考研數(shù)學(xué)二分類模擬題181

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題181選擇題(下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．)1.

設(shè)三階行列式，其中aij=1或-1，i=1，2，3；j=1，2，3．則|A|的最大值是______A.3B.4C.5D.6正確答案：B[解析]由3階行列式的定義：

共6項(xiàng)．每項(xiàng)均是三個(gè)不同行、不同列的三個(gè)元素乘積，且有三項(xiàng)取正號(hào)，三項(xiàng)取負(fù)號(hào)，由題設(shè)aij=1或-1，故|A|≤6

但|A|≠6．若|A|=6，則正的三項(xiàng)中三個(gè)元素全取1或取1個(gè)1，兩個(gè)-1，總的-1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，負(fù)的三項(xiàng)中三個(gè)元素取1個(gè)或3個(gè)1，三項(xiàng)中總的-1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，又正三項(xiàng)，負(fù)三項(xiàng)各自遍歷了9個(gè)元素，和三個(gè)正項(xiàng)中-1的個(gè)數(shù)矛盾，故|A|≤5．

同樣有|A|≠5．若|A|=5，|A|的六項(xiàng)中總有一項(xiàng)的值為-1，此時(shí)|A|≤4．

而

故max{|A3×3|，aij=1或-1}=4，應(yīng)選B．

2.

中x3的系數(shù)為______A.2B.-2C.3D.-3正確答案：B[解析]按第1行展開：

其中第1，3，4項(xiàng)都沒有x3的因子，所以只分析第2項(xiàng)．

又因?yàn)榈?項(xiàng)的行列式中只有主對(duì)角線上元素的乘積是x2項(xiàng)，所以行列式展開式含x3項(xiàng)的系數(shù)是-2．

由行列式展開定理，只有a12A12這一項(xiàng)可得到x3項(xiàng)，又

所以行列式中x3項(xiàng)的系數(shù)就是-2．故應(yīng)選B．

3.

設(shè)c≠0，則等于______A.c-2mB.mC.cmD.c3m正確答案：B[解析]由

故選B．

4.

一個(gè)值不為零的n階行列式，經(jīng)過若干次矩陣的初等變換后，該行列式的值______A.保持不變B.保持不為零C.保持相同的正、負(fù)號(hào)D.可以變?yōu)槿魏沃嫡_答案：B[解析]一個(gè)值不為零的n階行列式經(jīng)三類初等變換，都保持行列式不為零．

5.

設(shè)α1，α2，α3，β1，β2都是4維列向量，且4階行列式|α1，α2，α3，β1|=m，|α1，α2，β2，α3|=n，則4階行列式|α3，α2，α1，β1+β2等于______A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n正確答案：C[解析]因

|α3，α2，α1，β1+β2|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|-|α1，α2，α3，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|+|α1，α2，β2，α3|

=n-m，

故選C．

6.

線性方程組

則______A.若方程組無解，則必有系數(shù)行列式|A|=0B.若方程組有解，則必有系數(shù)行列式|A|≠0C.系數(shù)行列式|A|=0，則方程組必?zé)o解D.系數(shù)行列式|A|≠0是方程組有唯一解的充分非必要條件正確答案：A[解析]方程組無解，則有|A|=0(反證，若|A|≠0，用克拉默法則，方程組必有解)；B項(xiàng)方程組有解，|A|可能為零，也可能不為零；C項(xiàng)|A|=0，方程組也可能有解；D項(xiàng)|A|≠0，則方程組有唯一解，反過來，若方程組有唯一解，則|A|一定不為零．

7.

線性方程組

則______A.當(dāng)a，b，c為任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解B.當(dāng)a=0時(shí)，方程組無解C.當(dāng)b=0時(shí)，方程組無解D.當(dāng)c=0時(shí)，方程組無解正確答案：A[解析]當(dāng)a=0或b=0或c=0時(shí)，方程組均有解，當(dāng)abc≠0時(shí)，系數(shù)行列式

由克拉默法則知，方程組有解，故a，b，c為任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程組均有解．

8.

設(shè)A，B是”階矩陣，則下列結(jié)論正確的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]因或|B|=0，C正確；

A項(xiàng)不正確，例：

B項(xiàng)不正確，例：

D項(xiàng)不正確，例：

9.

設(shè)n維行向量，矩陣A=E-αTα，B=E+2αTα，則AB=______A.0B.-EC.ED.E+αTα正確答案：C[解析]因?yàn)锳B=(E-αTα)(E+2αTα)=E+αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α，

其中

故

10.

設(shè)A，B是n階方陣，滿足AB=0，則必有______A.A=O或B=OB.A+B=OC.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=0正確答案：C[解析]由，故|A|=0或|B|=0．

11.

設(shè)A是n階矩陣，X是任意的n維列向量，B是任意的n階方陣，則下列說法錯(cuò)誤的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]對(duì)任意的X，有XTAX=0，可推出AT=-A，不能推出A=O．例取，對(duì)任意的X=[x1，x2]T，均有

但

12.

A，B是n階可逆方陣，則下列公式正確的是______A.(A2)-1=(A-1)2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(A+B)(A-B)=A2-B2D.(kA)-1=kA-1(k≠0)正確答案：A[解析]A項(xiàng)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；B項(xiàng)不成立，例：B=-A，A+B不可逆；C項(xiàng)中，若AB≠BA，則BA-AB≠O；D項(xiàng)中，不一定等于kA-1．

13.

設(shè)A是n階方陣，且A3=O，則______A.A不可逆，且E-A不可逆B.A可逆，但E+A不可逆C.A2-A+E及A2+A+E均可逆D.A不可逆，且必有A2=O正確答案：C[解析]因A3=O,有

E3+A3=(E+A)(A2-A+E)=E，

E3-A3=(E-A)(A2+A+E)=E，

故A2-A+E及A2+A+E均可逆，C項(xiàng)正確由以上兩式知，E-A，E+A也均可逆，故A，B項(xiàng)不成立．D項(xiàng)不成立，例有

但

14.

A是n階方陣，A*是A的伴隨矩陣，則|A*|=______A.|A|B.|A-1|C.|An-1|D.|An|正確答案：C[解析]由AA*=|A|E，兩邊取行列式，得|A||A*|=|A|n．

若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；

若|A|=0，則|A*|=0，故選C．

15.

設(shè)A是n階可逆方陣(n≥2)，A*是A的伴隨矩陣，則(A*)*=______A.|A|n-1AB.|A|n+1AC.|A|n-2AD.|A|n+2A正確答案：C[解析]由AA*=|A|E，得

A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，

其中

故

16.

A是n階矩陣，|A|=3．則|(A*)*|=______A.3(n-1)2B.3n2-1C.3n2-nD.3n-1正確答案：A[解析]因|A|=3，A可逆，則

A*(A*)*=|A*|E，

所以(A*)*=||A|n-2A|=|A|(n-2)n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．

17.

設(shè)An×n是正交矩陣，則______A.A*(A*)T=|A|EB.(A*)TA*=|A*|EC.A*(A*)T=ED.(A*)TA*=-E正確答案：C[解析]因?yàn)锳是正交矩陣，則有

18.

設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列等式中，不一定成立的是______A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2正確答案：B[解析]由矩陣乘法的分配律可知：

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，

因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要條件是BA=AB，也即A，B的乘積可交換．

由于A與A-1，A與A*以及A與E都是可交換的，故A，C，D項(xiàng)中的等式都是成立的，故選B．

19.

設(shè)A為3階非零矩陣，且滿足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij為aij的代數(shù)余子式，則下列結(jié)論：

①A是可逆矩陣；

②A是對(duì)稱矩陣；

③A是不可逆矩陣；

④A是正交矩陣．

其中正確的個(gè)數(shù)為______A.1B.2C.3D.4正確答案：B[解析]由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴隨矩陣的定義可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|-1)=0．

又由于A為非零矩陣，不妨設(shè)a11≠0，則

故|A|=1．因此，A可逆．

并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩陣，故①，④正確，③錯(cuò)誤．

從題目中的條件無法判斷A是否為對(duì)稱矩陣，故正確的只有兩個(gè)，選B．

20.

設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，且m＞n，則必有______A.|AB|=0B.|BA|=0C.|AB|=|BA|D.||BA|BA|=|BA||BA|正確答案：A[解析]由于m＞n，則有r(AB)≤r(A)≤n＜m，可知矩陣AB不滿秩，因此A項(xiàng)正確，由于BA是n階矩陣，是否滿秩無法確定，故不一定有|BA|=0，故B錯(cuò)誤．

由于A，B不為方陣，因此沒有等式|AB|=|A||B|=|BA|．事實(shí)上，由上面的討論過程可知，當(dāng)BA滿秩時(shí)，有|AB|=0≠|(zhì)BA|，故C不正確，

由||BA|BA|=|BA|nBA=|BA|n+1，可知等式||BA|BA=|BA||BA|也不一定成立，故D錯(cuò)誤．

綜上，正確的選項(xiàng)是A．

21.

已知，P為3階非零矩陣，且滿足PQ=O，則______A.t=6時(shí)，P的秩必為1B.t=6時(shí)，P的秩必為2C.t≠6時(shí)，P的秩必為1D.t≠6時(shí)，P的秩必為2正確答案：C[解析]“AB=O”是考研出題頻率極高的考點(diǎn)，其基本結(jié)論為：

①

②組成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．

對(duì)于本題，

當(dāng)t=6時(shí)，，則A和B項(xiàng)都錯(cuò)；

當(dāng)t≠6時(shí)，．故選C．

22.

設(shè)，若r(A*)=1，則a=______A.1B.3C.1或3D.無法確定正確答案：C[解析]由r(A*)=1，得r(A)=3，則|A|=0，即

得a=1或3，且此時(shí)均滿足r(A)=3，故選C．

23.

設(shè)A是秩為n-1的n階矩陣，α1，α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，則Ax=0的通解必定是______A.α1+α2B.kα1C.k(α1+α2)D.k(α1-α2)正確答案：D[解析]因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?shù)，顯然A項(xiàng)不正確，由n-r(A)=1知Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零向量構(gòu)成，下面討論α1，α1+α2與α1-α2中哪一個(gè)一定是非零向量．

已知條件只是說α1，α2是兩個(gè)不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解，如果α1=-α2≠0，則α1，α2是兩個(gè)不同的解，但α1+α2=0，即兩個(gè)不同的解不能保證α1+α2≠0．因此排除B，C．由于α1≠α2，必有α1-α2≠0．可見D項(xiàng)正確．

24.

已知向量組(Ⅰ)α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則與(Ⅰ)等價(jià)的向量組是______A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1C.α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4-α1D.α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1正確答案：D[解析]因A項(xiàng)(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0；

B項(xiàng)(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

C項(xiàng)(α1+α2)-(α2-α3)-(α3+α4)+(α4-α1)=0，故均線性相關(guān)，而

其中

故α1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)，兩向量組等價(jià)．

25.

設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是______A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+a1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3正確答案：C[解析]因A項(xiàng)α1+α2-(α2+α3)+α3-α1=0；B項(xiàng)α1+α2+α2+α3-(α1+2α2+α3)=0；D項(xiàng)-19(α1+α2+α3)+2(2α1-3α2+22α3)+5(3α1+5α2-5α3)=0，故A，B，D項(xiàng)的向量組均線性相關(guān)，由排除法知C項(xiàng)向量組線性無關(guān)．對(duì)C項(xiàng)，若存在數(shù)k1，k2，k3使得

k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，

整理得：(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0.

因α1，α2，α3線性無關(guān)，得

又，式①只有零解，從而知原向量組線性無關(guān)．

26.

已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則向量組2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是______A.1B.2C.3D.4正確答案：C[解析]

方法一

因

r(α1，α2，α3，α4)=4，

故

方法二易知β1，β2，β3線性無關(guān)，β4=β2+β3，β5=β1+β2，故

r(β1，β2，β3，β4，β5)=3．

27.

設(shè)xOy平面上n個(gè)不同的點(diǎn)為Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)，記

則M1，M2，…，Mn共線的充要條件是r(A)=______A.1B.2C.3D.4正確答案：B[解析]因，且Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)是n個(gè)不同的點(diǎn)，A中至少有一個(gè)2階子式不為零，r(A)≥2．又n個(gè)點(diǎn)共線．A中任一3階子式為零，故r(A)＜3．故r(A)=2．

28.

設(shè)A是m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為r1，則______A.r＞r1B.r＜r1C.r=r1D.r和r1的關(guān)系依C而定正確答案：C[解析]因C是可逆矩陣，是若干個(gè)初等矩陣的積，A右邊乘C，相當(dāng)于對(duì)A作若干次初等列變換，不改變矩陣的秩，所以r(A)=r(B)．

29.

設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組AX=0僅有零解的充分條件是______A.A的列向量線性無關(guān)B.A的列向量線性相關(guān)C.A的行向量線性無關(guān)D.A的行向量線性相關(guān)正確答案：A[解析]A的列向量線性無關(guān)AX=0有唯一零解，是充要條件，當(dāng)然也是充分條件．

30.

已知β1，β2是AX=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是相應(yīng)的齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2是任意常數(shù)，則AX=b的通解是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]A，C項(xiàng)中沒有非齊次方程組的特解，D項(xiàng)中兩個(gè)齊次方程組的解α1與β1-β2是否線性無關(guān)未知，而B項(xiàng)中因α1，α2是基礎(chǔ)解系，故α1，α1-α2仍是基礎(chǔ)解系，仍是特解．

31.

設(shè)A是m×n矩陣，非齊次線性方程組為

AX=b，①

對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為

AX=0，②

則______

A．①有無窮多解②僅有零解

B．①有無窮多解②有無窮多解

C．②僅有零解①有唯一解

D．②有非零解①有無窮多解正確答案：B[解析]C，D項(xiàng)中①式均有可能無解．A，B項(xiàng)中①式有無窮多解，記為k1ξ1+…+kn-rξn-r+η，則②式有解k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，故A項(xiàng)不正確，選B．

32.

設(shè)矩陣Am×n的秩r(A)=r([A|b)=m＜n，則下列說法錯(cuò)誤的是______A.AX=0必有無窮多解B.AX=b必?zé)o解C.AX=b必有無窮多解D.存在可逆矩陣P，使AP=[EmO]正確答案：B[解析]因r(A)=r([A|B])=m＜n．AX=b必有無窮多解．

33.

已知α1=[-1，1，α，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，a3=[a，2，10，1]T是4階方陣A的三個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則a的取值范圍為______A.a≠5B.a≠-4C.a≠-3D.a≠-3且a≠-4正確答案：A[解析]因α1，α2，α3是三個(gè)不同特征值的特征向量，必線性無關(guān)，由

知a≠5．故應(yīng)選A．

34.

已知3階矩陣A有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，則2A*的特征值是______A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，24正確答案：B[解析]由于2A*的特征值是，其中|A|=λ1λ2λ3，λi(i=1，2，3)是A的特征值，分別為1，2，3，故2A*的特征值為4，6，12

35.

已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的兩個(gè)不同的解向量，則下列向量中必是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量的是______A.ξ1B.ξ2C.ξ1-ξ2D.ξ1+ξ2正確答案：C[解析]因ξ1≠ξ2，故ξ1-ξ2≠0，且仍有關(guān)系

A(ξ1-ξ2)=λξ1-λξ2=λ(ξ1-ξ2)，故ξ1-ξ2是A的特征向量．

而A項(xiàng)ξ1，B項(xiàng)ξ2，D項(xiàng)ξ1+ξ2均有可能是零向量而不能成為A的特征向量．

36.

設(shè)

則下列向量中是A的特征向量的是______A.ξ1=[1，2，1]TB.ξ2=[1，-2，1]TC.ξ3=[2，1，2]TD.ξ4=[2，1，2]T正確答案：B[解析]因故ξ2是A的對(duì)應(yīng)于λ=-2的特征向量．

其余的ξ1，ξ3，ξ4均不與Aξ1，Aξ3，Aξ4對(duì)應(yīng)成比例，故都