理論力學(xué)-課件第9章

第9章

動量定理本章內(nèi)容

1質(zhì)點的動量定理

2質(zhì)點系的動量定理

3質(zhì)心運動定理

4變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程第一節(jié)質(zhì)點的動量定理

質(zhì)點運動的強(qiáng)弱，不但與它的質(zhì)量有關(guān)，而且還與它的速度有關(guān)，為此我們定義動量來表征質(zhì)點的運動量，即把質(zhì)點的質(zhì)量與速度矢量的乘積（

）稱為質(zhì)點的動量。動量是矢量，它的方向與速度方向一致。在國際單位制中，動量的單位是

。把力與其作用時間的乘積稱為力的沖量。沖量也是矢量，用

表示，單位是

或

。沖量的單位與動量相同。對于常力

來講，若作用時間為

，則力

在時間間隔

內(nèi)的沖量為（9-1）若作用力為變力，可以把時間間隔t分成若干極短時間間隔dt，在這些極短的時間間隔內(nèi)，力

可以看做常力，則在dt時間內(nèi)，力的元沖量為在時間間隔

內(nèi)，力的沖量為（9-2）將上式在直角坐標(biāo)軸投影，可得（9-3）設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，作用在質(zhì)點上的力為F，根據(jù)質(zhì)點動力學(xué)基本方程，有假設(shè)m為常量，則上式可以寫成（9-4）式（9-4）就是質(zhì)點動量定理的微分形式，即質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點上的力。式（9-4）又可改寫為（9-5）若質(zhì)點在初始時刻（

）的速度為

，在t時刻的速度為

，則將式（9-5）從0到t積分得或（9-6a）（9-6b）當(dāng)質(zhì)點上作用有n個力時，前面公式中的力

表示的是合力。式（9-6a）就是質(zhì)點的動量定理的積分形式，即質(zhì)點的動量在某一時間間隔內(nèi)的改變等于質(zhì)點上的作用力在同一時間內(nèi)的沖量。將式（9-6a）在直角坐標(biāo)軸上投影，可得（9-7）若作用在質(zhì)點上的力F恒等于零，則由式（9-6a）得（9-8）若作用力在質(zhì)點上的力

在某一軸上的投影恒等于零。例如，在x軸上

，則由式（9-7）得（9-9）式（9-8）和式（9-9）給出了質(zhì)點動量守恒定律，即若作用在質(zhì)點上的力恒等于零，則該質(zhì)點的動量保持不變，若作用在質(zhì)點上的力在某一軸上的投影恒等于零，則質(zhì)點的動量在該軸上的投影保持不變。例9-1物體A的質(zhì)量為5kg，在水平面上以2m/s的速度撞擊一質(zhì)量為10kg的物體B。撞擊后，A沿著直線彈回，歷時

停住，如圖9-1所示。設(shè)A，B與水平面間的動摩擦系數(shù)為1/3，求B被撞擊后運動的時間。圖9-1解根據(jù)質(zhì)點的動量定理有（a）先以A為研究對象，設(shè)撞擊前A的速度為

，撞擊后歷時3s停止，A的速度變?yōu)榱?。在此時間內(nèi)，A在水平方向上受到的沖量有：B對它的沖量

和摩擦力的沖量

，而摩擦力

。再以B為研究對象，B原來靜止，設(shè)撞擊后歷時

秒后停止，這段時間內(nèi)B的動量變化為零，而作用的沖量有：A對它的沖量和摩擦力的沖量

，而

，于是有（b）將式（a）、（b）相加得即得第二節(jié)

質(zhì)點系的動量定理若質(zhì)點系由

質(zhì)點組成，則該質(zhì)點系的動量為（9-10）式中：

——第i個質(zhì)點的質(zhì)量；

——第i個質(zhì)點速度。在質(zhì)點系中，各質(zhì)點所受的力可分為外力和內(nèi)力。內(nèi)力是質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點間的相互作用力，用

表示；外力是質(zhì)點系以外的物體作用于質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點上的力，用

