2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三):第89煉 比賽與闖關(guān)問(wèn)題含答案_第1頁(yè)
2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三):第89煉 比賽與闖關(guān)問(wèn)題含答案_第2頁(yè)
2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三):第89煉 比賽與闖關(guān)問(wèn)題含答案_第3頁(yè)
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2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題(三):第89煉比賽與闖關(guān)問(wèn)題含答案第89煉比賽與闖關(guān)問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí):1、常見的比賽規(guī)則(1)局勝制:這種規(guī)則的特點(diǎn)為一旦某方獲得次勝利即終止比賽。所以若比賽提前結(jié)束,則一定在最后一次比賽中某方達(dá)到勝。例如:甲,乙兩隊(duì)舉行排球比賽,比賽采取5局3勝制,已知甲獲勝的概率為,求甲以獲勝的概率:解:本題不能認(rèn)為“四局中甲贏得三局”,從而,因?yàn)槿绻叭诌B勝,則結(jié)束比賽而不會(huì)開始第四局,所以若比分為,則第四局甲獲勝,前三局的比分為,所以(2)連勝制:規(guī)定某方連勝場(chǎng)即終止比賽,所以若提前結(jié)束比賽,則最后場(chǎng)連勝且之前沒有達(dá)到場(chǎng)連勝。例如:甲,乙兩隊(duì)舉行比賽,比賽共有7局,若有一方連勝3局,則比賽立即終止。已知甲獲勝的概率為,求甲在第5局終止比賽并獲勝的概率解:若第5局比賽結(jié)束,根據(jù)連勝三局終止比賽的規(guī)則,可知甲在第3,4,5局獲勝,且第二局失敗(否則若第二局獲勝,則第四局就達(dá)到三連勝),第一局無(wú)論勝負(fù)不影響獲勝結(jié)果。所以(3)比分差距制:規(guī)定某方比對(duì)方多分即終止比賽,此時(shí)首先根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分,在得分過(guò)程中要注意使兩方的分差小于(4)“一票否決制”:在比賽的過(guò)程中,如果在某一階段失敗,則被淘汰。此類問(wèn)題要注意若達(dá)到第階段,則意味著前個(gè)階段均能通關(guān)2、解答此類題目的技巧:(1)善于引入變量表示事件:可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”。例如:表示“第局比賽勝利”,則表示“第局比賽失敗”。(2)善于使用對(duì)立事件求概率:若所求事件含情況較多,可以考慮求對(duì)立事件的概率,再用解出所求事件概率。在處理離散性隨機(jī)變量分布列時(shí),也可利用概率和為1的特點(diǎn),先求出包含情況較少的事件的概率,再間接求出包含情況較多的事件概率二、典型例題:例1:某項(xiàng)選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題,回答問(wèn)題正確者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為,,,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.(1)求該選手被淘汰的概率;(2)記該選手在考核中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.(1)思路:依題可知,比賽規(guī)則為:只要打錯(cuò)一個(gè)即被淘汰,如果從問(wèn)題的正面考慮,則要考慮到是第幾輪被淘汰,情況較多。但此問(wèn)題的反面為“答對(duì)所有問(wèn)題”,概率易于表示,所以考慮利用對(duì)立事件進(jìn)行求解設(shè)為“選手正確回答第輪問(wèn)題”,事件為“選手被淘汰”(2)思路:可取的值為,可知若想多答題,則需要前面的問(wèn)題均要答對(duì),所以時(shí),則第一題答錯(cuò);時(shí),則第一題答對(duì)且第二題答錯(cuò)(若第二題答對(duì)則需要答第三題);時(shí),則第一題答對(duì)且第二題答對(duì)(第三題無(wú)論是否正確,均已答三題),分別求出概率即可解:可取的值為的分布列為例2:某區(qū)要進(jìn)行中學(xué)生籃球?qū)官?,為?zhēng)奪最后一個(gè)小組賽名額,甲、乙、丙三支籃球隊(duì)要進(jìn)行比賽,根據(jù)規(guī)則:每?jī)芍ш?duì)伍之間都要比賽一場(chǎng);每場(chǎng)比賽勝者得分,負(fù)者得分,沒有平局,獲得第一名的將奪得這個(gè)參賽名額.已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為,甲隊(duì)獲得第一名的概率為,乙隊(duì)獲得第一名的概率為.(1)求甲隊(duì)分別戰(zhàn)勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率;(2)設(shè)在該次比賽中,甲隊(duì)得分為,求的分布列及期望.(1)思路:解決要通過(guò)甲隊(duì)第一的概率與乙隊(duì)第一的概率兩個(gè)條件。若甲隊(duì)第一名,則甲戰(zhàn)勝乙且戰(zhàn)勝丙,即;若乙隊(duì)第一名,則乙戰(zhàn)勝甲且戰(zhàn)勝丙,即,兩個(gè)方程即可解出解:設(shè)事件為“甲隊(duì)獲第一名”,則設(shè)事件為“乙隊(duì)獲第一名”,則解得:(2)思路:依題意可知可取的值為,即兩戰(zhàn)全負(fù);即一勝一負(fù),要分成“勝乙負(fù)丙”和“負(fù)乙勝丙”兩種情況討論;即兩戰(zhàn)全勝;分別求出概率即可??扇〉闹禐榈姆植剂袨槔?:甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7場(chǎng)4勝制,每場(chǎng)必須分出勝負(fù),場(chǎng)與場(chǎng)之間互不影響,只要有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)就結(jié)束比賽.現(xiàn)已比賽了4場(chǎng),且甲籃球隊(duì)勝3場(chǎng).已知甲球隊(duì)第5,6場(chǎng)獲勝的概率均為,但由于體力原因,第7場(chǎng)獲勝的概率為.(1)求甲隊(duì)分別以,獲勝的概率;(2)設(shè)X表示決出冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(1)思路:前四場(chǎng)比賽甲乙比分為,根據(jù)7場(chǎng)4勝制可知,甲再贏一場(chǎng)比賽立刻結(jié)束,所以要想獲得,,必須在甲贏一場(chǎng)之前,乙獲得比分。所以若比分為,則第5場(chǎng)乙勝,第6場(chǎng)甲勝;若比分為,則第場(chǎng)均乙勝,第7場(chǎng)甲勝,用概率的乘法即可求出兩個(gè)比分的概率解:設(shè)事件為“甲隊(duì)在第場(chǎng)獲勝”,則設(shè)事件為“甲隊(duì)4:2獲勝”,事件為“甲隊(duì)4:3獲勝”(2)思路:比賽的場(chǎng)數(shù)取決于甲是否取勝,所以可取的值為,若,則甲獲勝,即勝第五場(chǎng);若則甲獲勝,即乙勝第五場(chǎng),甲勝第六場(chǎng);若,則只需前六場(chǎng)打成即可,所以只需乙連贏兩場(chǎng)。分別計(jì)算概率即可得到分布列和期望比賽場(chǎng)數(shù)可取的值為的分布列為例4:甲、乙兩人對(duì)弈棋局,甲勝、乙勝、和棋的概率都是,規(guī)定有一方累計(jì)2勝或者累計(jì)2和時(shí),棋局結(jié)束。棋局結(jié)束時(shí),若是累計(jì)兩和的情形,則宣布甲乙都獲得冠軍;若一方累計(jì)2勝,則宣布該方獲得冠軍,另一方獲得亞軍。設(shè)結(jié)束時(shí)對(duì)弈的總局?jǐn)?shù)為X.(1)設(shè)事件:“且甲獲得冠軍”,求A的概率;(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。(1)思路:事件代表“對(duì)弈3局且甲獲勝”所以甲必須在第三場(chǎng)獲勝,且前兩場(chǎng)為一勝一和或一勝一負(fù)(勝負(fù)先后順序均可)。按照這幾種情況找到對(duì)應(yīng)概率相乘即可解:設(shè)事件為“甲在第局取勝”,事件為“第局和棋”,事件為“乙在第局取勝”(2)思路:依題意可得只要有兩個(gè)相同的結(jié)果就結(jié)束比賽,所以最多進(jìn)行4次比賽,最少進(jìn)行2次比賽,故可取的值為;在這些值中包含情況較少,即為相同的結(jié)果出現(xiàn)兩次,以甲為研究對(duì)象,則情況分為“兩勝”,“兩負(fù)”,“兩和”三種情況。即為前三場(chǎng)“勝負(fù)和”均經(jīng)歷一次,所以概率。對(duì)于的情況,由于種類較多,所以利用分布列概率和為1的性質(zhì)用進(jìn)行計(jì)算可取的值為的分布列為小煉有話說(shuō):在隨機(jī)變量所取的值中,如果只有一個(gè)值的概率包含情況較多不易計(jì)算,那么可以考慮先計(jì)算出其他取值的概率,再用1減去其他概率即可例5:某電視臺(tái)舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān),只有通過(guò)五關(guān)才能獲得獎(jiǎng)金,規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束,后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機(jī)會(huì)(后兩關(guān)總共只有一次機(jī)會(huì)),已知某人前三關(guān)每關(guān)通過(guò)的概率都是,后兩關(guān)每關(guān)通過(guò)的概率都是(1)求該人獲得獎(jiǎng)金的概率(2)設(shè)該人通過(guò)的關(guān)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望(1)思路:若該人獲得獎(jiǎng)金,則前三關(guān)必須通過(guò),后兩關(guān)可以通過(guò),或者只有一次未通過(guò),借助機(jī)會(huì)再次通過(guò)。分別計(jì)算概率再相加即可解:設(shè)事件為“第關(guān)通過(guò)”,事件為“獲得獎(jiǎng)金”(2)思路:依題意可知的取值為,其中前三關(guān)失敗即結(jié)束,所以為第一關(guān)失利;為第一關(guān)通過(guò)且第二關(guān)失利;為第二關(guān)通過(guò)且第三關(guān)失利;為第三關(guān)通過(guò)且第四關(guān)失利兩次;為第四關(guān)通過(guò)且第五關(guān)失利兩次;為五關(guān)全部通過(guò)獲得獎(jiǎng)金(即第一問(wèn)的結(jié)果),其中由于情況較為復(fù)雜,所以考慮利用進(jìn)行處理的取值為的分布列為:例6::袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為?,F(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋中的球取完即終止。若摸出白球,則記2分,若摸出黑球,則記1分。每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的。用表示甲,乙最終得分差的絕對(duì)值.(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量的概率分布列及期望(1)思路:可先設(shè)白球個(gè)數(shù)為,已知事件“兩球都是白球”的概率,可用古典概型進(jìn)行表示,進(jìn)而得到關(guān)于的方程,解出解:設(shè)袋中原有白球的個(gè)數(shù)為,事件為“取出兩個(gè)白球”可解得(2)思路:盡管題目描述上是甲,乙輪流取球,但進(jìn)一步分析可發(fā)現(xiàn)在取球過(guò)程中,一個(gè)人的取球結(jié)果并不影響下一個(gè)人的取球,且所求隨機(jī)變量為取球完成后,兩人結(jié)果的比較。所以只需關(guān)注甲,乙最后取到的球的個(gè)數(shù)即可。由(1)可知袋中有4個(gè)黑球,3個(gè)白球,甲先取球,所以甲取到4個(gè)球,甲取球的結(jié)果可以是:4黑,1白3黑,2白2黑,3白1黑,對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)為分,分,分,分,剩下的球?qū)儆谝?,所以乙?duì)應(yīng)的情況為3白,2白1黑,1白2黑,3黑,分?jǐn)?shù)為分,分,分,分。所以甲乙分?jǐn)?shù)差的絕對(duì)值可取的值為,再分別求出概率即可。可取的值為故的分布列為:小煉有話說(shuō):(1)本題第(2)問(wèn)的亮點(diǎn)在于,分析過(guò)程的特點(diǎn)后,直接從結(jié)果入手,去分析兩人所得球的情況,忽略取球的過(guò)程,從而大大簡(jiǎn)化概率的計(jì)算(2)本題要注意甲取球的結(jié)果就已經(jīng)決定乙的結(jié)果,所以在計(jì)算概率時(shí)以甲的取球結(jié)果為研究對(duì)象。例7:某校舉行中學(xué)生“珍愛地球·保護(hù)家園”的環(huán)保知識(shí)比賽,比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分,初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行;每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì),選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽,答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽,答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為,且相互間沒有影響.(1)求選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率;(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為,試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(1)思路:若甲能進(jìn)入復(fù)賽,則要答對(duì)三道題,但因?yàn)榇饘?duì)3題后立即終止比賽,所以要通過(guò)最后一次答題正確進(jìn)入復(fù)賽。答題的次數(shù)為3次,4次,5次,答題3次即為全對(duì),答題4次,則要在前3次答對(duì)2題,即,然后第4題正確進(jìn)入復(fù)賽;同理,答題5次時(shí),要在前4次中答對(duì)2題,即,然后第5題正確。解:設(shè)事件為“甲進(jìn)入復(fù)賽”(2)思路:首先甲最少答3題,最多答5題,故可取的值為,要注意答題結(jié)束分為進(jìn)入復(fù)賽和淘汰兩種情況。當(dāng)甲答3道題時(shí),可能全對(duì)或全錯(cuò);同理甲答4道題時(shí),可能3對(duì)1錯(cuò)或是3錯(cuò)1對(duì);當(dāng)甲答5道題時(shí),只要前4題2對(duì)2錯(cuò),無(wú)論第5題結(jié)果如何,均答了5道題。分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率即可得到的分布列,從而計(jì)算出解:可取的值為的分布列為小煉有話說(shuō):本題的關(guān)鍵在于對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P透怕使降睦斫猓簩?duì)于,是指在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,沒有其它要求,事件發(fā)生次的概率。其中代表次中的任意次試驗(yàn)的結(jié)果是。如果對(duì)次試驗(yàn)的結(jié)果有一定的要求,則不能使用公式。例如本題在第(1)問(wèn)中處理答題4次的時(shí)候,因?yàn)橐诘?次答題正確,對(duì)前3次答題沒有要求,所以在前3次試驗(yàn)中可使用公式計(jì)算,而第4次要單獨(dú)列出。若直接用則意味著只需4次答題正確3次(不要求是哪3道正確)即可,那么包含著前3次正確的情況,那么按要求就不會(huì)進(jìn)行第4題了。例8:甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在局以內(nèi)(含局)贏得比賽的概率;(2)記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求的分布列和期望.(1)思路:依題意可知獲勝的要求是連勝2場(chǎng),所以可分2局,3局,4局三種情況,通過(guò)后兩場(chǎng)連勝贏得比賽,其余各場(chǎng)按“勝負(fù)交替”進(jìn)行排列解:設(shè)為“甲在第局獲勝”,事件為“甲在局以內(nèi)(含局)贏得比賽”(2)思路:首先依題意能確定可取的值為,若提前結(jié)束比賽,則按(1)的想法,除了最后兩場(chǎng)要連勝(或連?。溆喔鲌?chǎng)應(yīng)“勝負(fù)交替”。在每個(gè)事件中要分甲獲勝和乙獲勝兩種情況進(jìn)行討論解:可取的值為的分布列為:例9:甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽,規(guī)定:每次勝者得1分,負(fù)者得0分;當(dāng)其中一人的得分比另一人的得分多2分時(shí)則贏得這場(chǎng)比賽,此時(shí)比賽結(jié)束;同時(shí)規(guī)定比賽的次數(shù)最多不超過(guò)6次,即經(jīng)6次比賽,得分多者贏得比賽,得分相等為和局。已知每次比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,假定各次比賽相互獨(dú)立,比賽經(jīng)次結(jié)束,求:(1)的概率;(2)隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。(1)思路:代表比賽經(jīng)過(guò)2次就結(jié)束,說(shuō)明甲連勝兩局或者乙連勝兩局,進(jìn)而可計(jì)算出概率解:設(shè)事件為“甲在第局獲勝”(2)思路:考慮可取的值只能是(因?yàn)槠鏀?shù)局不會(huì)產(chǎn)生多贏2分的情況),當(dāng)時(shí),即甲乙比分為或是(在第4局完成多兩分),所以只能是在前兩局打成,然后一方連贏兩局結(jié)束比賽。計(jì)算出,即可求出解:可取的值為的分布列為:例10:某學(xué)校在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上,將要進(jìn)行甲、乙兩名同學(xué)的乒乓球冠亞軍決賽,比賽實(shí)行三局兩勝制.已知每局比賽中,若甲先發(fā)球,其獲勝的概率為,否則其獲勝的概率為(1)若在第一局比賽中采用擲硬幣的方式?jīng)Q定誰(shuí)先發(fā)球,試求甲在此局獲勝的概率;(2)若第一局由乙先發(fā)球,以后每局由負(fù)方先發(fā)球.規(guī)定勝一局記2分,負(fù)一局記0分,記為比賽結(jié)束時(shí)甲的得分,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.(1)思路:本題甲獲勝的概率取決于誰(shuí)先發(fā)球,即為發(fā)球權(quán)確定的前提下的條件概率。若甲獲得發(fā)球權(quán),則獲勝的概率為,如果甲沒有發(fā)球權(quán),則獲勝的概率為,所以甲獲勝的概率為解:設(shè)事件為“甲獲得勝利”(2)思路:本題要注意發(fā)球權(quán)的不同,所使用的概率也不一樣,所以要確定每一局的勝負(fù)以決定下一局甲獲勝的概率。比賽實(shí)行三局兩勝,所以甲可能的得分為,若甲的得分為分,則為連勝兩局結(jié)束比賽或2:1贏得比賽,勝利的情況分為“甲甲”,“甲乙甲”,“乙甲甲”三種情況,結(jié)合著發(fā)球規(guī)則可得:,依次類推便可計(jì)算出其它情況的概率,進(jìn)而得到分布列解:可取的值為時(shí),比賽的結(jié)果為:“甲甲”,“甲乙甲”,“乙甲甲”時(shí),比賽的結(jié)果為:“乙甲乙”,“甲乙乙”時(shí),比賽的結(jié)果為:“乙乙”的分布列為:第90煉取球問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí):在很多隨機(jī)變量的題目中,常以“取球”作為故事背景,通過(guò)對(duì)“取球”提出不同的要求,來(lái)考察不同的模型,常見的模型及處理方式如下:1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”,即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同。2、超幾何分布模型:關(guān)鍵詞“不放回的抽取”3、與條件概率相關(guān):此類問(wèn)題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則,并一次次的抽取,要注意前一次的結(jié)果對(duì)后一步抽球的影響4、古典概型:要注意雖然題目中會(huì)說(shuō)明“相同的”小球,但是為了能使用古典概型(保證基本事件為等可能事件),通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素,在利用排列組合知識(shí)進(jìn)行分子分母的計(jì)數(shù)。5、數(shù)字問(wèn)題:在小球上標(biāo)注數(shù)字,所涉及的問(wèn)題與數(shù)字相關(guān)(奇,偶,最大,最小等),在解決此類問(wèn)題時(shí),要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問(wèn)題,從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類型進(jìn)行求解。二、典型例題:例1:一袋中有6個(gè)黑球,4個(gè)白球(1)不放回地依次取出3個(gè)球,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率(2)有放回地依次取出3個(gè)球,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率(3)有放回的依次取出3個(gè)球,求取到白球個(gè)數(shù)的分布列,期望和方差(1)思路:因?yàn)槭遣环呕氐娜∏?,所以后面取球的情況受到前面的影響,要使用條件概率相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算。第一次已經(jīng)取到白球,所以剩下6個(gè)黑球,3個(gè)白球;若第二次取到黑球,則第三次取到黑球的概率為,若第二次取到白球,則第三次取到黑球的概率為,從而能夠得到第三次取到黑球的概率解:設(shè)事件為“不放回取球,第一次取出白球時(shí),第三次取到黑球”(2)思路:因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏?,所以每次取球的結(jié)果互不影響,屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P?,所以第三次取球時(shí)依然是6個(gè)黑球,3個(gè)白球,取得黑球的概率為解:設(shè)事件為“有放回取球,第一次取出白球時(shí),第三次取到黑球”(3)思路:本問(wèn)依然屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P停娜≈禐?,則符合二項(xiàng)分布,即,所以可通過(guò)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求得概率,得到分布列解:的取值為,依題意可得:例2:已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球,現(xiàn)從甲,乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球(1)求取出的4個(gè)球中沒有紅球的概率(2)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率(3)設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望思路:本題這三問(wèn)的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個(gè)數(shù),考慮紅球個(gè)數(shù)來(lái)自于兩個(gè)盒內(nèi)拿出紅球個(gè)數(shù)的總和,所以可將紅球總數(shù)進(jìn)行分配,從而得到每個(gè)盒中出紅球的情況,進(jìn)而計(jì)算出概率(1)設(shè)事件為“甲盒中取出個(gè)紅球”,事件為“乙盒中取出個(gè)紅球”則設(shè)事件為“4個(gè)球中沒有紅球”則(2)設(shè)事件為“4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”(3)可取的值為的分布列為:例3:甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個(gè),其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為、、,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為,某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.(1)若左右手各取一球,求兩只手中所取的球顏色不同的概率;(2)若左右手依次各取兩球,稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法,記成功取法次數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)事件為“兩只手中所取的球顏色不同”,則為“兩只手中所取的球顏色相同”(2)可取的值為左手取球成功的概率右手取球成功的概率的分布列為例4:袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球,白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍,每次從袋中摸出一個(gè)球,然后放回,若累計(jì)3次摸到紅球則停止摸球,否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束(1)求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率(2)記摸到紅球的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及其期望(1)思路:本題為有放回摸球,可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),如果摸球四次就停止,說(shuō)明在這四次中一共摸到3次紅球,且前三次有兩次摸到紅球,第四次又摸到紅球。通過(guò)紅白球數(shù)量關(guān)系可知一次摸球中摸到紅球的概率為,然后可按照分析列式并求出概率。解:設(shè)事件為“摸球四次即停止摸球“解:依題意可得:在一次摸球中,摸到紅球的概率為(2)思路:可知可取的值為,當(dāng)時(shí),摸球是通過(guò)完成5次后停止,所以可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P陀?jì)算概率;當(dāng)時(shí),按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束,所以要按摸球的次數(shù)(3次,4次,5次)分類討論后再匯總解:可取的值為的分布列為:例5:某商場(chǎng)在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球,分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆”.顧客從中任意取出1個(gè)球,記下上面的字后放回箱中,再?gòu)闹腥稳?個(gè)球,重復(fù)以上操作,最多取4次,并規(guī)定若取出“隆”字球,則停止取球.獲獎(jiǎng)規(guī)則如下:依次取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng);不分順序取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球,為二等獎(jiǎng);取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意”“興”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng).(1)求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率;(2)設(shè)摸球次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)為“獲得等獎(jiǎng)”(2)摸球次數(shù)可取的值為的分布列為:例6:學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球,2個(gè)黑球;乙箱子里面裝有1個(gè)白球,2個(gè)黑球;這些球除了顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng)(每次游戲后將球放回原箱)(1)求在一次游戲中①摸出3個(gè)白球的概率②獲獎(jiǎng)的概率(2)求在三次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列與期望(1)思路:本題的結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一個(gè)“拼球”的過(guò)程,即兩個(gè)箱子各自拿球,然后統(tǒng)計(jì)白球的個(gè)數(shù)。則①:若摸出3個(gè)白球,則情況為甲2乙1。②:若獲獎(jiǎng),則白球個(gè)數(shù)不少于2個(gè),可分成白球有3個(gè)或有2個(gè)兩種情況,分別求出概率再求和即可解:設(shè)為“甲箱子里取出個(gè)白球”,為“乙箱子里取出個(gè)白球”①設(shè)事件為“摸出3個(gè)白球”②設(shè)事件為“獲獎(jiǎng)”(即白球不少于2個(gè))(2)思路:三次游戲可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以獲獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布,由(1)可得,從而可利用公式計(jì)算概率,列出分布列解:可取的值為,依題意可得:的分布列為:例7:一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球,假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。(1)從袋子中任意摸出3個(gè)球,求摸出的球均為白球的概率;(2)一次從袋子中任意摸出3個(gè)球,若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù),則稱“摸球成功”(每次操作完成后將球放回),某人連續(xù)摸了3次,記“摸球成功”的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望。(1)思路:此問(wèn)可用古典概型解決,事件為“10個(gè)球中任意摸出3個(gè)球”,則,所求事件為“均是白球”,則,從而解:設(shè)事件為“3個(gè)球均為白球“(2)思路:按題目敘述可知對(duì)于摸3次球,由于是有放回的摸,所以相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),結(jié)合的含義可知服從二項(xiàng)分布。但“摸球成功”的概率還未知,所以先根據(jù)“摸球成功”的要求利用古典概型計(jì)算出一次成功的概率,再通過(guò)二項(xiàng)分布的公式計(jì)算的分布列即可解:設(shè)事件為“一次摸球成功”的取值為,依題意可得:的分布列為:例8:袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè),從袋中任取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性都相等.(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;(2)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(1)思路:本題的特點(diǎn)在于每個(gè)編號(hào)都有3個(gè)球,若將這12個(gè)球視為不同元素,則可利用古典概型進(jìn)行計(jì)算,設(shè)為“12個(gè)球中任取3個(gè)”,則,事件為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”,則計(jì)數(shù)時(shí)第一步要先選出不同的三個(gè)編號(hào),即,然后每個(gè)編號(hào)中都有3個(gè)小球可供選擇,即,所以。進(jìn)而可計(jì)算出解:設(shè)事件為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”(2)思路:依題意可知的取值為,依然用古典概型解決,但要明確取每個(gè)值時(shí)所代表的情況:當(dāng)時(shí),只能3個(gè)球均為1號(hào)球;當(dāng)時(shí),說(shuō)明至少有一個(gè)2號(hào)球,其余的用1號(hào)球組成,即,或者使用間接法:從1,2號(hào)共6個(gè)球中先隨意取三個(gè),再減去不含2號(hào)球的情況,即個(gè),同理可得:時(shí),至少有一個(gè)3號(hào)球,其余的球?yàn)?,2號(hào)球,所以由個(gè),時(shí),至少有一個(gè)4號(hào)球,其余的球?yàn)?,2,3號(hào)球,所以由個(gè),進(jìn)而求得概率得到分布列解:的取值為的分布列為:例9:一個(gè)盒子中裝有大小相同的小球個(gè),在小球上分別標(biāo)有的號(hào)碼,已知從盒子中隨機(jī)的取出兩個(gè)球,兩球的號(hào)碼最大值為的概率為,(1)盒子中裝有幾個(gè)小球?(2)現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個(gè)球,記所取4個(gè)球的號(hào)碼中,連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值為隨機(jī)變量(如取2468時(shí),;取1246時(shí),,取1235時(shí),)(1)思路:以兩球號(hào)碼最大值為的概率為入手點(diǎn),則該敘述等價(jià)于“取出一個(gè)號(hào)球和一個(gè)其它號(hào)碼球的概率為,從而利用古典概型列出關(guān)于的方程并解出解:設(shè)事件為“兩球號(hào)碼最大值為”即解得:(2)思路:由(1)可得小球的編號(hào)為,結(jié)合所給的例子可知的取值為,其概率可用古典概型計(jì)算。代表所取得數(shù)兩兩不相鄰,可能的情況有,共5種;表示只有一對(duì)相鄰的數(shù)或兩對(duì)相鄰的數(shù)(兩隊(duì)相鄰的數(shù)之間不再相鄰);表示有三個(gè)相鄰的數(shù),與另一個(gè)數(shù)不相鄰;表示四個(gè)數(shù)均相鄰,共5個(gè)。由于包含情況較復(fù)雜,所以可以考慮算出其他情況的概率再用1減即可。解:的取值為的分布列為:例10:袋中裝有35個(gè)球,每個(gè)球上分別標(biāo)有的一個(gè)號(hào)碼,設(shè)號(hào)碼為的球重克,這些球等可能的從袋中被取出(1)如果任取1球,試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率(2)如果不放回任意取出2球,試求它們重量相等的概率(3)如果取出一球,當(dāng)它的重量大于號(hào)碼數(shù),則放回,將拌均勻后重??;當(dāng)它的重量小于號(hào)碼數(shù)時(shí),則停止取球,按照以上規(guī)則,最多取球3次,設(shè)停止之前取球次數(shù)為,求的分布列和期望思路:(1)本題的球重與編號(hào)存在函數(shù)關(guān)系,要解得重量大于號(hào)碼數(shù)的概率,先要判斷出在35個(gè)球中,那些球的重量大于號(hào)碼數(shù),即解不等式,可解出或,所以的解集為共30個(gè)數(shù),所以取出球重量大于號(hào)碼數(shù)的概率為解:設(shè)事件為“取1球其重量大于號(hào)碼數(shù)”若球重量大于號(hào)碼數(shù),則,解得:或的取值集合為,共30個(gè)元素(2)思路:不妨設(shè)取出的球的編號(hào)為,從而,可推得:,從而取出球的組合為共4組,所以概率為解:設(shè)所取球的編號(hào)為,依題意可得:取出球的組合為設(shè)事件為“取出2球重量相等”(3)思路:依題意可知:可取的值為,由(1)可知球重量大于號(hào)碼的概率為,因?yàn)槭强煞呕氐某槿?,所以每次抽取為?dú)立重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)時(shí),可知取出的球重量小于號(hào)碼數(shù);當(dāng)時(shí),則第一次取出的球比號(hào)碼數(shù)大,第二次取出的球比號(hào)碼數(shù)??;當(dāng)時(shí),則前兩次取出的球比號(hào)碼數(shù)大(無(wú)論第三次如何都終止取球),從而求出概率得到分布列解:可取的值為,由(1)可知取出球重量大于號(hào)碼的概率的分布列為:三、歷年好題

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