考研數學二分類模擬225

考研數學二分類模擬225選擇題(下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.

矩陣與下列矩陣______相似．

A．

B．

C．

D．正確答案：B[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]矩陣A與四個選項中的矩陣的特征值均為1，1，2，要判定對角矩陣A與哪個矩陣相似，即判斷此矩陣對應于二重特征值1是否有兩個線性無關的特征向量．記四個選項中的矩陣為B，則B與A相似．

對于選項B

即B中的矩陣與A相似，應選B．

2.

設函數f(x)=arctanx，若f(x)=xf'(ξ)，則______．

A．1

B．

C．

D．正確答案：D[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅱ)

[解析]，故．又因為

故選D．

3.

設函數若反常積分收斂，則______A.α＜-2B.α＞2C.-2＜α＜0D.0＜α＜2正確答案：D[考點]不定積分、定積分、反常積分

[解析]．

對是瑕點，故α-1＜1，即α＜2時，瑕積分收斂．

，要使其收斂，需α＞0．

綜上所述0＜α＜2，故選D．

4.

設f(x)具有二階連續(xù)導數，且，則______．A.x=1為f(x)的極大值點B.x=1為f(x)的極小值點C.(1，f(1))為y=f(x)的拐點D.x=1不是f(x)的極值點，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐點正確答案：C[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅰ)

[解析]由及f(x)二階連續(xù)可導，得f"(1)=0．

因為，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x-1|＜δ時，，從而

故(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點，應選C．

[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅰ)

5.

n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是______．A.A無負特征值B.A是滿秩矩陣C.A的每個特征值都是單值D.A-1是正定矩陣正確答案：D[考點]二次型

[解析]選項A錯誤．A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數；取，排除A；

選項B錯誤．若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，反之不成立；取，可同時排除B，C兩個選項；

故選D．

6.

下列說法正確的是______．

A．若f(x)與g(x)均為x→0時的無窮大量，則f(x)+g(x)為x→0時的無窮大量．

B．若f(x)與g(x)均為x→0時的無窮大量，則f(x)-g(x)為x→0時的無窮小量．

C．若f(x)與g(x)均為x→0時的無窮小量，則f(x)·g(x)為x→0時的無窮小量．

D．若f(x)與g(x)均為x→0時的無窮小量，g(x)≠0，則為x→0時的無窮大量．正確答案：C[考點]函數、極限

7.

設n維列向量組α1，α2，…，αm(m＜n)線性無關，則n維列向量組β1，β2，…，βm線性無關的充分必要條件是______．A.向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表出B.向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表出C.向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價D.矩陣A=(α1，α2，…，αm)與矩陣B=(β1，β2，…，βm)等價正確答案：D[考點]向量

[解析]選項A，B，C錯誤．設m=1，n=3，取α1=(1，0，0)T，β1=(1，1，0)T，可同時排除A，B，C選項．

選項D正確．因為α1，α2，…，αm線性無關r(α1，α2，…，αm}=r(A)=m．

同理，向量組β1，β2，…，βm線性無關r(B)=r{β1，β2，…，βm}=m．

注意到A，B為同型矩陣，故A，B等價r(A)=r(B)．

8.

設cosx-1=x·sinα(x)，，當x→0時，α(x)為______．A.比x高階的無窮小B.比x低階的無窮小C.與x同階但不等價的無窮小D.與x是等價無窮小正確答案：C[考點]函數、極限

9.

設A為m×n階矩陣，B，C均為n×s階矩陣，且AB=AC，則______．A.當m=n時，必有B=CB.當r(A)=m時，必有B=CC.當m＞n時，必有B=CD.當r(A)=n時，必有B=C正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]由AB=AC，得A(B-C)=0，則r(A)+r(B-C)≤n，當r(A)=n時，r(B-C)≤0，從而r(B-C)=0，于是B-C=0，即B=C．應選D．

10.

與二次型的矩陣A既合同又相似的矩陣是______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]f(x1，x2，x3)=xTAx，其中，矩陣A的特征多項式為由|λE-A|=0，得A的特征值為1，-1，5．故與二次型f(x1，x2，x3)既合同又相似的矩陣為．應選D．

11.

若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)內f'(x)＞0，f"(x)＞0，則在(-∞，0)內______．A.f'(x)＜0，f"(x)＜0B.f'(x)＜0，f"(x)＞0C.f'(x)＞0，f"(x)＜0D.f'(x)＞0，f"(x)＞0正確答案：C[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅰ)

[解析]因為f(x)為奇函數，所以f'(x)為偶函數，故在(-∞，0)內有f'(x)＞0，因為f"(x)為奇函數，所以在(-∞，0)內有f"(x)＜0，故選C．

12.

設α1，α2，…，αs是s個n維向量，下列論斷正確的是______．A.αs不能由α1，α2，…，αs-1線性表出，則向量組α1，α2，…，αs線性無關B.已知存在不全為零的k1，k2，…，ks-1，使得k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+0αs=0，則αs不能由α1，α2，…，αs-1線性表出C.α1，α2，…，αs線性相關，則任一向量均可由其余向量線性表出D.α1，α2，…，αs線性相關，αs不能由α1，α2，…，αs-1線性表出，則α1，α2，…，αs-1線性相關正確答案：D[考點]向量

[解析]選項A錯誤．取α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，1)，雖然α3不能由α1，α2線性表出，但α1，α2，α3線性相關．

選項B錯誤．取α1=(1，1)，α2=(2，2)，α3=(3，3)，有2α1-α2+0α3=0，但又有α3=α1+α2．

選項C錯誤．取α1=(0，0)，α2=(1，0)線性相關，α1可由α2線性表出，但α2不能由α1線性表出．

選項D正確．若α1，α2，…，αr-1線性無關，而已知α1，α2，…，αs線性相關，故αs必可由α1，α2，…，αs-1線性表出(且表出方法唯一)，這與已知矛盾，故α1，α2，…，αs-1線性相關．

13.

設α1，α2，α3，α4為四維非零列向量組，令A=(α1，α2，α3，α4)，Ax=0的通解為x=k(0，-1，3，0)T，則A*x=0的基礎解系為______．A.α1，α3B.α2，α3，α4C.α1，α2，α4D.α3，α4正確答案：C[考點]線性方程組

[解析]記ξ=(0，-1，3，0)T，則Ax=0的通解為x=kξ．注意到A有四列，于是r(A)=3，進而又有r(A*)=1，所以A*x=0的基礎解系中含有三個向量．

由于A*A=|A|E=0，即A*(α1，α2，α3，α4)=(A*α1，A*α2，A*α3，A*α4)=0，所以α1，α2，α3，α4為A*x=0的一組解．

注意到Aξ=0，即0α1+(-1)α2+3α3+0α4=0，亦即-α2+3α3=0，所以α2，α3線性相關，從而α1，α2，α4線性無關．即此時已經證得：

(1)A*x=0的基礎解系中含有三個向量；

(2)α1，α2，α4為A*x=0的一組解；

(3)α1，α2，α4線性無關．

故α1，α2，α4為A*x=0的一個基礎解系，應選C．

14.

設向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2，且向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅰ)線性表出，則______．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩為r1+r2B.向量組α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩為r1-r2C.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r2D.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1正確答案：D[考點]向量

[解析]因為向量組β1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表出，所以向量組α1，α2，…，αs與向量組{α1，α2，…，αs；β1，β2，…，βs}等價，應選D．

15.

設向量β可由向量組α1，α2，…，αs線性表出，但不能由向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs-1線性表出，記向量組(Ⅱ)：α1，α2，…，αs-1，β，則αs______．A.不能由(Ⅰ)線性表出，也不能由(Ⅱ)線性表出B.不能由(Ⅰ)線性表出，但可由(Ⅱ)線性表出C.可由(Ⅰ)線性表出，也可由(Ⅱ)線性表出D.可由(Ⅰ)線性表出，但不能由(Ⅱ)線性表出正確答案：B[考點]向量

[解析]β可由向量組α1，α2，…，αs線性表出，不能由α1，α2，…，αs-1線性表出，即存在數k1，k2，…，ks-1，ks，使得β=k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+ksαs，且ks≠0，故

ksαs=β-k1α1-k2α2-…-ks-1αs-1

即αs可由β，α1，α2，…，αs-1線性表出，但不能由α1，α2，…，αs-1線性表出．應選B．

16.

設向量組α1，α2，α3線性無關，向量β1可由α1，α2，α3線性表出，向量β2不能由α1，α2，α3線性表出，則必有______．A.α1，α2，α3，β1線性無關B.α1，α2，α3，β2線性相關C.α1，α2，α3，β2-β1線性相關D.α1，α2，α3，β2-β1線性無關正確答案：D[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]由于β1可由α1，α2，α3線性表出，不妨設β1=k1α1+k2α2+k3α3．

選項A錯誤．因為α1，α2，α3，β1線性相關．

選項B錯誤．因為β2不能由α1，α2，α3線性表出，且α1，α2，α3線性無關，所以α1，α2，α3，β2線性無關．

選項D正確．因為

而，所以α1，α2，α3，β2-β1線性無關．應選D．

17.

設f(x)在(-∞，+∞)內有定義，且，若設，則______．A.x=0必是g(x)的第一類間斷點B.x=0必是g(x)的第二類間斷點C.x=0必是g(x)的連續(xù)點D.g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關正確答案：D[考點]函數、極限

18.

設A是n階矩陣，下列結論正確的是______．A.A，B都不可逆當且僅當AB不可逆B.r(A)＜n，r(B)＜n當且僅當r(AB)＜nC.Ax=0與Bx=0同解當且僅當r(A)=r(B)D.A相似于B當且僅當λE-A相似于λE-B正確答案：D[考點]特征值與特征向量

[解析]選項A，B錯誤．

取

顯然不可逆，但可逆，排除A；又顯然r(AB)＜2，但r(A)=2，排除B；

選項C錯誤．取

則r(A)=r(B)=2，但顯然B對應的線性方程組Bx=0有三個未知量，而A對應的線性方程組Ax=0有兩個未知量，故Ax=0，Bx=0不可能同解!即使B為n階矩陣，C亦不成立；如取

選項D正確．若A相似于B，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，于是

P-1(λE-A)P=λE-P-1AP=λE-B

即λE-A相似于λE-B；

反之，若λE-A相似于λE-B，即存在可逆矩陣P，使得

P-1(λE-A)P=λE-B

整理得

λE-P-1AP=λE-B

即P-1AP=B．

19.

設A為可逆的實對稱矩陣，則二次型xTAx與xTA-1x______．A.規(guī)范形與標準形都不一定相同B.規(guī)范形相同，但標準形不一定相同C.標準形相同，但規(guī)范形不一定相同D.規(guī)范形和標準形都相同正確答案：B[考點]二次型

20.

若A為n階半正定陣，x是n維列向量，則對于線性方程組(Ⅰ)：xTAx=0與(Ⅱ)：Ax=0______．A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正確答案：A[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]應選A．令ω1={x|xTAx=0}，ω2={x|Ax=0)．只需證ω1=ω2．

顯然．下證，由A半正定，故存在n階矩陣C，使得A=CTC，于是

從而Cx0=0，于是0=CTCx0=Ax0，故x0∈ω2，即．因此ω1=ω2．

21.

