考研數(shù)學(xué)二分類模擬239

考研數(shù)學(xué)二分類模擬239解答題1.

求．正確答案：解：設(shè)，通分后應(yīng)有2x+3≡A(x+5)+B(x-2)．在這個恒等式中，令x=2★，得7=7A，A=1；令x=-5，得-7=-7B，B=1．

于是

★的說明：這是一種習(xí)慣的說法，實際上，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論上來講，不能直接令x=2(因為2x+3≡A(x+5)+B(x-2)是由變形而得到，即該恒等式是當(dāng)x≠2及x≠-5時得出來的)，而應(yīng)令x→2取極限，得7=7A．[考點]不定積分、定積分、反常積分

2.

設(shè)f(x)=a0+a1x+…+amxm，A是一個n階矩陣，定義

f(A)=a0En+a1A+…+amAm

稱矩陣f(A)是A的一個多項式．證明：如果A～B，那么f(A)～f(B)．正確答案：證明：設(shè)A～B，則存在n階可逆矩陣P，使得B=P-1AP．從而

f(B)=a0En+a1B+…+amBm

=a0En+a1P-1AP+…+amP-1AmP

=P-1(a0En+a1A+…+amAm)P

=P-1f(A)P

因此f(A)～f(B)．[考點]特征值與特征向量

3.

求．正確答案：解：令f(x)=arctanx，由拉格朗日中值定理得

其中，則

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

4.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，計算，α≠0，β≠0．正確答案：解：

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

從點(x0，0)向位于(0，0)的敵機(jī)發(fā)射導(dǎo)彈，發(fā)射導(dǎo)彈向飛機(jī)擊去，其中x0＞0．若導(dǎo)彈的速度方向始終指向飛機(jī)，其速度大小為常數(shù)2v．5.

求導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件；正確答案：解：設(shè)導(dǎo)彈在t時刻的坐標(biāo)為A(x(t)，y(t))，其運(yùn)行軌跡方程為y=y(x)．在某時刻t≥0，飛機(jī)的位置為B(0，vt)，因為導(dǎo)彈的速度方向始終指向飛機(jī)，從而在t時刻導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡曲線的切線斜率與線段AB的斜率相等，于是有

即

上式兩邊對x求導(dǎo)，得

因為導(dǎo)彈的速度為2v，所以有

代入①，可得

y=y(x)所滿足的初始條件為y(x0)=0，y'(x0)=0．[考點]常微分方程及其應(yīng)用

6.

求導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡方程及導(dǎo)彈自發(fā)射到擊中目標(biāo)所需要的時間T.正確答案：解：令，則上述微分方程可變?yōu)?/p>

解得

即

解得導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡方程為

當(dāng)導(dǎo)彈擊中飛機(jī)時x=0，代入上式得，令vT-y(0)=0得，即為導(dǎo)彈擊中飛機(jī)所需時間．[考點]常微分方程及其應(yīng)用

7.

求曲線y=x2ln(ax)(a＞0)的拐點M，并求當(dāng)a變動時拐點M的軌跡方程．正確答案：解：

令y"=0，得，此時，所以拐點為．當(dāng)a變動時M的軌跡為．[考點]一元函數(shù)微積分

8.

證明：設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩為r(r＜n)，其中A=(aij)nn．如果δ1，δ2，…，δm都是齊次線性方程組Ax=0的解向量，那么

r{δ1，δ2，…，δm}≤n-r正確答案：證明：取齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系：η1，η2，…，ηn-r．由于δ1，δ2，…，δm都是齊次線性方程組Ax=0的解向量，因此δ1，δ2，…，δm可以由η1，η2，…，ηn-r線性表出．從而r{δ1，δ2，…，δm}≤r{η1，η2，…，ηn-r}=n-r．[考點]線性方程組

9.

如圖所示，設(shè)有曲線，過原點作其切線，求此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積．

正確答案：解：先求切線方程：在(x0，y0)處的切線為，將(x，y)=(0，0)代入，解得x0=2，，則切線方程為(0≤x≤2)，繞x軸的旋轉(zhuǎn)面面積為

而由直線段繞x軸的旋轉(zhuǎn)面面積為

由此，旋轉(zhuǎn)體的表面積為．[考點]一元函數(shù)微積分

10.

設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻．試求物體溫度隨時間t的變化規(guī)律．正確答案：解：根據(jù)冷卻定律：物體溫度的變化率與物體和當(dāng)時空氣溫度之差成正比，設(shè)物體的溫度T與時間t的函數(shù)關(guān)系為T=T(t)，則可建立起函數(shù)T(t)滿足的微分方程

其中k(k＞0)為比例常數(shù)．分離變量，得

兩邊積分

得

ln|T-20|=-kt+C1(其中C1為任意常數(shù))

即

T-20=±e-kt+C1=±eC1e-kt=Ce-kt(其中C=±eC1)

從而T=20+Ce-kt，再將條件T|t=0=100代入，得C=100-20=80，于是，所求規(guī)律為T=20+80e-kt．

注物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用．例如，警方破案時，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時的溫度推斷這個人的死亡時間，就可以利用這個模型來計算解決，等等．[考點]常微分方程及其應(yīng)用

11.

設(shè)f(x)在R上連續(xù)，單調(diào)遞減，證明：f(x)≡0，x∈R.正確答案：證明：令，則，而φ(0)=0．

若φ(x)不恒為零，由φ(0)=0以及φ(x)單調(diào)遞減，可知，使φ(x0)＜0．

從而對，有φ(x)≤0，且．

事實上

矛盾，故當(dāng)x＞0時，φ(x)≡0．

同理可證，當(dāng)x≤0時φ(x)≡0．所以對，F(xiàn)(x)為常函數(shù)，則等于一個常數(shù)，不妨設(shè)．兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)，可得f(x)≡0，x∈R．[考點]一元函數(shù)微積分

12.

證明：函數(shù)在定義域內(nèi)有界．正確答案：證明：顯然f(x)的定義域為(-∞，+∞)．

因為

所以f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有界，且2是一個上界．[考點]函數(shù)、極限

設(shè)y=f(x)在(-1，1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f"(x)≠0，試證：13.

對于(-1，1)內(nèi)任意非零的x，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)成立；正確答案：證明：對任意非零x∈(-1，1)，由拉格朗日中值定理，得

f(x)-f(0)=xf'[θ(x)x](0＜θ(x)＜1)

即

f(x)=f(0)+xf'[θ(x)x]①

由于f"(x)在(-1，1)內(nèi)連續(xù)且f"(x)≠0，因此f"(x)在(-1，1)內(nèi)不變號，不妨設(shè)f"(x)＞0，則f'(x)在(-1，1)內(nèi)單調(diào)遞增，故θ(x)是唯一的．[考點]一元函數(shù)微積分

14.

．正確答案：證明：由麥克勞林公式，得

ξ介于0與x之間，由式①可知

所以

而．又當(dāng)x→0時，ξ→0，由f"(x)的連續(xù)性，得

在式②中，令x→0，得．[考點]一元函數(shù)微積分

15.

計算n階行列式

正確答案：解：當(dāng)x=0時，Dn=(-1)n+1·an·(-1)n-1=an．

當(dāng)x≠0時，分別令

以及d=x+a1．

由于，|A|=xn-1≠0，所以

注當(dāng)x≠0時，上述

[考點]行列式

16.

設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使線性方程組Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，證明：向量組α，Aα，…，Ak-1α線性無關(guān)．正確答案：證明：設(shè)

λ1α+λ2Aα+…+λkAk-1α=0①

對式①兩端左乘Ak-1，得

λ1Ak-1α+λ2Akα+…+λkA2k-2α=0

由題設(shè)條件Akα=0，知Ak+1α=Ak+2α=…=A2k-2α=0，從而得

λ1Ak-1α=0

又Ak-1α≠0，故λ1=0，代入式①得

λ2Aα+λ3A2α+…+λkAk-1α=0②

將式②兩端左乘Ak-2，同上可證λ2=0．同理可證λ3=λ4=…=λk=0，從而證得α，Aα，A2α，…，Ak-1α線性無關(guān)．[考點]向量

17.

求函數(shù)在點(1，-1，1)處的全微分．正確答案：解：先求u在點(1，-1，1)處的三個偏導(dǎo)數(shù)

易知此函數(shù)在(x，y，z)≠(0，0，0)處可微，從而按全微分公式可得

[考點]多元函數(shù)微積分

18.

設(shè)n階方陣A滿足A2=E，證明：A一定能相似于對角矩陣．正確答案：證明：設(shè)λ是A的任一特征值，ξ是A對應(yīng)于λ的特征向量，則Aξ=λξ，從而

A2ξ=λAξ=λ2ξ=Eξ=ξ，ξ≠0

故有λ2=1，λ=±1，即A的特征值可能取1或-1．

由A2=E，得

E-A2=(E-A)(E+A)=0

r(E-A)+r(E+A)≤n

r(E-A)+r(E+A)≥r(E-A+E+A)=r(2E)=n

故

r(E-A)+r(E+A)=n

設(shè)r(E-A)=r，則

r(E+A)=n-r

由

(E-A)(E+A)=0

知，E+A的n-r列線性無關(guān)向量是A的對應(yīng)于λ-1的特征向量，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξn-τ．

又

(E+A)(E-A)=-(-E-A)(E-A)=0

E-A的r列線性無關(guān)向量是A的對應(yīng)于λ=-1的特征向量，設(shè)為η1，η2，…，ηr．

取P=(ξ1，ξ2，…，ξn-r，η1，η2，…，ηr)，則有

得證

[考點]特征值、特征向量及二次型

19.

設(shè)向量組α1，α2，…，αn為兩兩正交的非零向量組，證明：α1，α2，…，αn線性無關(guān)，舉例說明逆命題不成立．正確答案：證明：令k1α1+k2α2+…+knαn=0，由α1，α2，…，αn兩兩正交及(α1，k1α1+k2α2+…knαn)=