考研數(shù)學(xué)二分類模擬263

考研數(shù)學(xué)二分類模擬263解答題已知微分方程y'+y=f(x)，其中f(x)是R上的連續(xù)函數(shù)．1.

若f(x)=x，求方程的通解．正確答案：解：y=e-∫dx(∫xe∫dxdx+C)=e-x(∫x（江南博哥）exdx+C)=e-x(xex-ex+C)=Ce-x+x-1．[考點(diǎn)]一階線性方程的求解，積分等式的證明．

[解析]根據(jù)一階線性方程的解法求解即可．

一階線性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解可用

來表示，用于證明積分等式或不等式．

2.

若f(x)是周期為T的函數(shù)，證明：方程存在唯一的以T為周期的解．正確答案：證明：y'+y=f(x)的通解為

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，y(x+T)=y(x)，從而方程存在唯一的以T為周期的解．

[解析]應(yīng)先求出y'+y=f(x)的通解y(x)，再確定滿足y(x+T)=y(x)的唯一常數(shù)C．

3.

設(shè)A，B為2階實(shí)對稱矩陣，且B可逆，若二次型f(x1，x2)=xTAx和g(x1，x2)=xTBx可經(jīng)過同一個(gè)非退化線性替換x=Py而化為標(biāo)準(zhǔn)形，試證明|λB-A|=0的根都是實(shí)數(shù)．正確答案：解：這里a1，a2，b1、b2都是實(shí)數(shù)，

由|λB-A|=0可得(λb1-a1)(λb2-a2)=0．

由|B|≠0可得b1b2≠0，解得均為實(shí)數(shù)．[考點(diǎn)]二次型化標(biāo)準(zhǔn)形．

[解析]二次型化標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)于二次型的矩陣合同于一個(gè)對角矩陣．

二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的過程實(shí)際上是實(shí)對稱矩陣合同于對角矩陣的過程．特別的，如果是正交變換，則實(shí)對稱矩陣與對角矩陣也是相似關(guān)系．

4.

證明二次型不能經(jīng)過同一個(gè)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形．正確答案：解：

由第一問得證．[考點(diǎn)]二次型化標(biāo)準(zhǔn)形．

5.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，對任意的x1，x2有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f'(0)=1，求f(x)．正確答案：解：對任意的x∈(-∞，+∞)，由導(dǎo)數(shù)定義得

由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0)=0，從而

由此得f(x)=x+C．再由f(0)=0可知C=0，故f(x)=x．[考點(diǎn)]函數(shù)方程確定微分方程．

[解析]利用已知遞推公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求解．

當(dāng)函數(shù)方程中出現(xiàn)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)等形式的關(guān)系式時(shí)，經(jīng)常用導(dǎo)數(shù)的定義或連續(xù)的定義求解．

6.

設(shè)二元函數(shù)

計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正確答案：解：如下圖所示，記

D1={(x，y)|x+y≤2，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|x2+y2≤2，x≥0，y≥0}，

則

其中，

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可先分割積分區(qū)域，再分別利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)來計(jì)算兩個(gè)不同區(qū)域上的二重積分．

當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)，可通過分割積分區(qū)域來計(jì)算二重積分．

7.

設(shè)0＜x1＜3，，證明數(shù)列{xn}收斂，并求此極限．正確答案：解：先證明數(shù)列{xn}的有界性，由0＜x1＜3得3-x1＞0，且

不妨令，則有

由數(shù)學(xué)歸納法知，{xn}有界．

再證明數(shù)列{xn}的單調(diào)性，當(dāng)n≥2時(shí)，由

有xn+1≥xn，故數(shù)列{xn}單調(diào)增加．

由單調(diào)有界原理知，數(shù)列{xn}收斂，令，在遞推公式兩邊取極限，得a=[考點(diǎn)]數(shù)列極限、單調(diào)有界原理．

[解析]利用結(jié)論：單調(diào)有界數(shù)列必收斂．

數(shù)學(xué)歸納法是證明題中常見的方法，特別是在數(shù)列極限求解中，還要熟記將平均值不等式a＞0，b＞0，經(jīng)常用來證明數(shù)列的有界性．

求函數(shù)極限：8.

．正確答案：解：這是∞-∞型未定式，通分并進(jìn)行等價(jià)無窮小代換得

[考點(diǎn)]∞-∞型未定式的極限求解．

[解析]通分結(jié)合等價(jià)無窮小代換求解函數(shù)極限．

對于∞-∞型未定式的極限求解，先通分化差為積商，再利用等價(jià)無窮小代換和洛必達(dá)法則．在求解過程中可以通過極限來確定復(fù)雜函數(shù)的等價(jià)無窮?。?/p>

9.

正確答案：解：因?yàn)椋畯亩?/p>

[考點(diǎn)]∞-∞型未定式的極限求解．

10.

證明：正確答案：證明：令f(x)=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1]．由于故f(x)=C．又因?yàn)閇考點(diǎn)]拉格朗日中值定理．

[解析]要證明函數(shù)恒等于常數(shù)，只要證明其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒等于零．

拉格朗日中值定理的推論：在某區(qū)間I上，對任意的x∈I，有f'(x)≡0，則f(x)=C．類似的可證明如下結(jié)論：

11.

設(shè)函數(shù)求函數(shù)f(x)的具體表達(dá)式并討論其連續(xù)性．正確答案：解：(1)顯然f(x)在x=0和x=-1處無定義，，所以

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x＜0且x≠-1時(shí)，

(2)

因?yàn)椋缘玣(x)在x=0處無定義，所以x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)．

除了x=-1和x=0兩點(diǎn)外，f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)．

又因?yàn)?/p>

所以，故x=-1是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．[考點(diǎn)]函數(shù)連續(xù)性判斷．

[解析]求極限確定函數(shù)的表達(dá)式，討論函數(shù)的連續(xù)性．

有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=φ(y)(y≥0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(見下圖)，容器底面圓的半徑為2m．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以πm2/min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體)．

(注：m表示長度單位米，min表示時(shí)間單位分．)12.

根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與φ(y)之間的關(guān)系式．正確答案：解：由πφ2(y)=47π+πt得t=φ2(y)-4.[考點(diǎn)]微分方程的物理應(yīng)用．

[解析]如下圖所示，由“液面的面積以πm2/min的速率均勻擴(kuò)大”可知t時(shí)刻液面的面積為4π+πt，即πφ2(y)=4π+πt，

由“以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體”可知t時(shí)刻液體的體積為3t，即．兩邊對y求導(dǎo)就能得到一個(gè)可分離變量的微分方程．

本題的關(guān)鍵在于根據(jù)物理背景列出微分方程．

13.

求曲線x=φ(y)的方程．正確答案：解：由題意知，兩邊對y求導(dǎo)，得πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，即πφ(y)=6φ'(y)．解此微分方程，得

令y=0得φ(0)=2，從而C=2．

故所求曲線方程為[考點(diǎn)]微分方程的物理應(yīng)用．

14.

設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且正確答案：解：在φ(x2，esinx，z)=0兩邊對x求導(dǎo)，得

[考點(diǎn)]多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，一元隱函數(shù)的求導(dǎo)．

[解析]本題可看作f有三個(gè)中間變量x，y，z，且y，z都與x有關(guān)．

本題的關(guān)鍵在于理清f的復(fù)合結(jié)構(gòu)．

15.

設(shè)向量組α1=(1，2，-1，1)，α2=(1，3-1，2)，α3=(2，5，0，5)，α4=(1，2，1，3)，α5=(5，12，1，13)，試求出所有的極大線性無關(guān)組．正確答案：解：記，對A進(jìn)行初等行變換，有

選定B的前3行，明顯取B的1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5或1，4，5列得到的3階子式均非零，所以

α1，α2，α3；α1，α2，α4；α1，α2，α5；α1，α3，α4；α1，α3，α5；α1，α4，α5

①

均為原向量組的極大線性無關(guān)組，而若取B的2，3，4；2，3，5；2，4，5或3，4，5列得到的3階子式均為零，則對應(yīng)的α2，α3，α4；α2，α3，α5；α2，α4，α5；α3，α4，α5均不構(gòu)成原向量組的極大線性無關(guān)組，即式①所列出的6個(gè)向量組為原向量組的所有極大線性無關(guān)組．[考點(diǎn)]求極大線性無關(guān)組．

[解析]將向量組按列拼成矩陣，作初等行變換，化為行最簡形．

雖然向量組的極大線性無關(guān)組未必唯一，但是任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組是等價(jià)的，所以只需求出一個(gè)即可，但是本題要求求出所有的，因此為了更好地判別向量的線性相關(guān)性，這里將向量組按列拼成的矩陣化為了行最簡形．

16.

