2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第15煉 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 筆袋星辰分享含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第15煉求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間筆袋星辰分享含答案第15煉函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，對函數(shù)作圖起到?jīng)Q定性的作用，而導(dǎo)數(shù)是分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個便利工具。求一個已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是每一個學(xué)生的必備本領(lǐng)，在求解的過程中也要學(xué)會一些方法和技巧。一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)的定義域為，區(qū)間，若對于，有，則稱在上單調(diào)遞增，稱為單調(diào)遞增區(qū)間。若對于，有，則稱在上單調(diào)遞減，稱為單調(diào)遞減區(qū)間。2、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系（1）函數(shù)在可導(dǎo)，那么在上單調(diào)遞增此結(jié)論可以這樣理解：對于遞增的函數(shù)，其圖像有三種類型：，無論是哪種圖形，其上面任意一點的切線斜率均大于零。等號成立的情況：一是單調(diào)區(qū)間分界點導(dǎo)數(shù)有可能為零，例如：的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)但導(dǎo)數(shù)值等于零的點，典型的一個例子為在處的導(dǎo)數(shù)為0，但是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)。（2）函數(shù)在可導(dǎo)，則在上單調(diào)遞減（3）前面我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性可以決定其導(dǎo)數(shù)的符號，那么由的符號能否推出在的單調(diào)性呢？如果不是常值函數(shù)，那么便可由導(dǎo)數(shù)的符號對應(yīng)推出函數(shù)的單調(diào)性。（這也是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理論基礎(chǔ)）3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域（2）求出的導(dǎo)函數(shù)（3）令（或），求出的解集，即為的單調(diào)增（或減）區(qū)間（4）列出表格4、求單調(diào)區(qū)間的一些技巧（1）強(qiáng)調(diào)先求定義域，一方面定義域?qū)握{(diào)區(qū)間有限制作用（單調(diào)區(qū)間為定義域的子集）。另一方面通過定義域?qū)θ≈档南拗?，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調(diào)區(qū)間的求解（2）在求單調(diào)區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負(fù)的因式，以簡化不等式（3）一般可令，這樣解出的解集就是單調(diào)增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數(shù)部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補(bǔ)集即可(簡化求解的步驟）（4）若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數(shù)，若的解集為，那么說明沒有一個點切線斜率大于零，那么是定義域上的減函數(shù)（5）導(dǎo)數(shù)只是求單調(diào)區(qū)間的一個有力工具，并不是唯一方法，以前學(xué)過的一些單調(diào)性判斷方法也依然好用，例如：增+增→增，減+減→減，增→減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減等。如果能夠通過結(jié)論直接判斷，那么就無需用導(dǎo)數(shù)來判定。5、求單調(diào)區(qū)間的一些注意事項（1）單調(diào)區(qū)間可以用開區(qū)間來進(jìn)行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內(nèi)。例如函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，若寫成就出錯了（0不在定義域內(nèi)）（2）如果增（或減）區(qū)間有多個，那么在書寫時用逗號隔開，一定不要用并集的符號。有些同學(xué)覺得不等式的解集是多個部分時用“”連接，那么區(qū)間也一樣，這個觀點是錯誤的。并集是指將兩個集合的元素合并到一起成為一個集合，用在單調(diào)區(qū)間上會出現(xiàn)問題。依然以為例，如果寫成，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個變量，滿足單調(diào)減的條件。由性質(zhì)可知，如果在兩個區(qū)間里各取一個，是不滿足單調(diào)減的性質(zhì)的。6、二階導(dǎo)函數(shù)的作用：①幾何意義：導(dǎo)數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性，對于而言，決定的是的單調(diào)性。當(dāng)時，單調(diào)遞增，意味著隨的增大而增大，由于導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線斜率，故切線斜率隨的增大而增大；同理，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則切線斜率隨的增大而減少。那么在圖像上起到什么作用呢？單調(diào)增有三種：其不同之處在于切線斜率隨自變量變大的變化不同，所以如果說是決定函數(shù)單調(diào)性的，那么在已知單調(diào)性的前提下，能夠告訴我們是怎樣增，怎樣減的，進(jìn)而對作圖的精細(xì)化提供幫助。（1）當(dāng)，其圖像特點為：我們稱這樣的函數(shù)為下凸函數(shù)（2）當(dāng)，其圖像特點為：我們稱這樣的函數(shù)為上凸函數(shù)②代數(shù)意義：當(dāng)通過無法直接判斷符號時，可通過二階導(dǎo)函數(shù)先確定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再看能否利用條件判斷符號。二、典型例題：例1：下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.思路：本題只需分析各個函數(shù)在上的單調(diào)性即可。A選項通過其圖像可知顯然在不單調(diào)；B選項，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；C選項可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；D選項，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。綜上，B符合條件答案：B例2：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.思路：先分析的定義域：，再觀察解析式可得可視為函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的特點，可分別分析兩個函數(shù)的單調(diào)性，對于而言，對是減函數(shù)。所以如要求得增區(qū)間，則中對也應(yīng)為減函數(shù)。結(jié)合定義域可得的單調(diào)增區(qū)間為答案：D例3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2009寧夏，21題（1））思路：第一步：先確定定義域，定義域為，第二步：求導(dǎo)：,第三步：令,即第四步：處理恒正恒負(fù)的因式，可得第五步：求解,列出表格例4：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：定義域令導(dǎo)數(shù)解得：（通過定義域大大化簡解不等式的過程）例5：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：令，即解不等式，解得的單調(diào)區(qū)間為↘↗↘例6：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思路：函數(shù)還有絕對值，從而考慮先通過分類討論去掉絕對值，在求導(dǎo)進(jìn)行單調(diào)性分析解：，當(dāng)時，為減函數(shù)當(dāng)時，在單調(diào)遞增綜上所述：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增小煉有話說：（1）對于含絕對值的函數(shù)，可通過對絕對值內(nèi)表達(dá)式的符號進(jìn)行分類討論可去掉絕對值，從而將函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€分段函數(shù)。（2）本題在時，利用之前所學(xué)知識可直接判斷出單調(diào)遞減，從而簡化步驟。導(dǎo)數(shù)只是分析函數(shù)單調(diào)性的一個工具，若能運用以前所學(xué)知識判斷單調(diào)性，則直接判斷更為簡便例7：（1）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值集合是__________（2）若函數(shù)的遞增區(qū)間是，則的取值集合是___________解：（1）思路：，由在單調(diào)遞增可得：，。（2）思路：的遞增區(qū)間為，即僅在單調(diào)遞增。令，若，則單調(diào)遞增區(qū)間為不符題意，若，則時，。所以答案：（1），（2）小煉有話說：注意兩問的不同之處，在（1）中，只是說明在區(qū)間單調(diào)遞增，那么也可以在其他區(qū)間單調(diào)遞增，即是增區(qū)間的子集。而（2）明確提出單調(diào)增區(qū)間為，意味著不再含有其他增區(qū)間，為單調(diào)區(qū)間的分界點，從而滿足條件的只有一個值。要能夠區(qū)分這兩問在敘述上的不同。例8：，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______思路：，有已知條件可得：，使得，即，只需，而，所以答案：小煉有話說：（1）已知在某區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，其思路為通過導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成為不等式恒成立或不等式能成立問題，進(jìn)而求解，要注意已知函數(shù)單調(diào)遞增（減）時，其導(dǎo)函數(shù)（），勿忘等號。（2）在轉(zhuǎn)化過程中要注意單調(diào)區(qū)間與不等式成立問題中也有一些區(qū)別，例如：若把例6的條件改為“在上存在單調(diào)遞增區(qū)間”，則在求解的過程中，靠不等式能成立問題的解法解出的的范圍時，但當(dāng)時，滿足不等式的的解僅有，不能成為單調(diào)區(qū)間，故舍去，答案依然為例9：設(shè)函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍思路：條件中只是提到為單調(diào)函數(shù)，所以要分單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況考慮。無非就是恒成立或恒成立，進(jìn)而求出的范圍即可解：若在單調(diào)遞增，則恒成立即，設(shè)則若在單調(diào)遞減，則恒成立即，設(shè)則，且當(dāng)或時，綜上所述：或例10：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則取值范圍是()A．B．C．D．思路：先看函數(shù)的定義域，則在恒成立，可看成是由的復(fù)合函數(shù)，故對進(jìn)行分類討論。當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以需單調(diào)遞增，，與矛盾；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以需單調(diào)遞減，答案：B小煉有話說：（1）在本題中要注意參數(shù)對定義域的影響。單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，所以在求參數(shù)范圍時要滿足定義域包含所給區(qū)間。這可能會對參數(shù)的取值有所限制。也是本題的易錯點（2）對于指數(shù)結(jié)構(gòu)與對數(shù)結(jié)構(gòu)的函數(shù)（如本題中的），可分別分析底數(shù)與1的大小（對數(shù)的增減性）與真數(shù)的單調(diào)性，然后判斷整個函數(shù)的單調(diào)性。理論依據(jù)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點（同增異減），故本題對底數(shù)以1為分界點分類討論，并依此分析真數(shù)的情況。第16煉含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在高考導(dǎo)數(shù)的綜合題中，所給函數(shù)往往是一個含參數(shù)的函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，在分析函數(shù)單調(diào)性時面臨的分類討論。