2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第62煉 點線面位置關(guān)系含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第62煉點線面位置關(guān)系含答案第62煉點線面位置關(guān)系的判定一、基礎(chǔ)知識（一）直線與直線位置關(guān)系：1、線線平行的判定（1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行（2）線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行（3）面面平行性質(zhì)：2、線線垂直的判定（1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關(guān)系：（2）線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直（二）直線與平面的位置關(guān)系1、線面平行判定定理：（1）若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行，則（2）若兩個平面平行，則一個平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定：（1）若直線與平面上的兩條相交直線垂直，則（2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直（3）如果兩個平面垂直，則一個平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直（三）平面與平面的位置關(guān)系1、平面與平面平行的判定：（1）如果一個平面上的兩條相交直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行（2）平行于同一個平面的兩個平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個平面垂直（四）利用空間向量判斷線面位置關(guān)系1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量平面：法向量2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：設(shè)直線對應(yīng)的法向量為，平面對應(yīng)的法向量為（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論（1）若，則平行+平行→平行（2）若，則平行+垂直→垂直（3）若，則的位置關(guān)系不定。4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假（1）條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系（2）確定由條件能否得到結(jié)論（3）將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假二、典型例題：例1：已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3思路：①為面面平行的判定，要求一個平面上兩條相交直線，而①中不一定相交。所以無法判定面面平行；②為面面垂直的性質(zhì)，要求一個平面上垂直交線的直線，才與另一平面垂直。而②中不一定與交線垂直。所以不成立；③可用向量判定，設(shè)對應(yīng)法向量為，直線方向向量為，則條件轉(zhuǎn)換為：，可推得，即，③正確；④為線面平行判定，要求在外，所以④錯誤；綜上只有1個命題正確答案：B例2：已知是不同的直線，是不同的平面，以下命題正確的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個命題①兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個平面平行，例如在正方體中在平面和平面中，雖然，但兩個平面不平行，所以①錯誤②例如：平面∥平面，，但與不垂直，所以②錯誤③考慮利用向量幫助解決：，所以可以推斷，所以可得④考慮利用向量解決：，由垂直關(guān)系不能推出，所以④錯誤答案：D例3：對于直線和平面，的一個充分條件為（）A.B.C.D.思路：求的充分條件，即從A,B,C,D中選出能判定的條件，A選項：例如正方體中的平面和平面可知雖然平面，平面，但這兩個平面不平行。B選項：也可利用A選項的例子說明無法推出，C選項可用向量模型進行分析：，所以可得：，即；D選項可利用A選項的例子：，可知平面，平面，但這兩個平面不平行，綜上所述，只有C為的一個充分條件答案：C例4：給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分別判斷四個命題：①必須是一個平面內(nèi)兩條“相交”直線與另一個平面平行，才可判定兩平面平行，所以①錯誤；②該命題為面面垂直的判定，正確；③空間中垂直同一條直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點的三條棱；④可用反證法確定，假設(shè)該直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛盾。假設(shè)不成立。綜上所述，正確的命題是②和④答案：D例5：已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法中正確的是（）A．若，，則B．若∥，∥則∥C．若，，則∥D．