2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期同步講練(人教版)第24章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：垂徑定理的應(yīng)用舉例(含詳解)

第24章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：垂徑定理的應(yīng)用舉例

考點(diǎn)體系

考點(diǎn)1：垂徑定理的常規(guī)應(yīng)用

典例：（2020.湖北中考真題）如圖，點(diǎn)A8,。,。在OO上，垂足為E.若/位Q=30。，AE=1，

則BC=（）

A.2B.4C.73D.2G

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查圓周角定理和垂徑定理，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2019?金昌市金川總校第五中學(xué)初三期中）如圖，AB是。O的弦，AB=8,直徑CD±AB于M,且DM=8,

則。。的半徑為（

2.（2020?海南瓊海初三其他）如圖，點(diǎn)A,B,C,。都在半徑為4的。O上，若O4_LBC,ZCDA=30°,

則弦的長(zhǎng)為（）

A.4B.40C.4GD.6

3.（2020?山東東明初三其他）如圖，在。O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D,連接BE,若AB=2

幣,CD=1,則BE的長(zhǎng)是（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2019?景泰縣第四中學(xué)初三一模）如圖，在。O中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,連接BC.若

AB=20,NBCD=30。，則。O的半徑為.

5.（2020?江蘇南通中考真題）已知。。的半徑為13cm,弦AB的長(zhǎng)為10cm,則圓心O到AB的距離為,

6.（202。江蘇秦淮初三月考）在半徑為2的圓中，弦AB、AC的長(zhǎng)度分別是2、2石，則弦BC的長(zhǎng)度是

7.（2020.四川青羊初三二模）如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（)

A.4-^cmB.2月cmC.百cmD.^/2cm

考點(diǎn)2：平行弦問(wèn)題

典例：（2019?山東金鄉(xiāng)。初三期中）己知是。。的兩條弦，AB//CD.若的直徑為

10,AB=8,CD=6，則弦AB和CO之間的距離是.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.也考查了勾股定理.

鞏固練習(xí)

1.（2019?安徽廬江初三期末）已知AB、CD是。。的兩條弦，AB//CD,AB=6,CD=8,。。的半徑為5,

則AB與CD的距離是（）

A.1B.7C.1或7D.無(wú)法確定

2.（2020.浙江中考真題）如圖，已知AB是半圓。的直徑，弦CD〃AB,CD=8.AB=\0,則CO與AB之

間的距離是.

3.（2020.浙江德清初三期中）已知AB是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,弦PQ〃AB交弦CD于點(diǎn)M,

BE=18,CD=PQ=24,則OM的長(zhǎng)為.

4.（2017?重慶開州初三期末）如圖，已知。。的半徑長(zhǎng)為R=5,弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5,

AB=6,求弦CD的長(zhǎng).

考點(diǎn)3：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

典例：（2019?江蘇鎮(zhèn)江初三月考）（操作思考）畫。。和。。的直徑AB、弦8,使AB_LCD,垂足為P

（如圖1）.猜想所畫的圖中有哪些相等的線段、相等的劣?。浚?。4=。8除外）.

B

圖2

（1）猜想：①；②；③.

操作：將圖1中的AD5沿著直徑AB翻折，因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱軸，

所以AOB與ACB重合，又因?yàn)镹APO=NAPC=90°，所以射線PO與射線PC重合（如圖2）,于是點(diǎn)

。與點(diǎn)O重合，從而證實(shí)猜想.

（知識(shí)應(yīng)用）圖3是某品牌的香水瓶，從正面看上去（如圖4）,它可以近似看作割去兩個(gè)弓形后余下的部

分與矩形ABCO組合而成的圖形（點(diǎn)8、C在箱上），其由EFUGH.

（2）已知。。的半徑為3cm,AB=3cm,EF=3.6cm,G"=4.8cm,求香水瓶的高度/z.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查軸對(duì)稱圖形和圓的相關(guān)知識(shí)，勾股定理，垂徑定理正確掌握軸對(duì)稱圖形的定義，圓的軸對(duì)稱關(guān)系,

利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020?湖南新邵。）如圖所示，“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，“今

有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深兩寸，鋸道長(zhǎng)八寸，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是:

“8為。。的直徑，弦AB_LCE>,垂足為點(diǎn)￡,CE=2寸，A8=8寸，求直徑C。的長(zhǎng)？”依題意C。

的長(zhǎng)為（）

A.6寸B.8寸C.10寸D.12寸

2.（2020.安徽相山初三月考）如圖，圓弧形拱橋的跨徑43=12米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為（）