表示。設(shè)質(zhì)點系中任一質(zhì)點

所受外力合力為

，所受內(nèi)力合力為

。根據(jù)質(zhì)點的動量定理，可見質(zhì)點系中每一質(zhì)點有將上述n個方程相加得所有內(nèi)力的矢量和恒等于零，即

，則上式化為（9-11a）或（9-11b）式（9-11a）、（9-11b）就是質(zhì)點系動量定理的微分形式，即質(zhì)點系的動量對于時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和，即外力的主矢。將上式在直角坐標(biāo)軸上投影得（9-12）將式（9-11a）兩邊均乘以dt，并在時間間隔0到t內(nèi)積分得（9-13a）則式（9-13a）可寫成（9-13b）將式（9-13b）在直角坐標(biāo)軸上的投影，得如果質(zhì)點系不受外力作用或作用于質(zhì)點系的所有外力的矢量和恒等于零，即

，則由式（9-13b）得上式就是質(zhì)點系的動量守恒定律，即如果作用于質(zhì)點系的外力的矢量和恒等于零，則該質(zhì)點系的動量保持不變。如果作用在質(zhì)點系上的外力在某一軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)點系的動量在該軸上的投影保持不變，設(shè)

，則例9-2有一質(zhì)量為kg的小車，車上有一裝著沙子的箱子，沙子與箱子的總質(zhì)量為kg，小車與沙箱以速度km/h，在光滑水平面上做勻速直線運動?，F(xiàn)在一質(zhì)量為kg的物體A鉛直向下落入沙箱中，如圖9-2（a）所示，求此后小車的速度。若A物落入后，沙箱在小車上滑動

后才與車面相對靜止，求車面與箱底相互作用的摩擦力的平均值。圖9-2（a）解（1）先取小車、沙箱和物體A組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析。系統(tǒng)受力如圖9-2（a）所示，這些外力均沿鉛垂方向，所以作用在系統(tǒng)上的外力在水平方向的投影始終為零。故系統(tǒng)的動量在水平方向守恒。（3）運動分析。設(shè)重物落入小車后，小車最后的速度為

，此時小車的動量為

；重物落入前，小車的動量為

。（4）根據(jù)動量守恒，可得解得當(dāng)重物落入箱中的瞬時，箱子的速度先減慢，箱子與車面之間有一個相對滑動的階段。若設(shè)此時間內(nèi)車面與箱底之間作用的平均摩擦力為

，取小車為研究對象，受力如圖9-2（b）所示，根據(jù)動量定理的投影式有圖9-2（b）解得*管道中流體的動壓力計算設(shè)有一不可壓縮的理想流體，在變截面曲管中做定常流動，如圖9-3所示。流體的密度為

，流體在某截面的流量為Q，求管壁所受的動壓力。圖9-3取管道中AB和CD任意兩個截面間的流體作為質(zhì)點系來研究。設(shè)經(jīng)過dt時間后ABCD內(nèi)的流體流至

，則流體的動量變化為以

和

分別表示在截面AB和CD處的流速，則在

時間間隔內(nèi)流體的動量變化為即設(shè)作用于流體上的外力有重力W、管壁約束力

和作用在截面AB與CD上的相鄰流體壓力

和

。根據(jù)質(zhì)點系的動量定理有將管壁約束力

分成兩部分：一部分為流體動量不變化時引起的管壁約束力，用

表示，有

。一部分為由于流體的動量變化所引起的管壁約束力，即動壓力，用

表示，則（9-15）在平面問題中，動壓力

寫成投影形式，即例9-3

垂直于薄板的水柱流經(jīng)薄板時，被薄板截成兩部分，如圖9-4所示。一部分的流量L/s，而另一部分偏離

角，忽略水重和摩擦，試確定

角和薄板給水柱的作用力。（設(shè)水柱的速度m/s，總流量L/s。）圖9-4解水柱的動量變化率，即根據(jù)動量定理，得（a）（b）由式（b），得求得

代入式（a），得第三節(jié)

質(zhì)心運動定理設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，如圖9-5所示，質(zhì)點系中任一質(zhì)點

的質(zhì)量為

，其位置矢徑為

，整個質(zhì)點系的質(zhì)量為

。質(zhì)點系質(zhì)心C點的坐標(biāo)由下式確定或?qū)懗墒噶啃问?,（9-17）（9-18）圖9-5則質(zhì)心的速度為或（9-19）將式（9-19）代入式（9-11a），得因為

，

為質(zhì)心運動的加速度，則（9-20）式（9-20）就是質(zhì)心運動定理，即質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點系所受外力的矢量和。將（9-20）寫成投影形式為（9-21）例9-4如圖9-6所示為一電機(jī)，電機(jī)的定子質(zhì)量為