若∥，，則思路：A選項若直線與平面垂直，則直線與這個平面上的所有直線均垂直，所以A正確B選項可用向量判斷，∥，∥，由，無法判斷出的關(guān)系，所以不能推出∥；C選項并沒有說明直線是否在平面上，所以結(jié)論不正確；D選項也可用向量判斷，∥，，同理由無法判斷的情況，所以無法推斷出，綜上所述：A正確答案：A例6：給出下列命題，其中正確的兩個命題是（）①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行。②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線平面，直線，則；④是異面直線，則存在唯一的平面，使它與都平行且與距離相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距離相等的點可能位于平面的同側(cè)或是異側(cè)，如果是同側(cè)，則兩點所在直線與平面平行，如果異側(cè)，則直線與平面相交，且交點為這兩點的中點。②正確，證明如下：如圖，平面，且分別為的中點，過作交于，連接，設(shè)是的中點平面③命題中沒有說明直線是否在上，所以不正確；④正確，設(shè)為異面直線的公垂線段，為中點，過作的平行線，從而由確定的平面與平行且與的距離相等。所以該平面即為所求。答案：D例7：下列命題正確的個數(shù)是（）①若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則∥②若直線∥，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行④若直線∥，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點A.0B.1C.2D.3思路：①“無數(shù)個點”只是強調(diào)數(shù)量多，并不等同于“任意點”，即使直線與平面相交，直線上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi)。所以①不正確；②若∥，說明與沒有公共點，所以與上任意一條直線都沒有公共點，但即使無公共點，的位置關(guān)系不只是有平行，還有可能異面，所以②不正確；③線面平行的前提是直線在平面外，而命題③中沒有說明“另一條”直線是否在平面上，所以③不正確；命題④可由②得知，與上任意一條直線都沒有公共點，命題④正確，綜上所述，正確的有1個答案：B例8：直線為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A.過不在上的任何一點，可作一個平面與都平行B.過不在上的任何一點，可作一個直線與都相交C.過不在上的任何一點，可作一個直線與都平行D.過有且只有一個平面與平行思路：A選項中，如果點與確定的平面與平行，則此平面只和平行，在此平面上，所以這樣的是無法作出符合條件的平面；B選項由A所構(gòu)造出的平面可得，若過的直線與相交，則也在該平面上，所以與無公共點；若過的直線與相交，則無法與相交，綜上所述對于這樣的點無法作出符合條件的直線；C選項如果過的直線與均平行，則由平行公理可知，與已知條件矛盾，所以C錯誤；D選項，如果異面，則過只能做出一個平面與平行。在上取兩點分別作的平行線，則所唯一確定的平面和平行，且在此平面上。所以D正確答案：D例9：設(shè)是兩條異面直線，是空間任意一點，則下列命題正確的是（）A.過點必存在平面與兩異面直線都垂直B.過點必存在平面與兩異面直線都平行C.過點必存在直線與兩異面直線都垂直D.過點必存在直線與兩異面直線都平行思路：A選項，若平面與均垂直，則推得，與異面矛盾；B選項如果點位于某條直線上，則平面無法與該直線平行；C選項中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講平移至共面，過的直線只需與這個平面線面垂直，即和都垂直，所以C正確；D選項如果直線與均平行，則由平行公理可得，與異面矛盾。所以C正確答案：C例10：設(shè)是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）A.若∥，∥，在外，則∥B.若，則C.若∥，則∥D.若，且，則∥思路：A選項可通過向量來判斷：，由此可得：，因為在外，所以可判定∥，A正確；B選項設(shè)，則上所有點的投影落在中，上所有點的投影落在中，因為，所以上所有點的投影均在的交點上，即，所以B正確；C選項符合面面平行的性質(zhì)，即兩個平面平行，第三個平面與這兩個平面相交，則交線平行，所以C正確；D選項中若A,C位于同側(cè)，則命題成立；但如果位于兩側(cè)，則滿足條件的與相交。故不正確答案：D三、歷年好題精選1、（2016，山東膠州高三期末）設(shè)為不同的平面，為不同的直線，則的一個充分條件為（）A.B.C.D.2、給出下面四個命題：①“直線∥直線”的充要條件是“平行于所在的平面”；②“直線⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“⊥平面”；③“直線，為異面直線”的充分不必要條件是“直線，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點到的距離相等”．其中正確命題的序號是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大連二十中期中考試）已知三個互不重合的平面，且，給出下列命題（）①若，則②若，則③若，則④若，則其中正確命題的個數(shù)為（）A.1個B.2個C.3個D.4個4、（江西中南五校聯(lián)考）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，寧波高三期末）已知平面與平面交于直線,且直線,直線,則下列命題錯誤的是（）A．若，且與不垂直，則B．若，，則C．若，，且與不平行，則D．