2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第89煉 比賽與闖關(guān)問題含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第89煉比賽與闖關(guān)問題含答案第89煉比賽與闖關(guān)問題一、基礎(chǔ)知識：1、常見的比賽規(guī)則（1）局勝制：這種規(guī)則的特點為一旦某方獲得次勝利即終止比賽。所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達到勝。例如：甲，乙兩隊舉行排球比賽，比賽采取5局3勝制，已知甲獲勝的概率為，求甲以獲勝的概率：解：本題不能認為“四局中甲贏得三局”，從而，因為如果前三局連勝，則結(jié)束比賽而不會開始第四局，所以若比分為，則第四局甲獲勝，前三局的比分為，所以（2）連勝制：規(guī)定某方連勝場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后場連勝且之前沒有達到場連勝。例如：甲，乙兩隊舉行比賽，比賽共有7局，若有一方連勝3局，則比賽立即終止。已知甲獲勝的概率為，求甲在第5局終止比賽并獲勝的概率解：若第5局比賽結(jié)束，根據(jù)連勝三局終止比賽的規(guī)則，可知甲在第3,4,5局獲勝，且第二局失敗（否則若第二局獲勝，則第四局就達到三連勝），第一局無論勝負不影響獲勝結(jié)果。所以（3）比分差距制：規(guī)定某方比對方多分即終止比賽，此時首先根據(jù)比賽局數(shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于（4）“一票否決制”：在比賽的過程中，如果在某一階段失敗，則被淘汰。此類問題要注意若達到第階段，則意味著前個階段均能通關(guān)2、解答此類題目的技巧：（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”。例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”。（2）善于使用對立事件求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率。在處理離散性隨機變量分布列時，也可利用概率和為1的特點，先求出包含情況較少的事件的概率，再間接求出包含情況較多的事件概率二、典型例題：例1：某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，回答問題正確者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否正確回答互不影響．（1）求該選手被淘汰的概率；（2）記該選手在考核中回答問題的個數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．（1）思路：依題可知，比賽規(guī)則為：只要打錯一個即被淘汰，如果從問題的正面考慮，則要考慮到是第幾輪被淘汰，情況較多。但此問題的反面為“答對所有問題”，概率易于表示，所以考慮利用對立事件進行求解設(shè)為“選手正確回答第輪問題”，事件為“選手被淘汰”（2）思路：可取的值為，可知若想多答題，則需要前面的問題均要答對，所以時，則第一題答錯；時，則第一題答對且第二題答錯（若第二題答對則需要答第三題）；時，則第一題答對且第二題答對（第三題無論是否正確，均已答三題），分別求出概率即可解：可取的值為的分布列為例2：某區(qū)要進行中學(xué)生籃球?qū)官?，為爭奪最后一個小組賽名額，甲、乙、丙三支籃球隊要進行比賽，根據(jù)規(guī)則：每兩支隊伍之間都要比賽一場；每場比賽勝者得分，負者得分，沒有平局，獲得第一名的將奪得這個參賽名額．已知乙隊勝丙隊的概率為，甲隊獲得第一名的概率為，乙隊獲得第一名的概率為．（1）求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率；（2）設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為，求的分布列及期望．（1）思路：解決要通過甲隊第一的概率與乙隊第一的概率兩個條件。若甲隊第一名，則甲戰(zhàn)勝乙且戰(zhàn)勝丙，即；若乙隊第一名，則乙戰(zhàn)勝甲且戰(zhàn)勝丙，即，兩個方程即可解出解：設(shè)事件為“甲隊獲第一名”，則設(shè)事件為“乙隊獲第一名”，則解得：（2）思路：依題意可知可取的值為，即兩戰(zhàn)全負；即一勝一負，要分成“勝乙負丙”和“負乙勝丙”兩種情況討論；即兩戰(zhàn)全勝；分別求出概率即可。可取的值為的分布列為例3：甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊勝3場．已知甲球隊第5，6場獲勝的概率均為，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為．（1）求甲隊分別以，獲勝的概率；（2）設(shè)X表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（1）思路：前四場比賽甲乙比分為，根據(jù)7場4勝制可知，甲再贏一場比賽立刻結(jié)束，所以要想獲得，，必須在甲贏一場之前，乙獲得比分。所以若比分為，則第5場乙勝，第6場甲勝；若比分為，則第場均乙勝，第7場甲勝，用概率的乘法即可求出兩個比分的概率解：設(shè)事件為“甲隊在第場獲勝”，則設(shè)事件為“甲隊4：2獲勝”，事件為“甲隊4：3獲勝”（2）思路：比賽的場數(shù)取決于甲是否取勝，所以可取的值為，若，則甲獲勝，即勝第五場；若則甲獲勝，即乙勝第五場，甲勝第六場；若，則只需前六場打成即可，所以只需乙連贏兩場。分別計算概率即可得到分布列和期望比賽場數(shù)可取的值為的分布列為例4：甲、乙兩人對弈棋局，甲勝、乙勝、和棋的概率都是，規(guī)定有一方累計2勝或者累計2和時，棋局結(jié)束。棋局結(jié)束時，若是累計兩和的情形，則宣布甲乙都獲得冠軍；若一方累計2勝，則宣布該方獲得冠軍，另一方獲得亞軍。設(shè)結(jié)束時對弈的總局數(shù)為X．（1）設(shè)事件：“且甲獲得冠軍”，求A的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（1）思路：事件代表“對弈3局且甲獲勝”所以甲必須在第三場獲勝，且前兩場為一勝一和或一勝一負（勝負先后順序均可）。按照這幾種情況找到對應(yīng)概率相乘即可解：設(shè)事件為“甲在第局取勝”，事件為“第局和棋”，事件為“乙在第局取勝”（2）思路：依題意可得只要有兩個相同的結(jié)果就結(jié)束比賽，所以最多進行4次比賽，最少進行2次比賽，故可取的值為；在這些值中包含情況較少，即為相同的結(jié)果出現(xiàn)兩次，以甲為研究對象，則情況分為“兩勝”，“兩負”，“兩和”三種情況。即為前三場“勝負和”均經(jīng)歷一次，所以概率。對于的情況，由于種類較多，所以利用分布列概率和為1的性質(zhì)用進行計算可取的值為的分布列為小煉有話說：在隨機變量所取的值中，如果只有一個值的概率包含情況較多不易計算，那么可以考慮先計算出其他取值的概率，再用1減去其他概率即可例5：某電視臺舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān)，只有通過五關(guān)才能獲得獎金，規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束，后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機會（后兩關(guān)總共只有一次機會），已知某人前三關(guān)每關(guān)通過的概率都是，后兩關(guān)每關(guān)通過的概率都是（1）求該人獲得獎金的概率（2）設(shè)該人通過的關(guān)數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望（1）思路：若該人獲得獎金，則前三關(guān)必須通過，后兩關(guān)可以通過，或者只有一次未通過，借助機會再次通過。分別計算概率再相加即可解：設(shè)事件為“第關(guān)通過”，事件為“獲得獎金”（2）思路：依題意可知的取值為，其中前三關(guān)失敗即結(jié)束，所以為第一關(guān)失利；為第一關(guān)通過且第二關(guān)失利；為第二關(guān)通過且第三關(guān)失利；為第三關(guān)通過且第四關(guān)失利兩次；為第四關(guān)通過且第五關(guān)失利兩次；為五關(guān)全部通過獲得獎金（即第一問的結(jié)果），其中由于情況較為復(fù)雜，所以考慮利用進行處理的取值為的分布列為：例6:：袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為。現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即終止。若摸出白球，則記2分，若摸出黑球，則記1分。每個球在每一次被取出的機會是等可能的。用表示甲，乙最終得分差的絕對值．（1）求袋中原有白球的個數(shù)；（2）求隨機變量的概率分布列及期望（1）思路：可先設(shè)白球個數(shù)為，已知事件“兩球都是白球”的概率，可用古典概型進行表示，進而得到關(guān)于的方程，解出解：設(shè)袋中原有白球的個數(shù)為，事件為“取出兩個白球”可解得（2）思路：盡管題目描述上是甲，乙輪流取球，但進一步分析可發(fā)現(xiàn)在取球過程中，一個人的取球結(jié)果并不影響下一個人的取球，且所求隨機變量為取球完成后，兩人結(jié)果的比較。所以只需關(guān)注甲，乙最后取到的球的個數(shù)即可。由（1）可知袋中有4個黑球，3個白球，甲先取球，所以甲取到4個球，甲取球的結(jié)果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，對應(yīng)的分數(shù)為分，分，分，分，剩下的球?qū)儆谝遥砸覍?yīng)的情況為3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分數(shù)為分，分，分，分。所以甲乙分數(shù)差的絕對值可取的值為，再分別求出概率即可?？扇〉闹禐楣实姆植剂袨椋盒捰性捳f：（1）本題第（2）問的亮點在于，分析過程的特點后，直接從結(jié)果入手，去分析兩人所得球的情況，忽略取球的過程，從而大大簡化概率的計算（2）本題要注意甲取球的結(jié)果就已經(jīng)決定乙的結(jié)果，所以在計算概率時以甲的取球結(jié)果為研究對象。例7：某校舉行中學(xué)生“珍愛地球·保護家園”的環(huán)保知識比賽,比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進行；每位選手最多有5次答題機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止比賽，答對3題者直接進入復(fù)賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答對每個題的概率均為，且相互間沒有影響．（1）求選手甲進入復(fù)賽的概率；（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（1）思路：若甲能進入復(fù)賽，則要答對三道題，但因為答對3題后立即終止比賽，所以要通過最后一次答題正確進入復(fù)賽。答題的次數(shù)為3次，4次，5次，答題3次即為全對，答題4次，則要在前3次答對2題，即，然后第4題正確進入復(fù)賽；同理，答題5次時，要在前4次中答對2題，即，然后第5題正確。解：設(shè)事件為“甲進入復(fù)賽”（2）思路：首先甲最少答3題，最多答5題，故可取的值為，要注意答題結(jié)束分為進入復(fù)賽和淘汰兩種情況。當(dāng)甲答3道題時，可能全對或全錯；同理甲答4道題時，可能3對1錯或是3錯1對；當(dāng)甲答5道題時，只要前4題2對2錯，無論第5題結(jié)果如何，均答了5道題。分別計算對應(yīng)概率即可得到的分布列，從而計算出解：可取的值為的分布列為小煉有話說：本題的關(guān)鍵在于對獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ透怕使降睦斫猓簩τ冢侵冈诖为毩⒅貜?fù)試驗中，沒有其它要求，事件發(fā)生次的概率。其中代表次中的任意次試驗的結(jié)果是。如果對次試驗的結(jié)果有一定的要求，則不能使用公式。例如本題在第（1）問中處理答題4次的時候，因為要在第4次答題正確，對前3次答題沒有要求，所以在前3次試驗中可使用公式計算，而第4次要單獨列出。若直接用則意味著只需4次答題正確3次（不要求是哪3道正確）即可，那么包含著前3次正確的情況，那么按要求就不會進行第4題了。例8：甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求的分布列和期望.（1）思路：依題意可知獲勝的要求是連勝2場，所以可分2局，3局，4局三種情況，通過后兩場連勝贏得比賽，其余各場按“勝負交替”進行排列解：設(shè)為“甲在第局獲勝”，事件為“甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽”（2）思路：首先依題意能確定可取的值為，若提前結(jié)束比賽，則按（1）的想法，除了最后兩場要連勝（或連?。?，其余各場應(yīng)“勝負交替”。在每個事件中要分甲獲勝和乙獲勝兩種情況進行討論解：可取的值為的分布列為：例9：甲乙兩人進行象棋比賽，規(guī)定：每次勝者得1分，負者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的得分多2分時則贏得這場比賽，此時比賽結(jié)束；同時規(guī)定比賽的次數(shù)最多不超過6次，即經(jīng)6次比賽，得分多者贏得比賽，得分相等為和局。已知每次比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，假定各次比賽相互獨立，比賽經(jīng)次結(jié)束，求：（1）的概率；（2）隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。（1）思路：代表比賽經(jīng)過2次就結(jié)束，說明甲連勝兩局或者乙連勝兩局，進而可計算出概率解：設(shè)事件為“甲在第局獲勝”（2）思路：考慮可取的值只能是（因為奇數(shù)局不會產(chǎn)生多贏2分的情況），當(dāng)時，即甲乙比分為或是（在第4局完成多兩分），所以只能是在前兩局打成，然后一方連贏兩局結(jié)束比賽。計算出，即可求出解：可取的值為的分布列為：例10：某學(xué)校在一次運動會上，將要進行甲、乙兩名同學(xué)的乒乓球冠亞軍決賽，比賽實行三局兩勝制.已知每局比賽中，若甲先發(fā)球，其獲勝的概率為，否則其獲勝的概率為（1）若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，試求甲在此局獲勝的概率；（2）若第一局由乙先發(fā)球，以后每局由負方先發(fā)球.規(guī)定勝一局記2分，負一局記0分，記為比賽結(jié)束時甲的得分，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.（1）思路：本題甲獲勝的概率取決于誰先發(fā)球，即為發(fā)球權(quán)確定的前提下的條件概率。若甲獲得發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為，如果甲沒有發(fā)球權(quán)，則獲勝的概率為，所以甲獲勝的概率為解：設(shè)事件為“甲獲得勝利”（2）思路：本題要注意發(fā)球權(quán)的不同，所使用的概率也不一樣，所以要確定每一局的勝負以決定下一局甲獲勝的概率。比賽實行三局兩勝，所以甲可能的得分為，若甲的得分為分，則為連勝兩局結(jié)束比賽或2:1贏得比賽，勝利的情況分為“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三種情況，結(jié)合著發(fā)球規(guī)則可得：，依次類推便可計算出其它情況的概率，進而得到分布列解：可取的值為時，比賽的結(jié)果為：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”時，比賽的結(jié)果為：“乙甲乙”，“甲乙乙”時，比賽的結(jié)果為：“乙乙”的分布列為：第90煉取球問題一、基礎(chǔ)知識：在很多隨機變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：1、獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”3、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進行分子分母的計數(shù)。5、數(shù)字問題：在小球上標注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個類型進行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個黑球，4個白球（1）不放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3個球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個球，求取到白球個數(shù)的分布列，期望和方差（1）思路：因為是不放回的取球，所以后面取球的情況受到前面的影響，要使用條件概率相關(guān)公式進行計算。第一次已經(jīng)取到白球，所以剩下6個黑球，3個白球；若第二次取到黑球，則第三次取到黑球的概率為，若第二次取到白球，則第三次取到黑球的概率為，從而能夠得到第三次取到黑球的概率解：設(shè)事件為“不放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球”（2）思路：因為是有放回的取球，所以每次取球的結(jié)果互不影響，屬于獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，所以第三次取球時依然是6個黑球，3個白球，取得黑球的概率為解：設(shè)事件為“有放回取球，第一次取出白球時，第三次取到黑球”（3）思路：本問依然屬于獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，的取值為，則符合二項分布，即，所以可通過二項分布的概率計算公式求得概率，得到分布列解：的取值為，依題意可得：例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個盒內(nèi)各任取2個球（1）求取出的4個球中沒有紅球的概率（2）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率（3）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望思路：本題這三問的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個數(shù)，考慮紅球個數(shù)來自于兩個盒內(nèi)拿出紅球個數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進行分配，從而得到每個盒中出紅球的情況，進而計算出概率（1）設(shè)事件為“甲盒中取出個紅球”，事件為“乙盒中取出個紅球”則設(shè)事件為“4個球中沒有紅球”則（2）設(shè)事件為“4個球中恰有1個紅球”（3）可取的值為的分布列為：例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為、、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件為“兩只手中所取的球顏色不同”，則為“兩只手中所取的球顏色相同”（2）可取的值為左手取球成功的概率右手取球成功的概率的分布列為例4：袋中裝有若干個質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個球，然后放回，若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率（2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及其期望（1）思路：本題為有放回摸球，可理解為獨立重復(fù)試驗，如果摸球四次就停止，說明在這四次中一共摸到3次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球。通過紅白球數(shù)量關(guān)系可知一次摸球中摸到紅球的概率為，然后可按照分析列式并求出概率。解：設(shè)事件為“摸球四次即停止摸球“解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的概率為（2）思路：可知可取的值為，當(dāng)時，摸球是通過完成5次后停止，所以可利用獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ陀嬎愀怕?；?dāng)時，按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束，所以要按摸球的次數(shù)（3次，4次，5次）分類討論后再匯總解：可取的值為的分布列為：例5：某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當(dāng)日在該店消費的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎規(guī)則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎．（1）求分別獲得一、二、三等獎的概率；（2）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)為“獲得等獎”（2）摸球次數(shù)可取的值為的分布列為：例6：學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球；乙箱子里面裝有1個白球，2個黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲后將球放回原箱）（1）求在一次游戲中①摸出3個白球的概率②獲獎的概率（2）求在三次游戲中獲獎次數(shù)的分布列與期望（1）思路：本題的結(jié)果實質(zhì)上是一個“拼球”的過程，即兩個箱子各自拿球，然后統(tǒng)計白球的個數(shù)。則①：若摸出3個白球，則情況為甲2乙1。②：若獲獎，則白球個數(shù)不少于2個，可分成白球有3個或有2個兩種情況，分別求出概率再求和即可解：設(shè)為“甲箱子里取出個白球”，為“乙箱子里取出個白球”①設(shè)事件為“摸出3個白球”②設(shè)事件為“獲獎”（即白球不少于2個）（2）思路：三次游戲可視為獨立重復(fù)試驗，所以獲獎次數(shù)服從二項分布，由（1）可得，從而可利用公式計算概率，列出分布列解：可取的值為，依題意可得：的分布列為：例7：一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設(shè)袋子中的每一個球被摸到可能性是相等的。（1）從袋子中任意摸出3個球，求摸出的球均為白球的概率；（2）一次從袋子中任意摸出3個球，若其中紅球的個數(shù)多于白球的個數(shù)，則稱“摸球成功”（每次操作完成后將球放回），某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。（1）思路：此問可用古典概型解決，事件為“10個球中任意摸出3個球”，則，所求事件為“均是白球”，則，從而解：設(shè)事件為“3個球均為白球“（2）思路：按題目敘述可知對于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相當(dāng)于獨立重復(fù)試驗，結(jié)合的含義可知服從二項分布。但“摸球成功”的概率還未知，所以先根據(jù)“摸球成功”的要求利用古典概型計算出一次成功的概率，再通過二項分布的公式計算的分布列即可解：設(shè)事件為“一次摸球成功”的取值為，依題意可得：的分布列為：例8：袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）用X表示取出的3個小球上所標的最大數(shù)字，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）思路：本題的特點在于每個編號都有3個球，若將這12個球視為不同元素，則可利用古典概型進行計算，設(shè)為“12個球中任取3個”，則，事件為“三個球數(shù)字各不相同”，則計數(shù)時第一步要先選出不同的三個編號，即，然后每個編號中都有3個小球可供選擇，即，所以。進而可計算出解：設(shè)事件為“三個球數(shù)字各不相同”（2）思路：依題意可知的取值為，依然用古典概型解決，但要明確取每個值時所代表的情況：當(dāng)時，只能3個球均為1號球；當(dāng)時，說明至少有一個2號球，其余的用1號球組成，即，或者使用間接法：從1,2號共6個球中先隨意取三個，再減去不含2號球的情況，即個，同理可得：時，至少有一個3號球，其余的球為1,2號球，所以由個，時，至少有一個4號球，其余的球為1,2,3號球，所以由個，進而求得概率得到分布列解：的取值為的分布列為：例9：一個盒子中裝有大小相同的小球個，在小球上分別標有的號碼，已知從盒子中隨機的取出兩個球，兩球的號碼最大值為的概率為，（1）盒子中裝有幾個小球？（2）現(xiàn)從盒子中隨機的取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機變量（如取2468時，；取1246時，，取1235時，）（1）思路：以兩球號碼最大值為的概率為入手點，則該敘述等價于“取出一個號球和一個其它號碼球的概率為，從而利用古典概型列出關(guān)于的方程并解出解：設(shè)事件為“兩球號碼最大值為”即解得：（2）思路：由（1）可得小球的編號為，結(jié)合所給的例子可知的取值為，其概率可用古典概型計算。代表所取得數(shù)兩兩不相鄰，可能的情況有，共5種；表示只有一對相鄰的數(shù)或兩對相鄰的數(shù)（兩隊相鄰的數(shù)之間不再相鄰）；表示有三個相鄰的數(shù)，與另一個數(shù)不相鄰；表示四個數(shù)均相鄰，共5個。由于包含情況較復(fù)雜，所以可以考慮算出其他情況的概率再用1減即可。解：的取值為的分布列為：例10：袋中裝有35個球，每個球上分別標有的一個號碼，設(shè)號碼為的球重克，這些球等可能的從袋中被取出（1）如果任取1球，試求其重量大于號碼數(shù)的概率（2）如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率（3）如果取出一球，當(dāng)它的重量大于號碼數(shù)，則放回，將拌均勻后重?。划?dāng)它的重量小于號碼數(shù)時，則停止取球，按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為，求的分布列和期望思路：（1）本題的球重與編號存在函數(shù)關(guān)系，要解得重量大于號碼數(shù)的概率，先要判斷出在35個球中，那些球的重量大于號碼數(shù)，即解不等式，可解出或，所以的解集為共30個數(shù)，所以取出球重量大于號碼數(shù)的概率為解：設(shè)事件為“取1球其重量大于號碼數(shù)”若球重量大于號碼數(shù)，則，解得：或的取值集合為，共30個元素（2）思路：不妨設(shè)取出的球的編號為，從而，可推得：，從而取出球的組合為共4組，所以概率為解：設(shè)所取球的編號為，依題意可得：取出球的組合為設(shè)事件為“取出2球重量相等”（3）思路：依題意可知：可取的值為，由（1）可知球重量大于號碼的概率為，因為是可放回的抽取，所以每次抽取為獨立重復(fù)試驗。當(dāng)時，可知取出的球重量小于號碼數(shù)；當(dāng)時，則第一次取出的球比號碼數(shù)大，第二次取出的球比號碼數(shù)小；當(dāng)時，則前兩次取出的球比號碼數(shù)大（無論第三次如何都終止取球），從而求出概率得到分布列解：可取的值為，由（1）可知取出球重量大于號碼的概率的分布列為：三、歷年好題