在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)處的法線段PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸平行．正確答案：解：曲線在點(diǎn)P(x，y)處的法線為．令Y=0，則X=x+yy'，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+yy'，0)，從而PQ的長度為

由題意知，從而yy"=1+(y')2．

令y'=p(y)，則解得p2=C1y2-1．

由y|x=1=1，y'|x=1=0得C1=1，故

由y|x=1=1得，故所求曲線方程為[考點(diǎn)]微分方程的幾何應(yīng)用，曲率，可降階的微分方程的解法．

[解析]根據(jù)“曲線上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)處的法線段PQ長度的倒數(shù)”，便能得到一個(gè)形如y"=f(y，y')的可降階的微分方程．

17.

設(shè)函數(shù)u(x)和v(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明：

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)．正確答案：證明：

[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)．

[解析]利用導(dǎo)數(shù)的定義證明兩乘積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

要掌握導(dǎo)數(shù)的定義，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，寫清證明過程，并進(jìn)行推廣．

18.

設(shè)函數(shù)u1(x)，u2(x)，…，un(x)可導(dǎo)，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，試寫出f(x)的求導(dǎo)公式．正確答案：解：反復(fù)用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式．

[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)．

設(shè)二次型的矩陣是一個(gè)初等矩陣．19.

求正交變換x=Qy而化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．正確答案：解：因二次型的矩陣為初等矩陣，所以a=1．f(x1，x2，x3)=

得A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1.

當(dāng)λ1=λ2=1時(shí)，

得線性無關(guān)的特征向量ξ1=(1，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T.

當(dāng)λ3=-1時(shí)，

得線性無關(guān)的特征向量ξ3=(1，0，-1)T．

ξ1，ξ2，ξ3已相互正交，只需單位化：

即為所求正交矩陣．

記y=(y1，y2，y3)T，則經(jīng)正交變換x=Qy，有

[考點(diǎn)]正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．

[解析]利用正交變換的性質(zhì)求解．

在正交變換下，特別注意以下性質(zhì)：

(1)對角矩陣主對角線元素即為全部特征值，而正交矩陣Q的列向量即為兩兩正交且單位的特征向量．

(2)x的長度與y的長度相等，即有|x|=|y|或xTx=yTy．

本題的第二問用到了性質(zhì)(2).

20.

求三元函數(shù)的最大值．正確答案：解：由第一問，又

[考點(diǎn)]正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．

21.

已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分正確答案：解：

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分．

心形線是常用曲線，應(yīng)掌握其方程和圖形．

22.

設(shè)y(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1滿足的解．求曲線y=y(x)(1≤x≤e)的弧長．正確答案：解：由2xy'-4y=2lnx-1可變形為一階線性微分方程由求解公式得

其中C為任意常數(shù)．又由于，將其代入上式有

因此，y(x)在[1，e]上的弧長為

[考點(diǎn)]用定積分求平面曲線的弧長．

[解析]解一階線性微分方程確定曲線方程，求解曲線弧長．

23.

已知平面區(qū)域

D={(x，y)||x|≤y，(x2+y2)3≤y4}．

計(jì)算二重積分正確答案：解：由于把(-x，y)代入D后D不變，故D關(guān)于y軸對稱，從而

其中D1是D位于y軸右側(cè)的部分．

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可先利用二重積分的對稱性，再利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分．

本題難以畫出積分區(qū)域的圖形，這是很多考生確定積分限時(shí)的障礙．

24.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且正確答案：解：

[考點(diǎn)]由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)，可降階的微分方程的求解．

[解析]先根據(jù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則求出，然后通過便可得到一個(gè)形如y"=f(x，y')的可降階的微分方程．

本題具有一定的綜合性，將由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)與微分方程的求解相結(jié)合進(jìn)行考查．

25.

已知函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)有界，求常數(shù)a的范圍．正確答案：解：顯然函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，根據(jù)函數(shù)極限存在的局部有界性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)極限存在時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界．

(1)顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，

當(dāng)a＞0時(shí)，

故當(dāng)a≤2時(shí)，極限存在．

(2)當(dāng)a=1時(shí)，不妨令nπ≤x＜(n+1)π，當(dāng)x→+∞時(shí)，n→∞，此時(shí)