設A為n階實矩陣，AT是A的轉置矩陣，則對于線性方程組Ax=0和ATAx=0，必有______．A.ATAx=0的非零解是Ax=0的解，Ax=0的非零解也是ATAx=0的解B.ATAx=0的非零解是Ax=0的解，Ax=0的非零解不是ATAx=0的解C.Ax=0的非零解不是ATAx=0的解，ATAx=0的非零解也不是Ax=0的解D.Ax=0的非零解是ATAx=0的解，ATAx=0的非零解不是Ax=0的解正確答案：A[考點]線性方程組

[解析]設向量x0是方程組Ax=0的任意一個解，用該方程組的兩邊左乘AT，得

ATAx0=0

可見x0也是方程組ATAx=0的解，即Ax=0的解都是ATAx=0的解．

反之，設x0是ATAx=0的任意一個解，即ATAx=0，上式兩邊左乘，得

即(Ax0)TAx0=0或||Ax0||2=0，由向量內積的性質可知Ax0=0，這說明方程組ATAx=0的解也都是Ax=0的解．故選A．

22.

設A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，r(AB)=r，則______．A.r＞mB.r=mC.r＜mD.r≥m正確答案：C[考點]矩陣

[解析]顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m．故選C．

23.

設實二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中A=(aij)n×n是實對稱矩陣，則f(x1，x2，…，xn)為正定二次型的充要條件為______．A.A*是正定矩陣B.A-1是正定矩陣C.f(x1，x2，…，xn)的負慣性指數為零D.存在n階實對稱矩陣C，使得A=CTC正確答案：B[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]選項A錯誤．A*正定是A正定的必要條件，但不充分，如

A*是正定矩陣，但A不是正定矩陣．

選項B正確．因A正定，且A為實對稱矩陣，有AT=A，且A的特征值λ＞0．兩邊求逆，得

(AT)-1=A-1=(A-1)T

所以A-1是實對稱的，且其特征值，故A-1是正定矩陣．

反之，因A-1正定，故(A-1)T=A-1，且A-1的特征值μ＞0．兩邊求逆，得AT=A，A為實對稱矩陣，且A的特征值，故A是正定矩陣．故A正定A-1正定．

選項C錯誤．f的負慣性指數為零，但正慣性指數不一定為n，即可能p=r(f)＜n．

選項D錯誤．A正定在n階實可逆矩陣C，使A=CTC，但D中，C沒有要求可逆，故不成立，例如取

此時，|A|=0，A不正定．

24.

已知二次型的規(guī)范形為，則______A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=2正確答案：D[考點]二次型

[解析]f(x1，x2，x3)=xTAx，其中，A的特征多項式為

由|λE-A|=0，得A的特征值為λ1=a，λ2=a-2，λ3=a+1，故a+1＞a＞a-2．因為f的規(guī)范形為，所以r(f)=2，且正慣性指數為2，因此A的特征值2個為正，1個為0，于是

a+1＞0，a＞0，a-2=0

故a=2．故選D．

[考點]二次型

25.

當x→0時，是______．A.無窮小量B.無窮大量C.有界的，但不是無窮小量D.無界的，但不是無窮大量正確答案：D[考點]函數、極限

26.

當x→0+時，若均是比x高階的無窮小，則α的取值范圍是______．

A．(2，+∞)

B．(1，2)

C．

D．正確答案：B[考點]函數、極限

[解析]因為

所以α-1＞0，即α＞1．

又因為

所以，即α＜2．

故選B．

27.

設A是n階矩陣，α是n維列向量，若，則線性方程組______．

A．Ax=α必有無窮多解

B．Ax=α必有唯一解

C．僅有零解

D．必有非零解正確答案：D[考點]線性方程組

[解析]由于，故r(A)=r(A，α)，于是Ax=α必有解，但具體是只有唯一解還是無窮多解無法確定．

又因，故必有非零解，選項D正確．

28.

已知二次型的正慣性指數為2，則a的取值范圍為______A.[0，+∞)B.(-∞，0]C.[1，2)D.[2，3]正確答案：A[考點]二次型

[解析]f(x1，x2，x3)=xTAx，其中，A的特征多項式由|λE-A|=0，得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-2a．由于f的正慣性指數為2，所以A的特征值2個為正，而λ1=λ2=2＞0，所以λ3=-2a≤0，a≥0．應選A．

29.

具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3階常系數齊次方程為______．A.y"'-y"-y'+y=0B.y"'+y"-y'-y=0C.y"'-6y"+11y'-6y=0D.y"'-2y"-y'+2y=0正確答案：B[考點]常微分方程

[解析]由題設知，所求方程的特征方程的根為r1=r2=-1，r3=1，則其特征方程為(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0．

故所求方程為

y"'+y"-y'-y=0

故選B．

30.

設線性無關的函數y1，y2，y3都是二階非齊次線性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數，則該非齊次線性微分方程的通解是______．A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3正確答案：D[考點]常微分方程

[解析]C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3其中y1-y3和y2-y3是對應齊次方程的兩個線性無關的解，又y3是非齊次方程的特解，所以D是原方程的通解．

31.

設A是n階矩陣，交換A的第i行與第j行得到B，再交換B的第i列與第j列得到C，則下列結論中，正確的個數有______．

(1)|A|=|B|；

(2)r(A)=r(B)；

(3)A與B等價；

(4)A與C相似；

(5)A與C合同．A.2個B.3個C.4個D.5個正確答案：C[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]設n階單位矩陣交換第i行與第j行之后所得到的初等矩陣為Eij．

顯然(1)不正確；

r(A)=r(B)，A與B等價，(2)(3)正確；

又，所以

從而A與C相似，A與C合同，(4)(5)正確．

綜上所述，應選C．

32.

設A=(aij)n×n=(α1，α2，…，αn)，且A不可逆，A11≠0，其中A11是|A|的元素a11的代數余子式，k1，k2，…，kn為任意常數，A*為A的伴隨矩陣，則齊次線性方程組A*x=0的通解為______A.k1α1B.k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1C.k2α2+k3α3+…+knαnD.knαn正確答案：C[考點]矩陣、向量、方程組

[解析]因為A不可逆，所以|A|=0，從而r(A)＜n，又A11≠0，r(A)≥n-1，于是r(A)=n-1．故r(A*)=1，A*x=0的基礎解系中含有n-r(A*)=n-1個線性無關的向量．排除選項A，D．

由A*A=|A|E=0知，A的列向量就是A*x=0的解向量，因為A11≠0，所以α2，α3，…，αn線性無關，故A*x=0的通解為k2α2+k3α3+…+knαn．應選C．

33.

向量組α1，α2，…，αm線性無關的充分必要條件是______．A.存在向量β，使得向量組α1，α2，…，αm，β線性無關B.存在一組不全為零的常數k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C.向量組α1，α2，…，αm的維數大于其個數D.向量組α1，α2，…，αm的任意一個部分向量組線性無關正確答案：D[考點]向量

[解析]選項A錯誤．取，但對任意的β，α1，α2，β線性相關，可排除A；

選項B錯誤．取，k1=k2=1，可排除B；

選項C錯誤．取，可排除C；

選項D正確．若α1，α2，…，αm無關，則它的任意部分組無關；反之也成立(因為任意部分組已包含α1，α2，…，αm)．

34.

已知A是三階實對稱不可逆矩陣，且Aα=3α，Aβ=β，其中α=(1，2，3)T，β=(5，-1，t)T，則下列結論中，正確的個數為______．

(1)A必可相似對角化；

(2)必有t=-1；

(3)γ=(1，16，-11)T是A的特征向量；

(4)|A-E|=0．A.1個B.2個C.3個D.4個正確答案：D[考點]特征值、特征向量及二次型

[解析]由于實對稱矩陣一定可相似對角化，故(1)正確；

由已知條件知λ1=3，λ2=1是實對稱不可逆矩陣A的特征值，對應的特征向量分別為α，β，從而α，β必正交，即

αTβ=1×5+2×(-1)+3t=3+3t=0

故t=-1，(2)正確；

由

αTγ=1×1+2×16+3×(-11)=0

βTγ=5×1+(-1)×16+(-1)×(-11)=0

知γ=(1，16，-11)T是A的特征向量，(3)正確．

由|A|=0，知λ3=0是A的特征值，從而A-E的特征值為2，0，-1，故|A-E|=0，(4)正確．應選D．

35.

設A是三階矩陣，B是四階矩