若，，則6、（2016，上海閘北12月月考）已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出下列四個命題：①若垂直于同一平面，則與平行②若平行于同一平面，則與平行③若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線④若不平行，則與不可能垂直于同一平面其中真命題的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．17、設(shè)為兩條直線，為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是（）A.若，則B.∥∥，∥，則∥C.若∥，∥，則∥D.若∥，則8、（2015，廣東文）若直線是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.至少與中的一條相交B.與都相交C.至多與中的一條相交D.與都不相交9、（2014，遼寧）已知表示兩條不同的直線，表示平面，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若，，則習(xí)題答案：1、答案：D解析：A選項若不在上，則無法判定；B選項：若，則，所以無法判定；C選項，如果來兩兩垂直，則無法判定；D選項，如果，則，再由可判定2、答案：D解析：①若平行于所在的平面，則的關(guān)系為平行或異面，所以不是充要條件；②由線面垂直定義可知：直線⊥平面當(dāng)且僅當(dāng)直線⊥平面α內(nèi)所有直線，所以②正確；③中若直線不相交，則可能平行。所以不能得到“直線，為異面直線”，③錯誤；④若平面∥平面，則內(nèi)所有點到的距離相等，當(dāng)內(nèi)存在不共線三點到的距離相等，則兩平面可能相交，這三點位于的兩側(cè)。所以“內(nèi)存在不共線三點到的距離相等”是“平面∥平面”的必要不充分條件3、答案：C解析：當(dāng)三個平面兩兩相交，交線平行或交于一點，所以若，則三條交線交于一點，即，若，則三條交線平行，，所以②④正確；當(dāng)三條交線交于一點時，，則夾角不確定，所以①錯誤；若，因為均在上，所以可知，綜上所述，②③④正確4、答案：C解析：A選項：垂直同一平面的兩個平面可以平行，也可以相交，所以A錯誤B選項：在正方體中，右側(cè)面的棱與底面上的棱平行，但是這兩個面不平行，所以B錯誤C選項：將條件轉(zhuǎn)化為向量：，可推出，即，C正確D選項：若直線上，也滿足題目條件，但不平行5、答案：D解析：A選項：可知在上的投影為，若與不垂直，且與不垂直，則由三垂線定理可推得不垂直，與已知矛盾，所以A正確B選項：由，可得，所以C選項：由不平行可知，因為，由面面垂直判定定理可得D選項：兩個平面上的直線與交線垂直并不能判定兩個平面垂直，故D錯誤6、答案：D解析：①正方形的三個側(cè)面兩兩垂直，所以垂直于同一平面的兩平面不一定平行，①錯誤②正方形上底面的直線均與下底面平行，但這些直線不一定平行，②錯誤③正方形的下底面與側(cè)面不平行，但是底面平行于交線的直線與側(cè)面平行，③錯誤④考慮其逆否命題為“若與垂直同一平面，則平行”為真命題，所以原命題為真命題，④正確綜上所述，正確的只有④7、答案：A解析：利用空間向量判斷，對應(yīng)的方向向量記為，對應(yīng)的法向量記為A：條件轉(zhuǎn)化為，所以A正確B:條件轉(zhuǎn)化為，無法得到∥C:∥，∥只能得到，無法推出∥D:條件轉(zhuǎn)化為：，無法推出所以只有A正確8、答案：A解析：至少與中的一條相交，考慮反證法，若與都不相交，因為與分別共面，所以，則平行，與已知矛盾。所以原命題成立9、答案：B解析：A選項，平行于同一個平面的兩條直線可以有各種位置關(guān)系，A錯誤B選項，符合線面垂直的定義，即若直線與平面垂直，則與該平面上任意一條直線均垂直，所以B正確C選項，直線可以在平面上，所以不正確D選項，正方形上底面的相互垂直的兩條棱均與底面平行，所以不正確綜上所述：B正確第63煉立體幾何解答題的建系設(shè)點問題在如今的立體幾何解答題中，有些題目可以使用空間向量解決問題，與其說是向量運算，不如說是點的坐標運算，所以第一個階段：建系設(shè)點就顯得更為重要，建立合適的直角坐標系的原則有哪些？如何正確快速寫出點的坐標？這是本文要介紹的內(nèi)容。一、基礎(chǔ)知識：（一）建立直角坐標系的原則：如何選取坐標軸1、軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標平面垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標原點即為軸與底面的交點2、軸的選?。捍藶樽鴺耸欠褚子趯懗龅年P(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點能否存在軸對稱特點3、常用的空間直角坐標系滿足軸成右手系，所以在標軸時要注意。4、同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標也會對應(yīng)不同。但是通過坐標所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5、解答題中，在建立空間直角坐標系之前，要先證明所用坐標軸為兩兩垂直（即一個線面垂直底面兩條線垂直），這個過程不能省略。