，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為

。由于制造上的誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心偏離中心軸

的偏心距為

。轉(zhuǎn)子以勻角速度

繞

軸轉(zhuǎn)動。試求：圖9-6（1）若電機(jī)的外殼用螺桿固定在地面上，求電機(jī)所受的約束力。（2）若不用螺桿固定，問當(dāng)轉(zhuǎn)速多大時，電機(jī)會跳離地面（設(shè)定子的質(zhì)心在

軸上）。解（1）取電機(jī)為研究對象。（2）受力分析。電機(jī)受力如圖9-6所示，其中

，

分別為電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的重力。（3）運動分析。取電機(jī)軸心

為原點，

軸為水平向右，

軸豎直向上，則定子的質(zhì)心坐標(biāo)

和

，以及轉(zhuǎn)子的質(zhì)心坐標(biāo)

和

為,,因此，電機(jī)質(zhì)心坐標(biāo)C的坐標(biāo)為則質(zhì)心的加速度為（4）根據(jù)質(zhì)心運動定理有解得電機(jī)所受到的約束力為從上式可得出

的最小值為電機(jī)如不用螺桿固定，則其跳起地面的條件

，即解得

當(dāng)電機(jī)的轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速超過

時，電機(jī)會跳離地面。例9-5如圖9-7所示的曲柄滑桿機(jī)構(gòu)中，曲柄以等角速度

繞

軸轉(zhuǎn)動。開始時，曲柄

水平向右。已知曲柄重

，滑塊A重

，滑桿重

。曲柄的重心在

的中點，

?；瑮U的重心在點

，而

。

試求：（1）機(jī)構(gòu)質(zhì)心的運動方程。（2）作用在

點的最大水平力。圖9-7解（1）取曲柄、滑塊和滑桿組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析。系統(tǒng)受力如圖9-7所示。圖9-7（3）運動分析。取

點為坐標(biāo)原點，

軸水平向右為正，

軸鉛垂向上為正，則質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為式中，

分別是曲柄質(zhì)心、滑塊和滑桿的質(zhì)心坐標(biāo)，且有則

從上式可以求出（4）由質(zhì)心運動定理得所以從質(zhì)心運動定理可以看出：如果作用在質(zhì)點系上的所有外力的矢量和恒等于零，則質(zhì)心做勻速直線運動或靜止，即式（9-20）中

，則有如果作用在質(zhì)點系上的所有外力在某軸上的投影的代數(shù)和恒等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變。例如，

，則由式（9-21）中的第一式得若初始時，

，則得

由質(zhì)心的定義可得，在

時，質(zhì)心的

坐標(biāo)為在以后任何瞬時，質(zhì)心的

坐標(biāo)為由

得即如果令

，則（9-22）例9-6在光滑軌道上有一小車，長為

，重量為

。有一重為

的人站在小車

端，開始時人與車都靜止，如圖9-8所示。若令此人從A端走到B端，求小車后退的距離s。圖9-8解（1）取人與小車組成的質(zhì)點系為研究對象。（2）受力分析。由題意可知質(zhì)點系所受外力在水平方向的投影等于零。（3）運動分析。開始時，系統(tǒng)處于靜止。當(dāng)人從A端走到B端時，小車和人的

坐標(biāo)改變量為（4）根據(jù)式（9-22）得即解得,第四節(jié)

變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程設(shè)質(zhì)點在時刻t時質(zhì)量為m，速度為

，在時刻

時，有微小質(zhì)量

加入，這時質(zhì)點的質(zhì)量變?yōu)?/p>

，速度為

，微小質(zhì)量

在時刻t時的速度為

。在

時間間隔內(nèi)，這兩部分所受到的外力主矢為

，如圖9-9所示。圖9-9對于質(zhì)點

和

組成的質(zhì)點系，在t時刻的動量為在

時的動量為根據(jù)動量定理得即將上式展開，并略去高階小量

，得記

，即

在時刻t時，質(zhì)點

對于質(zhì)點m的相對速度，則上式可改寫成（9-23）令則式（9-23）改寫成（9-24）式（9-24）就是變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程。式中的

具有力的單位，當(dāng)

時，

與

同向；當(dāng)

時，

與

反向。通常稱

為火箭的反推力，并寫成例9-7如圖9-10所示為一火箭垂直于地面向上發(fā)射時的情況。已知其初速度為

，初始時質(zhì)量為

。經(jīng)過時間

后，燃料燒完，火箭質(zhì)量為

，