米

A.6.5B.9C.13D.15

3.（2020?廣西南寧初三二模）下圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門

的相關(guān)數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8。=1.5米，且A3、CD

與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫小紅計(jì)算出這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是（）

W

o

t

A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米

4.（2020?四川安居初二期末）一輛裝滿貨物，寬為2.4米的卡車，欲通過(guò)如圖的隧道，則卡車的外形高必

須低于（）

A.4.1米B.4.0米C.3.9米D.3.8米

5.（2020?遼寧大連初三學(xué)業(yè)考試）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題產(chǎn)今有圓材,

埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn):徑幾何?”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是:如圖，AB是

。。的直徑，弦垂足為E,AE=1寸，CZ）=10寸.則直徑的長(zhǎng)為.寸.

6.（2020?廣西防城港初三期末）如圖，豎直放置的一個(gè)鋁合金窗框由矩形和弧形兩部分組成，AB=5n,

AD=2m,弧C。所對(duì)的圓心角為NCOD=120。.現(xiàn)將窗框繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)橫放在水平的地面上，這一過(guò)

程中，窗框上的點(diǎn)到地面的最大高度為

7.（2020.東城北京一七一中初三月考）如圖①，小敏利用課余時(shí)間制作了一個(gè)臉盆架，圖②是它的截面圖，

垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm,則該臉盆的半

徑為________cm.

圖①圖②

8.（2019?四川嘉陵初三其他）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其主視圖如圖.。。與矩形

ABCD的邊BC,AD分別相切和相交（E,F是交點(diǎn)），己知EF=CD=8,則。。的半徑為

9.（2020?浙江麗水初三一模）如圖，量角器的。度刻度線為AB，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直

尺一邊與量角器相切于點(diǎn)C,直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A，D，量得A。=10cm,點(diǎn)。在量角器上的讀

10.（2019?河北保定。初三一模）如圖，一個(gè)寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米），放在圓形玻璃杯的

杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9,那么玻璃杯的

杯口外沿半徑為

11.（2019?四川廣安中學(xué)初三月考）如圖是一塊圓環(huán)形玉片的殘片，作外圓的弦AB與內(nèi)圓相切于點(diǎn)C,量

得AB=8c”、點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)。的距離CD=2c?n.則此圓環(huán)形玉片的外圓半徑為cm.

考點(diǎn)4：垂徑定理在作圖中的應(yīng)用

典例：（2020?江西樂(lè)平初三一模）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)條件完成下列畫圖.

（1）如圖1,6c內(nèi)接于。。，AB=AC,畫出線段8C的垂直平分線.

（2）如圖2,AABC內(nèi)接于。。，AB^AC,D、E分別為AB和AC的中點(diǎn)，畫出線段3C的垂直平

分線.

A

D.

A

圖1

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查作圖能力,作線段的垂直平分線，還考查了圓的垂徑定理的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì).

鞏固練習(xí)

1.（2019?北京清華附中初三一模）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為人,下方的弧半徑為

則乙rr.（填

2.（2020?全國(guó)初三單元測(cè)試）如圖，。。的兩條弦（AB不是直徑），點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EC,

ED.

（1）直線EO與AB垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求證：EC=ED.

3.（2020?安徽初三一模）已知，如圖，。為。。上點(diǎn)，為。。的直徑.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)。點(diǎn)作直線CDLA5,交。。于點(diǎn)0,交A3于點(diǎn)E;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）連接AC,若BE=3,CO=12,求AC的長(zhǎng).

4.（2019?安徽淮北初三月考）如圖，在。。中，A5是弦，OE是直徑，且DE經(jīng)過(guò)A8的中點(diǎn)C,連接4E.

（1）用尺規(guī)作圖作出弦AE的垂直平分線。尸，并標(biāo)出OF與AE的交點(diǎn)尸（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）的條件下，若0。的半徑為5,A8=8,求。尸的長(zhǎng).

5.（2019?杭州市建蘭中學(xué)初三期中）如圖，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，

（1）畫出平面直角坐標(biāo)系.

（2）僅用一把無(wú)刻度的直尺，利用網(wǎng)格，找出該圓弧的圓心，并直接寫出圓心的坐標(biāo).

6.（2019.江西信豐初三零模）圖1、圖2均為圓心角為90。的扇形、請(qǐng)按要求用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖.

（1）在圖1中、點(diǎn)M是的中點(diǎn)、請(qǐng)作出線段AB的垂直平分線;

（2）在圖2中、點(diǎn)例是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)N又是A8的三等分點(diǎn)，請(qǐng)作出線段08的垂直平分線.

7.（2019?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）如圖，是一個(gè)破損的機(jī)器部件，它的殘留邊緣是圓弧，請(qǐng)作圖找出圓心（用尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法，不用證明）.

8.（2018?南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，某地有一座圓弧形拱橋,

（1）如圖1,請(qǐng)用尺規(guī)作出圓弧所在圓的圓心O；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OCLAB于點(diǎn)D,交圓弧于點(diǎn)C,CD=2.4m.橋下水面寬度AB為7.2m,現(xiàn)有一

艘寬3m、船艙頂部為方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此貨船能否順利通過(guò)這座拱

橋.

C

圖2

A'D---B

10

第24章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：垂徑定理的應(yīng)用舉例

考點(diǎn)體系

考點(diǎn)1：垂徑定理的常規(guī)應(yīng)用

典例：(2020.湖北中考真題)如圖，點(diǎn)A8,。,。在OO上，垂足為E.若/位Q=30。，AE=1，

則BC=()

A.2B.4C.73D.2垂）

【答案】D

【解析】解：連接OC,

A

NADC=30°,

??.ZAOC=60°,

OE1

在RtZkCOE中，一=cos60°=-,

OC2

OE=-OC=-OA,

22

AE^-OC=-OA

22

,/AE=\，

?*.OA=OC=2,

CE=G

-：OA±BC,垂足為E,

二BC=26，

故選：D.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查圓周角定理和垂徑定理，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2019?金昌市金川總校第五中學(xué)初三期中）如圖，AB是。O的弦，AB=8,直徑CD1AB于M,且DM=8,

則。O的半徑為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】連接OA,

設(shè)OA=r,則0M=DM-OD=8-r,

：CD為。。的直徑，CD1AB,AB=8,

1

.?.AM=BM=—AB=4,

2

在Rtz\AOM中，

OA2=AM2+OM2,即r=42+（8-r）2,

解得r=5.

故選：C.

2.（2020?海南瓊海初三其他）如圖，點(diǎn)A,B,C,。都在半徑為4的。O上，若OA_LBC,NCD4=30。,

則弦BC的長(zhǎng)為（）

A.4B.472C.4GD.6

【答案】C

【解析】解：如圖，設(shè)OA與BC交于點(diǎn)H,

VOA1BC,

；.CH=BH,AC=AB，

/./AOB=2/CDA=60。，

.?.BH=OB?sin/AOB=26，

，BC=2BH=4百，

故選：C.

3.（2020?山東東明初三其他）如圖，在。O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D,連接BE,若AB=2

夜，CD=1,則BE的長(zhǎng)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

（解析】???半徑OC垂直于弦AB,

/.AD=DB=yAB=V7

在Rt^AOD中，OA2=（OC-CD）2+AD2,即OA2=（OA-l）2+（近）2,

解得，OA=4

.,.OD=OC-CD=3,

VAO=OE,AD=DB,

?.BE=2OD=6

故選B

4.（2019?景泰縣第四中學(xué)初三一模）如圖，在。O中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,連接BC.若

AB=20,ZBCD=30°,則。。的半徑為.

3

【解析】解：連接OB,

VOC=OB,NBCD=30。，

.,.ZBCD=ZCBO=30°,

ZBOE=ZBCD+ZCBO=60°,

:直徑CD，弦AB,AB=2四，

.?.BE=*AB=0,ZOEB=90°,

BE垃202遙

-5

?B=Sin600-7/3~

~T

即。。的半徑為2匹，

3

故答案為：巫.

3

5.（2020?江蘇南通中考真題）已知。。的半徑為13。“弦AB的長(zhǎng)為10所,則圓心。到AB的距離為cm.

【答案】12

【解析】解：如圖，作OC_LAB于C,連接OA,

Q

則AC=BC=^AB=5,

2

在RMOAC中，OC=J132-52=12,

所以圓心0到AB的距離為12cm.

故答案為：12.

6.（2020.江蘇秦淮初三月考）在半徑為2的圓中，弦AB、4c的長(zhǎng)度分別是2、2百，則弦BC的長(zhǎng)度是

【答案】4或2.

【解析】解：①如下圖所示，當(dāng)弦AB、AC位于圓心的兩側(cè)時(shí)，分別將圓心O點(diǎn)與A、B、C相連，作OD

±AB,OE1AC,

:圓的半徑為2,故OA=OB=OC=2,且AB=2,

AOB是等邊三角形，/OAB=60。，

在等腰三角形AOC中，OE為AC邊上的高，OE也是AC邊的中線，

，AE=CE」AC=G，且NAEO=90。，cosZOAE=—=-.

2OA2

NOAE=30°,貝ljNBAC=NOAB+/OAC=600+30°=90°,

.?.弦BC為圓的直徑,BC=4；

②如卜圖所示，當(dāng)弦AB、AC位于圓心的同一側(cè)時(shí)，分別將圓心O點(diǎn)與A、B、C相連,

同①中的分析相同，AAOB是等邊三角形，ZOAB=60°,

且NOAC=30。，OA=OC,故AAOC是等腰三角形，ZAOC=120°,

又?；NAOC+/OAB=180。，平行線間同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

.,.OC//AB,且OC=OB=OA,故四邊形OABC為菱形，

，BC=OA=2,

故答案為：4或2.

7.（2020?四川青羊初三二模）如圖，將半徑為4c機(jī)的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（）

A.46cmB.2百cmC.ecmD.72cm

【答案】A

【解析】如圖所示，連接AO,過(guò)O作ODLAB,交于點(diǎn)D，交弦AB與點(diǎn)E,

???AB折疊后恰好經(jīng)過(guò)圓心，

，OE=DE,

?.?半徑為4,

.?.OE=2,

VOD1AB,

1

，AE=-AB,

2

在RtAAOE中，AE=7042-OE2=2

.\AB=2AE=45/3

故選A.

考點(diǎn)2：平行弦問(wèn)題

典例：（2019?山東金鄉(xiāng)。初三期中）己知ABC。是。。的兩條弦，AB//CD.若。。的直徑為

10,=8,CO=6，則弦AB和CO之間的距離是.

【答案】1或7

【解析】如圖所示，連接OA,OC.作直線EFLAB于E,交CD于F,

?；AB〃CD,

AEFICD.

,/的直徑為10,

...OA=OC=5

???OE=y]0A2-AE2=3,OF=>/（9C2-CF2=4

①當(dāng)AB和CD在圓心的同側(cè)時(shí)，則EF=OF-OE=1；

②當(dāng)AB和CD在圓心的兩側(cè)時(shí)，則EF=OE+OF=7.

則AB與CD間的距離為1或7.

故答案為：1或7.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.也考查了勾股定理.

鞏固練習(xí)

1.（2019?安徽廬江初三期末）已知48、CD是。。的兩條弦，AB//CD,AB=6,8=8,。。的半徑為5,

則AB與CD的距離是（）

A.1B.7C.1或7D,無(wú)法確定

【答案】C

【解析】解：①當(dāng)弦AB和CQ在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

國(guó)①

過(guò)點(diǎn)。作垂足為死交A8丁點(diǎn)E,連接。4,OC,

?：AB〃CD,

：.OE±AB,

?.?A8=8,CD=6,

???AE=4,CF=3,

-：0A=0C=5f

?,?由勾股定理得：E0=&匚不=3,OF=d52_3?=4,

：.EF=OF-0E=\；

②當(dāng)弦AB和CO在圓心異側(cè)時(shí)，如圖②,

圖②

過(guò)點(diǎn)。作OELABf?點(diǎn)區(qū)反向延長(zhǎng)OE交AD于點(diǎn)尸，連接。4,0C,

EF=OF+OE=7,

所以與CD之間的距離是1或7.

故選：C.

2.（2020?浙江中考真題）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD〃AB,CD=8.48=10,則CD與A8之

【答案】3

【解析】解：過(guò)點(diǎn)。作O"_LC￡）于H,

連接OC,如圖，則CH=OH=工CO=4,

2

在RSOCH中，OH=752-42=3，

所以C￡＞與A8之間的距離是3.

故答案為3.

3.（2020.浙江德清初三期中）已知AB是。O的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,弦PQ〃AB交弦CD于點(diǎn)M,

BE=18,CD=PQ=24,則OM的長(zhǎng)為.

【答案】5V2

【解析】：作OFLPQ于F,連接OP,

T7

/.PF=|PQ=12,

VCD1AB,PQ〃AB,

.?.CD_LPQ,

，四邊形MEOF為矩形，

：CD=PQ,OF1PQ,CD±AB,

，OE=OF,

四邊形MEOF為正方形，

設(shè)半徑為x,則OF=OE=18-x,

在直角AOPF中，

x2=122+（18-x）2,

解得x=13,

則MF=OF=OE=5,

.*.OM=5V2.

4.（2017?重慶開州初三期末）如圖，已知。O的半徑長(zhǎng)為R=5,弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5,

AB=6,求弦CD的長(zhǎng).

【答案】476

【解析】解：如圖所示，因?yàn)锳B〃CD,所以過(guò)點(diǎn)。作MNLAB交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,連接0A,

.?.在RtAAOM中，OM=^OA2-AM2=752-32=4,

；.ON=MN-OM=1,

...在RsCON中，CN^yj0C2-0N2=752-12=724=276■

CD=2CN=4瓜，

故答案為：476

考點(diǎn)3：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

典例：（2019?江蘇鎮(zhèn)江初三月考）（操作思考）畫。。和。。的直徑A3、弦CD,使A8_LCD,垂足為P

（如圖1）.猜想所畫的圖中有哪些相等的線段、相等的劣?。浚?。4=。3除外）.

（1）猜想：①；②__________________；③

操作：將圖1中的AOB沿著直徑AB翻折，因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱軸,

所以AOB與ACB重合，又因?yàn)镹APO=NAPC=90，所以射線PD與射線PC重合（如圖2）,于是點(diǎn)

C與點(diǎn)。重合，從而證實(shí)猜想.

（知識(shí)應(yīng)用）圖3是某品牌的香水瓶，從正面看上去（如圖4）,它可以近似看作割去兩個(gè)弓形后余下的部

分與矩形ABC。組合而成的圖形（點(diǎn)8、。在EE上），其中EFGH.

圖3圖4

（2）已知。。的半徑為3cm,AB=3cm,EF=3.6cm,G"=4.8a〃，求香水瓶的高度〃.

【答案】（1）CP=DP,AC=AO，BC=BD；（2）7.2cm

【解析】（1）；。。的直徑A3、弦CD,使ABLCD,垂足為P,

二相等的線段是：CP=DP,相等的劣弧是：AC=AD，BC=BD，

故答案為：CP=DP,AC=AZ），BC=BD

（2）作OM_LEF,延長(zhǎng)MO角GH于N,連接OE、OG,

?:EF//GH,

AONIGH,

VEM=-EF=1.8cm,GN=-GH=2.4cm,。。的半徑為3cm,

22

?*,OM—V32—1.82=24cm,ON-13'-2.4?=1.8cm-

二香水瓶的高度h=AB+OM+ON=3+2.4+l.8=7.2cm.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查軸對(duì)稱圖形和圓的相關(guān)知識(shí)，勾股定理，垂徑定理正確掌握軸對(duì)稱圖形的定義，圓的軸對(duì)稱關(guān)系，

利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020?湖南新邵。）如圖所示，“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，“今

有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深兩寸，鋸道長(zhǎng)八寸，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是:

“8為的直徑，弦A3_LCD,垂足為點(diǎn)E，CE=2寸，AB=8寸，求直徑8的長(zhǎng)？“依題意C￡>

的長(zhǎng)為（）

C.10寸D.12寸

【答案】C

【解析】如圖，連接AO,

設(shè)直徑CD的長(zhǎng)為2x寸，則半徑OA=OC=x寸，

：CD為。O的直徑，弦ABJ_CD,垂足為E,AB=8寸,

.\AE=BE=-AB=4寸，

2

在RSAOE中，根據(jù)勾股定理可知:

AO2=AE2+EO2F

.-.X2=42+（X-2）2,

解得：x=5,

2x=10,

即CD長(zhǎng)為10寸.

故選：C

2.（2020.安徽相山初三月考）如圖，圓弧形拱橋的跨徑43=12米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為（）

米

IlliI

ADR

A.6.5B.9C.13D.15

【答案】A

【解析】根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設(shè)圓心是O.連接OA.

I,1,1,I匚

AB

a

根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解.得AD=6設(shè)圓的半徑是r,根據(jù)勾股定理，得F=36+（r-4））,解得r=6.5

3.（2020.廣西南寧初三二模）下圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門

的相關(guān)數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8。=1.5米，且AB、CD

與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫小紅計(jì)算出這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是（）

GM訪川"疝

A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米

【答案】B

【解析】解：連接OF,交AC于點(diǎn)E,

：BD是。O的切線，.，.OF，BD,

,四邊形ABDC是矩形，；.AD〃BD,AOEXAC,EF=AB,

設(shè)圓O的半徑為R,在RSAOE中，AE=,AC=LBD=0.75米，OE=R-AB=R-0.25,

22

VAE2+OE2=OA2,0.752+（R-0.25）2=R2,

解得R=L25.1.25x2=2.5（米）.

故這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是2.5米.

故選B.

4.（2020.四川安居初二期末）一輛裝滿貨物，寬為2.4米的卡車，欲通過(guò)如圖的隧道，則卡車的外形高必

A.4.1米B.4.0米C.3.9米D.3.8米

【答案】A

【解析】?.?車寬2.4米，

欲通過(guò)如圖的隧道，只要比較距廠門中線L2米處的高度與車高，

在放△08中，由勾股定理可得：

CD=y/0C2-0D2=V22-1.22=1.6（"

C"=C￡>+O"=1.6+2.5=4.1米，

.?.卡車的外形高必須低于4.1米.

故選：4.

5.（2020?遼寧大連初三學(xué)業(yè)考試）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材，

埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn):徑幾何?”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是:如圖，是

的直徑，弦CD，"，垂足為E，AE=1寸，CD=10寸.則直徑AB的長(zhǎng)為寸.

【解析】解：連接OC,如下圖所示

設(shè)圓的半徑是x寸，在直角AOCE中，OC=x,OE=OA-AE=x-l,

VOC2=OE2+CE2,

則x2=（x-l）2+25,

解得：x=13.

則AB=2x13=26（寸）

故答案為：26.

6.（2020?廣西防城港初三期末）如圖，豎直放置的一個(gè)鋁合金窗框由矩形和弧形兩部分組成，AB=6m，

A￡>=2,〃，弧C￡）所對(duì)的圓心角為NCOO=120。.現(xiàn)將窗框繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)橫放在水平的地面上，這一過(guò)

程中，窗框上的點(diǎn)到地面的最大高度為

【答案】（1+6）

【解析】連接OB,過(guò)。作OH_LBC于H,過(guò)O作ON_LCD于N,

VZCOD=120°,CO=DO,

二ZOCD=ZODC=30°,

VON±CO,

11出

；.CN=DN=-CD=-AB=^m,

222

。1

.?.ON=2CN=-m,OC=lm,

32

VON±BC,

二四邊形OHCN是矩形，

.,.CH=ON=-m,OH=CN=2m,

22

.?.BH=BC-CH=-m,

2

?■?OB=y]BH2+OH2=73m,

.?.在這一過(guò)程中，窗框上的點(diǎn)到地面的最大高度為（石+1）m,

故答案為：（6+1）.

7.（2020?東城北京一七一中初三月考）如圖①，小敏利用課余時(shí)間制作了一個(gè)臉盆架，圖②是它的截面圖，

垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm,則該臉盆的半

徑為________cm.

9

⑤

國(guó)①由2

【答案】25

【解析】解：如圖，設(shè)圓的圓心為0,連接0A,OC,OC與AB交于點(diǎn)D,

設(shè)。O半徑為R,

1.

VOC1AB,：AD=DB=-AB=20,在RTz\AOD中,VZADO=90°,.,.OA2=OD2+AD2,

2

.*.R2=202+(R-10)2,

.\R=25.

8.（2019?四川嘉陵初三其他）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi),球的一部分露出盒外，其主視圖如圖.。。與矩形

ABCD的邊BC,AD分別相切和相交（E,F是交點(diǎn)）,已知EF=CD=8,則。O的半徑為

【解析】如答圖，由題意，。。與BC相切，記切點(diǎn)為M,作直線OM,分別交AD、劣弧石產(chǎn)于點(diǎn)H、N,

再連接OF,

在矩形ABCD中，AD〃BC,而MN_LBC,.?.MN_LAD..,.在(DO中，F(xiàn)H=-EF=4.

2

設(shè)球半徑為r,則0H=8-r,

在Rtz\OFH中，由勾股定理得，P-（8-r）2=42,解得r=5.

9.（2020?浙江麗水初三一模）如圖，量角器的0度刻度線為A3,將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直

尺一邊與量角器相切于點(diǎn)C,直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A，D，量得AO=10。〃，點(diǎn)。在量角器上的讀

數(shù)為60°，則該直尺的寬度為cm.

【答案】-V3

3

【解析】連接OCODOC與AD交于點(diǎn)E,

OE=A￡tan300=?"

3

直尺的寬度：CE=0C-0E=26—hg=，E

333

故答案為g百

10.（2019?河北保定。初三一模）如圖，一個(gè)寬為2厘米的刻度尺（刻度單位：厘米），放在圓形玻璃杯的

杯口上，刻度尺的一邊與杯口外沿相切，另一邊與杯口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9,那么玻璃杯的

杯口外沿半徑為

________厘米.

【解析】

?.?林口外沿兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好是3和9,

二AC=9-3=6.

取圓心O,過(guò)點(diǎn)。作OB_LAC于點(diǎn)B,連接AO,

則AB=-AC=-x6=3厘米，

22

設(shè)杯口的半徑為r,則OB=r-2,OA=r,

22222

在RSAOB中,OA=OB+AB,即F=（r-2）+3,

13

解得尸一（厘米）.

4

13

故答案為：—.

4

11.（2019?四川廣安中學(xué)初三月考）如圖是一塊圓環(huán)形玉片的殘片，作外圓的弦A5與內(nèi)圓相切于點(diǎn)C,量

得A8=8c〃7、點(diǎn)。與AB的中點(diǎn)。的距離CO=2cm.則此圓環(huán)形玉片的外圓半徑為cm.

【解析】解：設(shè)點(diǎn)。是同心圓的圓心，連接OA、OC、OD,

TAB與內(nèi)圓相切于點(diǎn)C,

AOC1AB,

丁點(diǎn)D是aB的中點(diǎn)，

AOD1AB,

，點(diǎn)0、C、D在同一條直線上,

1

/.AC=—AB=4cm,

2

在R3A0C中，AC=4,OC=OA-2,

???VOA2-OC2=JOA2_（0A_2）2=AC=4

OA=5cm.

故答案為5.

考點(diǎn)4：垂徑定理在作圖中的應(yīng)用

典例：（2020?江西樂(lè)平初三一模）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)條件完成下列畫圖.

（1）如圖1,AABC內(nèi)接于。。，AB=AC,畫出線段BC的垂直平分線.

（2）如圖2,5c內(nèi)接于O。，AB^AC,D、E分別為AB和AC的中點(diǎn)，畫出線段的垂直平

【答案】（1）見解析；（2）見解析；

【解析】（1）如圖1,直線AO即為所求作的直線.

（2）如圖2,直線。尸即為所求作的直線.

圖2

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查作圖能力，作線段的垂直平分線，還考查了圓的垂徑定理的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì).

鞏固練習(xí)

1.（2019?北京清華附中初三一模）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為乙，下方的弧半徑為％,

則乙（填“＞“，

【答案】＜.

【解析】如圖，分別在兩段弧上各選三個(gè)點(diǎn)，作出過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓，顯然.乙〈￥，故答案為＜.

2.（202。全國(guó)初三單元測(cè)試）如圖，。。的兩條弦A8〃CO（AB不是直徑），點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連接EC,

ED.

（1）直線EO與AB垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求證：EC=ED.

【答案】（D直線EO與AB垂直.理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】解：（1）直線EO與AB垂直.理由如下：

如圖，連接EO,并延長(zhǎng)交CD于F.

,/EO過(guò)點(diǎn)O,E為AB的中點(diǎn)，

：.EO±AB.

R

（2）-,-EOA.AB，AB/1CD.

EFCD.

VEF過(guò)點(diǎn)O,

:.CF=DF,

」.EF垂直平分CD,

EC-ED-

3.（2020?安徽初三一模）己知，如圖，。為。。上點(diǎn)，A3為。。的直徑.

（I）尺規(guī)作圖：過(guò)C點(diǎn)作直線CDLAB，交。。于點(diǎn)O,交AB于點(diǎn)E;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）連接AC，若BE=3,CO=12,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析：（2）AC=675.

【解析】（1）直線CD如圖所示：

（2）連接OC,

A

設(shè)0。的半徑為，則O5=r,OE=r—3,

,：CDLAB.

：.CE=ED=-DC=6,

2

■:OC2=OE2+EC2，

r2=(/*-3)~+62,

解得：r=—,

2

在Rl-ACE中，AE=AB-BE=2x--3=12,