本節(jié)通過一些例題總結(jié)參數(shù)討論的方法與技巧，便于更加快速準(zhǔn)確的分析含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一、基礎(chǔ)知識：1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即確定定義域→求出導(dǎo)函數(shù)→令解不等式→得到遞增區(qū)間后取定義域的補(bǔ)集（減區(qū)間）→單調(diào)性列出表格2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)——解含參不等式，而定義域?qū)Φ南拗朴袝r會簡化含參不等式的求解3、求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項處理掉，以簡化討論的不等式4、關(guān)于分類討論的時機(jī)與分界點的確定（1）分類時機(jī)：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式：，其解集為，中間并沒有進(jìn)行分類討論。思考：為什么？因為無論參數(shù)為何值，均是將移到不等號右側(cè)出結(jié)果。所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項得：（同樣無論為何值，均是這樣變形），但是第二步不等式兩邊開方時發(fā)現(xiàn)的不同取值會導(dǎo)致不同結(jié)果，顯然是負(fù)數(shù)時，不等式恒成立，而是正數(shù)時，需要開方進(jìn)一步求解集，分類討論由此開始。體會：什么時候開始分類討論？簡而言之，當(dāng)參數(shù)的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機(jī)。所以一道題是否進(jìn)行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導(dǎo)致不同步驟和結(jié)果，就自然的進(jìn)行分類討論。（2）分界點的確定：分類討論一定是按參數(shù)的符號分類么？不一定。要想找好分界點，首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按的符號進(jìn)行分類討論。（3）當(dāng)參數(shù)取值為一個特定值時，可將其代入條件進(jìn)行求解（4）當(dāng)參數(shù)扮演多個角色時，則以其中一個為目標(biāo)進(jìn)行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)行進(jìn)一步的分類。例如：解不等式：，可得：此時扮演兩個角色，一個是的系數(shù)，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個角色是決定的大小，進(jìn)而要和來角逐大小根。那么在處理時可先以其中一個為主要目標(biāo)，例如以系數(shù)的正負(fù)，進(jìn)行分類。①當(dāng)時，此時不等式的解集為小大根之間，而由于，以此為前提，故小大根不存在問題，解集為②當(dāng)時，不等式變?yōu)棰郛?dāng)時，不等式解集為小大根之外，而，的大小由的取值決定，所以自然考慮再結(jié)合小大根進(jìn)行進(jìn)一步討論了。（重視①③的對比）時，不等式解集為時，不等式化為時，不等式解集為希望通過此例能夠體會分類討論的時機(jī)與分界，若能領(lǐng)悟，其分類討論不再是一個難點，而是有線索可循了。二、典型例題：例1：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：定義域令，所解不等式為當(dāng)時，即解不等式的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)時，恒成立為增函數(shù):例2：已知函數(shù)（1）若的圖像在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（1）由切線與垂直可得：（2）思路：導(dǎo)函數(shù)，令解單調(diào)增區(qū)間，得到含參不等式。分類討論時注意扮演兩個角色：一個是影響最高次項的符號，一個是影響方程的根解：令即①（將的范圍分類后，要善于把每一類的范圍作為已知條使用件，在本題中使用的條件使得大小能夠確定下來，避免了進(jìn)一步的分類）的單調(diào)區(qū)間為：②的單調(diào)區(qū)間為：例3：已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間解：定義域：，令，可得：即當(dāng)時，的單調(diào)區(qū)間為：當(dāng)時，為增函數(shù)當(dāng)時，恒成立為增函數(shù)例4：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：令即（注意定義域為，所以導(dǎo)函數(shù)分母恒正，去掉后簡化所解不等式）①時（求解需要除以后開方，進(jìn)而兩個地方均需要分類討論，先從的符號入手）恒成立，在單調(diào)遞增②函數(shù)為增函數(shù)③時（下一步為開方出解集，按的符號進(jìn)行再分類）當(dāng)即時，恒成立，在單調(diào)遞減當(dāng)即時，解得：的單調(diào)區(qū)間為：小煉有話說：本題定義域為，故對單調(diào)區(qū)間既有促進(jìn)作用又有制約作用：促進(jìn)作用體現(xiàn)在對所解不等式的簡化，請大家養(yǎng)成一個良好習(xí)慣，當(dāng)已知變量范圍時，一邊關(guān)注范圍一邊解不等式。制約作用體現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是定義域的子集，所以在時，表格中自變量的區(qū)間是從處開始分析的例5：已知函數(shù)，討論的單調(diào)性解：定義域為令即考慮（左邊無法直接因式分解，考慮二次函數(shù)是否與軸有交點）①時恒成立，故在單調(diào)遞增②時的解的解集為的單調(diào)區(qū)間為：③時在單調(diào)遞增小煉有話說：本題亮點在于②③的討論，判斷極值點是否在定義域中。進(jìn)而確定單調(diào)性。除了解出根來判斷符號之外，本題還可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行判斷。，說明兩根同號，而，說明的符號決定的正負(fù)，從而在的情況下進(jìn)行再次分類討論例6：已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）切線方程為：，即（2），令，即解不等式：①當(dāng)時，解得：，故的單調(diào)區(qū)間為：②當(dāng)時，所以解得：故的單調(diào)區(qū)間為：③，則，常值函數(shù)不具備單調(diào)性④時，解得：或故的單調(diào)區(qū)間