6、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：（1）線面垂直：①如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直③兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直（2）線線垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對角線相互垂直④勾股定理逆定理：若，則（二）坐標的書寫：建系之后要能夠快速準確的寫出點的坐標，按照特點可以分為3類1、能夠直接寫出坐標的點（1）坐標軸上的點，例如在正方體（長度為1）中的點，坐標特點如下：軸：軸：軸：規(guī)律：在哪個軸上，那個位置就有坐標，其余均為0（2）底面上的點：坐標均為，即豎坐標，由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正確寫出坐標，強烈建議在旁邊作出底面的平面圖進行參考：以上圖為例：則可快速寫出點的坐標，位置關(guān)系清晰明了2、空間中在底面投影為特殊位置的點：如果在底面的投影為，那么（即點與投影點的橫縱坐標相同）由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點時，可看下在底面的投影點，坐標是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標，而豎坐標為該點到底面的距離。例如：正方體中的點，其投影為，而所以，而其到底面的距離為，故坐標為以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點，但總還有一些特殊點，那么就要用到第三個方法：3、需要計算的點①中點坐標公式：，則中點，圖中的等中點坐標均可計算②利用向量關(guān)系進行計算（先設(shè)再求）：向量坐標化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標的關(guān)系，進而可以求出一些位置不好的點的坐標，方法通常是先設(shè)出所求點的坐標，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求點的坐標，如果使用向量計算，則設(shè)，可直接寫出，觀察向量，而，二、典型例題：例1：在三棱錐中，平面，，分別是棱的中點，，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系并確定各點坐標解：平面兩兩垂直以為軸建立直角坐標系坐標軸上的點：中點：中點中點中點綜上所述：小煉有話說：本講中為了體現(xiàn)某些點坐標的來歷，在例題的過程中進行詳細書寫。這些過程在解答題中可以省略。例2：在長方體中，分別是棱上的點，，，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鳇c的坐標思路：建系方式顯而易見，長方體兩兩垂直，本題所給的是線段的比例，如果設(shè)等，則點的坐標都含有，不便于計算。對待此類問題可以通過設(shè)單位長度，從而使得坐標都為具體的數(shù)。解：因為長方體兩兩垂直以為軸如圖建系，設(shè)為單位長度例3：如圖，在等腰梯形中，，，平面，且，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼挡⒋_定各點坐標。思路：本題直接有一個線面垂直，所以只需在平面找過的相互垂直的直線即可。由題意，不是直角。所以可以以其中一條邊為軸，在底面上作垂線即可構(gòu)造出兩兩垂直的條件，進而可以建立坐標系方案一：（選擇為軸），連結(jié)可知在中由可解得平面以為坐標軸如圖建系：方案二（以為軸）過作的垂線平面以為坐標軸如圖建系：（同方案一）計算可得：小煉有話說：建立坐標系的最重要的條件就是線面垂直（即軸），對于軸的選取，如果沒有已知線段，可以以垂足所在的某一條直線為坐標軸，然后作這條軸的垂線來確定另一條軸，本題中的兩個方案就是選過垂足的直線為軸建立的坐標系。例4：已知四邊形滿足，是中點，將翻折成，使得平面平面，為中點思路：在處理翻折問題時，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變，這些都是作為已知條件使用的。本題在翻折時，是等邊三角形，四邊形為的菱形是不變的，尋找線面垂直時，根據(jù)平面平面，結(jié)合是等邊三角形，可取中點，則可證平面，再在四邊形找一組過的垂線即可建系解：取中點，連結(jié)是等邊三角形平面平面平面，連結(jié)四邊形為的菱形為等邊三角形兩兩垂直如圖建系，設(shè)為單位長度為中點例5：如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，且平面，點為的三等分點（靠近），建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼挡⑶蟾鼽c坐標思路：由平面，可得作為軸，在底面上可利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)，選取作為軸。在所有點中只有的坐標相對麻煩，對于三等分點可得，從而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系即可求出坐標解：平面菱形兩兩垂直以為坐標軸如圖建系可得：設(shè)由可得：小煉有話說：（1）底面是菱形時要注意對角線相互垂直的性質(zhì)（2）對于一條線段上的某點分線段成比例，可以利用向量關(guān)系將該點坐標計算出來例6：如圖所示的多面體中，已知正方形與直角梯形所在的平面互相垂直，，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系并確定各點坐標思路：題目已知面面垂直，從而可以找到與底面垂直，再由底面是正方形，可選為軸，圖中點坐標相對麻煩，可以用投影法和向量法計算得到解：平面平面又因為直角梯形平面正方形兩兩垂直以為軸建立直角坐標系坐標軸上的點：底面上的點：點兩種確定方式：①可看其投影，落在中點處，且高度為1，所以②設(shè)綜上所述：例7：如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立適當(dāng)?shù)?/p>