的面積是25，最小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，則下列結論：①a2+b2=13；②（a-b）2=1；③ab=6.其中正確結論的序號為_______.三、解答題（共52分）17.（6分）如圖11，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，AB=17cm，AD=8cm，求△ABC的周長.圖11圖12①②圖11圖12①②圖13ABCD圖518.（8分）如圖12-①，在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面1m.一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面（如圖12-②所示）.經(jīng)測量得知紅蓮移動的水平距離為2ABCD圖519.（8分）觀察下列各式：32-4=5，4×3=12，32+4=13，則5，12，13組成一組勾股數(shù)；42-4=12，4×4=16，42+4=20，則12，16，20組成一組勾股數(shù)；52-4=21，4×5=20，52+4=29，則21，20，29組成一組勾股數(shù)；……你能否得出結論，對于任意大于2的整數(shù)k，k2-4，4k，k2+4組成一組勾股數(shù)？請說明理由.20.（8分）圖13所示是4個完全相同的直角三角形適當拼接后形成的圖形，這些直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c.（1）請你從面積的關系出發(fā)，寫出一個關于a，b，c的等式，并驗證你的結論正確；（2）利用（1）中得到的等式解決問題：若a+b=7，ab=12，求c的值.21.（10分）圖14所示是一個長方體的透明魚缸，假設其長AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一只小蟲想從魚缸外的A點沿缸壁爬進魚缸內(nèi)G處吃魚餌.（1）小蟲應該走怎樣的路線使爬行的路程最短？請你在圖中畫出它的爬行路線，并用箭頭標注；（2）試求小蟲爬行的最短路線長.圖圖1422.（12分）問題情境：在圖15所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫做格點.嘗試解決：（1）在圖15-①中畫一個Rt△ABC，使其兩直角邊長分別為AB=3，BC=4（∠B=90o），并求出△ABC的周長；（2）合作交流：在圖15-②中，能否畫出一個△EFG，使得EF2=20，F(xiàn)G2=5，EG=5，若能，求出∠EFG的度數(shù)；若不能，請說明理由.圖圖15②①參考答案：一、1.C2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.D9.D4圖110.B提示：圓柱體的展開圖如圖1所示，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點的長度最短路線是AC→CD→DB4圖14cm，即長方形的寬為4cm，因為圓柱的高為9cm，所以，每個小長方形的一條邊長為3cm，根據(jù)勾股定理，得AC=CD=DB=5cm，所以AC+CD+DB=15（cm）.二、11.4012.60o13.65cm214.1815.316.①②③提示：因為最大正方形的面積為25，所以由四個全等直角三角形拼成的正方形的面積為13，所以a2+b2=13，①正確；因為最小正方形的面積為1，最小正方形的邊長為b-a，所以（a-b）2=1，②正確；因為a2+b2-4×=（a-b）2，所以13-2ab=1，解得ab=6，③正確.三、17.解：因為AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥B