考研數(shù)學(xué)二分類模擬233

考研數(shù)學(xué)二分類模擬233解答題1.

設(shè)a＞0，0＜x1＜a，，n∈N+，證明：{xn)收斂，并求極限．正確答案：證明：因?yàn)椋?/p>

xn＜a

(n∈N+)

①

由于0＜x1＜a以及，可知

xn＞0

(n=2，3，…)

②

故可作商比較其單調(diào)性，，即xn+1＞xn，所以{xn}單調(diào)遞增，且有上界，故存在，記．

注意到0＜x1≤b，再由，兩邊取極限，得

由式③解得b=a．所以．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

2.

求極限，其中．正確答案：解：因?yàn)?/p>

而

同樣地，有

由①②③及夾逼準(zhǔn)則知，．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

3.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0，f"(η)=0．正確答案：證明：先用反證法證明f(ξ)=0，若對(duì)一切x∈(a，b)，有f(x)≠0，不妨設(shè)f(x)＞0(同理可證f(x)＜0的情況)，則

所以f'(a)f'(b)≤0，與題設(shè)矛盾，故，使得f(ξ)=0．

由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0，在[a，ξ]與[ξ，b]上分別應(yīng)用羅爾中值定理，則存在ξ1∈(a，ξ)，ξ2∈(ξ，b)，使得f'(ξ1)=0=f'(ξ2)，在[ξ1，ξ2]上再次應(yīng)用羅爾中值定理，存在，使得f"(η)=0．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

設(shè)(其中a，b，c是整數(shù))是奇函數(shù)，且在[1，+∞)上單調(diào)遞增，f(1)=2，f(2)＜3．4.

求a，b，c的值；正確答案：解：由于f(x)是奇函數(shù)，-f(x)=f(-x)，，解得c=0．再由f(1)=2，可得a=2b-1．因f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=2，則，將a=2b-1代入該不等式再整理，可得．

又因?yàn)閎是整數(shù)，所以b=1，從而a=1，即a=1，b=1，c=0．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

5.

求f(x)在(0，1)上的單調(diào)性．正確答案：解：由第一小題知，，則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，．所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

6.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且對(duì)任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，滿足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f'(0)=a≠0．試證對(duì)任意x∈(-∞，+∞)，f'(x)存在，并求f(x)．正確答案：解：由等式

f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex

得

f(x)=f(x)+f(0)ex

所以f(0)=0．那么對(duì)于任意x∈(-∞，+∞)，有

于是

即

f'(x)=f(x)+f'(0)ex

解這個(gè)一階線性微分方程，得

f(x)=ex(ax+C)

再由f(0)=0，可得f(x)=axex．[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

7.

求的極值．正確答案：解：，令y'=0得，因?yàn)椋?dāng)x＜0時(shí)，y'＞0；當(dāng)時(shí)，y'＞0；當(dāng)時(shí)，y'＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y'＞0．所以．當(dāng)x=0時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值；當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極小值y=0．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

8.

設(shè)，求．正確答案：解：當(dāng)x=0時(shí)，xn≡1，所以．

當(dāng)x≠0時(shí)，注意到sin2α=2sinα·cosα，將右端乘以并除以，此時(shí)反復(fù)利用二倍角公式即可得

所以

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

9.

設(shè)，且AX+|A|E=A*+X，求X.正確答案：解：由AX+|A|E=A*+X，得

(A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*

因?yàn)閨E-A|=-3≠0，所以E-A可逆，于是X=-A*．

由|A|=6得X=-6A-1，計(jì)算得，于是

[考點(diǎn)]矩陣

10.

．正確答案：解：設(shè)，通分后應(yīng)有x≡A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)，在恒等式中，令x=-1，得-1=2A，；令x=-2，得-2=-B，B=2；令x=-3，得-3=2C，．于是

[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

11.

設(shè)，且Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，求Ax=0的通解．正確答案：解：

因?yàn)閞(A)=2，所以t=1，方程組的通解為

[考點(diǎn)]線性方程組

12.

設(shè)二次型的秩為2，求a的值．正確答案：解：該二次型的矩陣為，因?yàn)樵摱涡偷闹葹?，所以|A|=0，解得．[考點(diǎn)]二次型

13.

求，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正確答案：解：令

D1={(x，y)∈D|0≤x≤1，0≤y≤x}

D2={(x，y)∈D|0≤x≤1，x≤y≤1}

所以

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微積分

14.

當(dāng)|x|≥1時(shí)，證明：．正確答案：證明：當(dāng)|x|＞1時(shí)，由于

故當(dāng)x＞1時(shí)

當(dāng)x＜-1時(shí)

下面確定常數(shù)C1與C2，令，代入前一式，得C1=π；令，代入后一式，得C2=-π．

從而，當(dāng)|x|≠1時(shí)，有

而當(dāng)|x|=1時(shí)，原式仍成立．于是當(dāng)|x|≥1時(shí)，有

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

15.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：必有ξ∈(a，b)，使．正確答案：證明：令F(x)=xf(x)，F(xiàn)'(x)=f(x)+xf'(x)．

由拉格朗日中值定理，，使

即

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

16.

計(jì)算．正確答案：解：

所以[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

17.

設(shè)f(x)在(0，+∞)上連續(xù)可微，且f(0)=1，x≥0時(shí)，f(x)＞|f'(x)|，證明：x＞0時(shí)，ex＞f(x)．正確答案：證明：由于當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＞|f'(x)|，即-f(x)＜f'(x)＜f(x)．

當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)＞0，故有，兩邊從0到x積分得

其中x＞0，注意到f(0)=1，從而可得lnf(x)＜x，即ex＞f(x)．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

18.

設(shè)函數(shù)f(x)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的x0∈I，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且f(0)=2，求f(x)的表達(dá)式．正確答案：解：曲線在x=x0處的切線為

l：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

令y=0，得，得l與x軸的交點(diǎn)為，則

其中A=(x0，0)．因此三角形面積

即滿足微分方程，解得

又因y(0)=2，所以，故．[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

19.

設(shè)A，B分別為3×2和2×3實(shí)矩陣，若，求BA.正確答案：解1：由于r(AB)=2，故A是列滿秩的，B是行滿秩的．所以存在可逆矩陣P3×3，Q3×3，使得

于是

一方面

另一方面

結(jié)合①②可得

進(jìn)而有

此時(shí)利用分塊矩陣的乘法，可得式③左端為，右端為，所以BA=9E2．

解2：由A，B分別列滿秩，行滿秩，存在C2×3，D3×2，使得CA=E2=BD．

又由(AB)2=9(AB)，得

B