2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第79煉 利用點的坐標(biāo)解決圓錐曲線問題含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第79煉利用點的坐標(biāo)解決圓錐曲線問題含答案第79煉利用點的坐標(biāo)處理解析幾何問題有些解析幾何的題目，問題的求解不依賴于傳統(tǒng)的“設(shè)點，聯(lián)立，消元，韋達(dá)定理整體代入”步驟，而是能夠計算出交點的坐標(biāo)，且點的坐標(biāo)并不復(fù)雜，然后以點的坐標(biāo)作為核心去處理問題。一、基礎(chǔ)知識：1、韋達(dá)定理的實質(zhì)：在處理解析幾何的問題時，韋達(dá)定理的運用最頻繁的，甚至有的學(xué)生將其視為“必備結(jié)構(gòu)”，無論此題是否有思路，都先聯(lián)立方程，韋達(dá)定理。然而使用“韋達(dá)定理”的實質(zhì)是什么？實質(zhì)是“整體代入”的一種方式，只是因為在解析幾何中，一些問題的求解經(jīng)常與相關(guān)，利用“韋達(dá)定理”可進(jìn)行整體代入，可避免因為這幾個根的形式過于復(fù)雜導(dǎo)致運算繁瑣。所以要理解“韋達(dá)定理”并不是解析幾何的必備工具，只是在需要進(jìn)行整體代入時，才運用的一種手段。2、利用點坐標(biāo)解決問題的優(yōu)劣：（1）優(yōu)點：如果能得到點的坐標(biāo)，那么便可應(yīng)對更多的問題，且計算更為靈活，不受形式的約束（2）缺點：有些方程的根過于復(fù)雜（例如用求根公式解出的根），從而使得點的坐標(biāo)也變得復(fù)雜導(dǎo)致運算繁瑣。那么此類問題則要考慮看能否有機會進(jìn)行整體的代入3、求點坐標(biāo)的幾種類型：（1）在聯(lián)立方程消元后，如果發(fā)現(xiàn)交點的坐標(biāo)并不復(fù)雜（不是求根公式的形式），則可考慮把點的坐標(biāo)解出來（用核心變量進(jìn)行表示）（2）直線與曲線相交，若其中一個交點的坐標(biāo)已知，則另一交點必然可求（可用韋達(dá)定理或因式分解求解）4、在利用點的坐標(biāo)處理問題時也要注意運算的技巧，要將運算的式子與條件緊密聯(lián)系，若能夠整體代入，也要考慮整體代入以簡化運算。（整體代入是解析幾何運算簡化的精髓）二、典型例題：例1：已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點，點分別是橢圓的左右頂點（1）求圓和橢圓的方程（2）已知分別是橢圓和圓上的動點（位于軸的兩側(cè)），且直線與軸平行，直線分別與軸交于點，求證：為定值解：（1）依題意可得，過焦點，且，再由可得橢圓方程為，圓方程為（2）思路：條件主要圍繞著點展開，所以以為核心，設(shè)，由與軸平行，可得。若要證明為定值，可從的三角函數(shù)值下手，在解析中角的余弦值可以與向量的數(shù)量積找到聯(lián)系，從而能夠轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算。所以考慮，模長并不利于計算，所以先算，考慮利用條件設(shè)出方程，進(jìn)而坐標(biāo)可用核心變量表示，再進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，從而，即為定值解：設(shè)與軸平行，設(shè)，由所在橢圓和圓方程可得：由橢圓可知：令，可得：同理：可得，代入可得：，即為定值思路二：本題還可以以其中一條直線為入手點（例如），以斜率作為核心變量，直線與橢圓交于兩點，已知點坐標(biāo)利用韋達(dá)定理可解出點坐標(biāo)（用表示），從而可進(jìn)一步將涉及的點的坐標(biāo)都用來進(jìn)行表示，再計算也可以，計算步驟如下：解：設(shè)，由橢圓方程可得：所以設(shè)直線，聯(lián)立方程：，代入到直線方程可得：，由，令可得：設(shè)，則由在圓上可得：，再由代入可得：，即為定值例2：設(shè)橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，已知（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率解：（1）由橢圓方程可知：，即（2）由（1）可得橢圓方程為設(shè)以線段為直徑的圓經(jīng)過點聯(lián)立方程：，整理可得：，解得：，代入直線方程：可知的中點為，圓方程為設(shè)直線：，整理可得：，解得：直線的斜率為或例3：（2014，重慶）如圖所示，設(shè)橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，，的面積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑解：（1）設(shè)，由可得：，解得在中，橢圓方程為：（2）如圖：設(shè)圓與橢圓相交，是兩個交點，是圓的切線，且，則由對稱性可得：由（1）可得，聯(lián)立方程，解得（舍）或過且分別與垂直的直線的交點即為圓心由是圓的切線，且，可得：因為為等腰直角三角形例4：已知橢圓的焦距為，設(shè)右焦點為，離心率為（1）若，求橢圓的方程（2）設(shè)為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，若原點在以線段為直徑的圓上①證明：點在定圓上②設(shè)直線的斜率為，若，求的取值范圍解：（1）依題意可得：所以橢圓方程為：（2）①思路：設(shè)，則，由此可得坐標(biāo)（用進(jìn)行表示），而在以為直徑的圓上可得：，所以得到關(guān)于的方程，由方程便可判定出點的軌跡解：設(shè)，則。因為，且為的中點所以有在以為直徑的圓上點在定圓上②消去可得：（*）而，代入（*）可得：所以解得：例5：已知橢圓的上頂點為，左焦點為，離心率為（1）求直線的斜率（2）設(shè)直線與橢圓交于點（異于點），過點且垂直于的直線與橢圓交于點（異于點），直線與軸交于點，①求的值②若，求橢圓方程解：（1）由可知設(shè)，（2）①設(shè)橢圓方程為：聯(lián)立方程：，整理后可得：可解得：因為設(shè)聯(lián)立方程：，整理后可得：，解得，即設(shè)，斜率為，由弦長公式可知：②由①可得：由可得：橢圓方程為例6：已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，（1）求直線的斜率（2）求橢圓的方程（3）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）斜率的取值范圍解：（1）由已知可得橢圓方程為設(shè)直線，其中由可得：解得：（2）由（1）可得：解得：或在第一象限，即可得：橢圓方程為：（3）由（2）可知，設(shè)，設(shè)的斜率為聯(lián)立方程：可解得：設(shè)直線的斜率為，即當(dāng)時，可知，由可得：當(dāng)時，可知，由可得：綜上所述：例7：已知橢圓的離心率為，其短軸的兩端點分別為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，如經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)；如不過定點，請說明理由.解：（1）由短軸頂點可得：橢圓方程為（2）設(shè)，則對稱點從而直線的方程為：，令解得：，設(shè)中點為則半徑以為直徑的圓方程為：代入可得：，代入可得：即①時，無論為何值等式①均成立圓恒過例8：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，焦點為，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點為，延長交拋物線于點，是拋物線上一動點，且在之間運動（1）當(dāng)時，求橢圓的方程（2）當(dāng)?shù)倪呴L恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求面積的最大值解：（1）時，，焦點坐標(biāo)橢圓的方程為：（2）由可得：，即橢圓方程為：代入解得：邊長為3個連續(xù)的自然數(shù)拋物線方程為，即，代入拋物線方程可得：解得設(shè)，由可得：例9：在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左，右焦點，已知為等腰三角形（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程解：（1）設(shè)，由圖可知，為等腰三角形即,代入可得：，解得：（舍）或（2）思路：由（1）可將橢圓方程化簡為：，與直線的方程聯(lián)立，即消元后發(fā)現(xiàn)方程形式為，形式極其簡單，所以直接求出點的坐標(biāo)可得：，進(jìn)而設(shè)所求點。將坐標(biāo)化后，再利用即可得到關(guān)于的方程：，方程中含有，所以考慮利用直線方程將消掉：，代入即可得到軌跡方程解：橢圓方程轉(zhuǎn)化為：即即的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程可得：，消去，方程轉(zhuǎn)化為：解得：設(shè)，則由可得：，化簡可得：①因為，所以，代入①式化簡可得：將代入，可得：的軌跡方程為：例10：如圖，分別為橢圓的左右焦點，橢圓上的點到距離的最大值為5，離心率為，是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與平行。（1）求橢圓的方程（2）設(shè)與的交點為，求證：為定值解：（1），依橢圓性質(zhì)可得：橢圓上的點到焦點的距離最大值為所以橢圓方程為（2）解：由（1）可得：，設(shè)設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程：，整理可得：由可得：①同理，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程：整理可得：由可得：②同理③由①②可得：代入到③可得：為定值第80煉排列組合的常見模型一、基礎(chǔ)知識：（一）處理排列組合問題的常用思路：1、特殊優(yōu)先：對于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素。例如：用組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？解：五位數(shù)意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數(shù)位沒有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為種2、尋找對立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可。例如：在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品。從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，至少有一件次品的情況有多少種解：如果從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情況，需要進(jìn)行分類討論，但如果從對立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，列式較為簡單。（種）3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進(jìn)行排列。但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列。例如：從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種。解：本題由于需要先確定人數(shù)的選取，再能進(jìn)行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有種可能，然后將選出的三個人進(jìn)行排列：。所以共有種方案（二）排列組合的常見模型1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可。例如：5個人排隊，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法解：考慮第一步將甲乙視為一個整體，與其余3個元素排列，則共有種位置，第二步考慮甲乙自身順序，有種位置，所以排法的總數(shù)為種2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊（2）要從題目中判斷是否需要各自排序例如：有6名同學(xué)排隊，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法解：考慮剩下四名同學(xué)“搭臺”，甲乙不相鄰，則需要從5個空中選擇2個插入進(jìn)去，即有種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲乙排序。所以種3、錯位排列：排列好的個元素，經(jīng)過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列。例如對于，則是其中一個錯位排列。3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種。以上三種情況可作為結(jié)論記住例如：安排6個班的班主任監(jiān)考這六個班，則其中恰好有兩個班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？解：第一步先確定那兩個班班主任監(jiān)考自己班，共有種選法，然后剩下4個班主任均不監(jiān)考自己班，則為4個元素的錯位排列，共9種。所以安排總數(shù)為4、依次插空：如果在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊伍當(dāng)中（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空）例如：已知6個人排隊，其中相對位置不變，則不同的排法有多少種解：考慮先將排好，則有4個空可以選擇，進(jìn)入隊伍后，有5個空可以選擇，以此類推，有6種選擇，所以方法的總數(shù)為種5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子。例如：將6個相同的小球放入到4個不同的盒子里，那么6個小球5個空檔，選擇3個位置放“擋板”，共有種可能7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論（1）使用4種顏色，則每個區(qū)域涂一種顏色即可：（2）使用3種顏色，則有一對不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：不相鄰所以涂色方案有：（3）使用2種顏色，則無法找到符合條件的情況，所以討論終止總計種二、典型例題：例1：某電視臺邀請了6位同學(xué)的父母共12人，請12位家長中的4位介紹對子女的教育情況，如果這4位中恰有一對是夫妻，則不同選擇的方法種數(shù)有多少思路：本題解決的方案可以是：先挑選出一對夫妻，然后在挑選出兩個不是夫妻的即可。第一步：先挑出一對夫妻：第二步：在剩下的10個人中選出兩個不是夫妻的，使用間接法：所以選擇的方法總數(shù)為（種）答案：種例2：某教師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A.種B.種C.種D.種思路：本題如果用直接法考慮，則在安排的過程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會受到第5,6節(jié)課連堂的影響，分類討論的情形較多，不易求解。如果使用間接法則更為容易。首先在無任何特殊要求下，安排的總數(shù)為。不符合要求的情況為上午連上3節(jié)：和下午連上三節(jié)：，所以不同排法的總數(shù)為：（種）答案：A例3：2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.B.C.D.思路：首先考慮從3位女生中先選中相鄰的兩位女生，從而相鄰的女生要與另一女生不相鄰，則可插空，讓男生搭架子，因為男生甲不站兩端，所以在插空的過程中需有人站在甲的邊上，再從剩下的兩個空中選一個空插入即可。第一步：從三位女生中選出要相鄰的兩位女生：第二步：兩位男生搭出三個空，其中甲的邊上要進(jìn)入女生，另外兩個空中要選一個空進(jìn)女生，所以共有種選法。第三步：排列男生甲，乙的位置：，排列相鄰女生和單個女生的位置：，排列相鄰女生相互的位置：所以共有種答案：B例4：某班班會準(zhǔn)備從甲，乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲，乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（）A.360B.520C.600D.720思路：因為選人的結(jié)果不同會導(dǎo)致安排順序的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲乙”同時選中和“甲乙只有一人選中”兩種情況討論：若甲乙同時被選中，則只需再從剩下5人中選取2人即可：，在安排順序時，甲乙不相鄰則“插空”，所以安排的方式有：，從而第一種情況的總數(shù)為：（種），若甲乙只有一人選中，則首先先從甲乙中選一人，有，再從剩下5人中選取三人，有，安排順序時則無要求，所以第二種情況的總數(shù)為：（種），從而總計600種答案：C例5：從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有________種思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出元素，因為“qu”必須取出，所以另外3個元素需從剩下的6個元素中取出，即種，然后在排列時，因為要求“qu”相連，所以采用“捆綁法”，將qu視為一個元素與其它三個元素進(jìn)行排列：，因為“qu”順序不變，所以不需要再對qu進(jìn)行排列。綜上，共有：種答案：例6：設(shè)有編號的五個茶杯和編號為的五個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有（）A.30種B.31種C.32種D.36種思路：本題可按照相同編號的個數(shù)進(jìn)行分類討論，有兩個相同時，要先從5個里選出哪兩個相同，有種選法，則剩下三個為錯位排列，有2種情況，所以，有三個相同時，同理，剩下兩個錯位排列只有一種情況（交換位置），所以，有四個相同時則最后一個也只能相同，所以，從而（種）答案：B例7：某人上10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步；最多能跨3級臺階，稱為三階步，若他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過程的種數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12答案：A思路：首先要確定在這6步中，一階步，二階步，三階步各有幾步，分別設(shè)為，則有，解得：，因為相鄰兩步不同階，所以符合要求的只有，下面開始安排順序，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個空中，所以共有2種插法，二階步與三階步的前后安排共有3種（三二二，三二三，二三三），所以過程總數(shù)為答案：A例8：某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4人既會英語又會日語，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負(fù)責(zé)英語導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有_______種思路：在步驟上可以考慮先選定英語導(dǎo)游，再選定日語導(dǎo)游。英語導(dǎo)游的組成可按只會英語的和會雙語的人數(shù)組成進(jìn)行分類討論，然后再在剩下的人里選出日語導(dǎo)游即可。第一種情況：沒有會雙語的人加入英語導(dǎo)游隊伍，則英語導(dǎo)游選擇數(shù)為，日語導(dǎo)游從剩下6個人中選擇