考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題186

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬題186解答題1.

設(shè)A為n階矩陣，λ1和λ2是A的兩個(gè)不同的特征值．x1，x2是分別屬于λ1和λ2的特征向量，試證明：x1+x2不是A的特征向量．正確答案：證：反證法假設(shè)x1+（江南博哥）x2是A的特征向量，則存在數(shù)λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，則

(λ-λ1)x1+(λ-λ2)x2=0．

因?yàn)棣?≠λ2，所以x1，x2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則矛盾．故x1+x2不是A的特征向量．

已知矩陣2.

求x與y；正確答案：解：B的特征值為2，y，-1．由A與B相似，則A的特征值為2，y，-1．故

3.

求一個(gè)滿(mǎn)足P-1AP=B的可逆矩陣P．正確答案：解：分別求出A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=-1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

令可逆矩陣，則P-1AP=B．

4.

設(shè)矩陣，問(wèn)k為何值時(shí)，存在可逆矩陣P，使得，求出P及相應(yīng)的對(duì)角矩陣．正確答案：解：

因λ=-1是二重特征值，為使A相似于對(duì)角矩陣，要求

r(λr-A)=r(-E-A)=1，

故當(dāng)k=0時(shí)，存在可逆矩陣P，使得

當(dāng)k=0時(shí)，

故當(dāng)k=0時(shí)，存在可逆矩陣

使得

5.

設(shè)矩陣有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量，λ=2是A的二重特征值，試求可逆矩陣P，使得是對(duì)角矩陣．正確答案：解：A有三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩陣2E-A的秩應(yīng)為1．

解得x=2，y=-2，故

因，故λ3=6．

當(dāng)λ=2時(shí)，

解得

當(dāng)λ=6時(shí)，

解得

已知ξ=[1，1，-1]T是矩陣的一個(gè)特征向量．6.

確定參數(shù)a，b及ξ對(duì)應(yīng)的特征值λ；正確答案：解：設(shè)A的特征向量ξ所對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則有Aξ=λξ，即

即

解得λ=-1，a=-3，b=0．

7.

A是否相似于對(duì)角矩陣，說(shuō)明理由．正確答案：解：當(dāng)a=-3，b=0時(shí)，由

知λ=-1是A的三重特征值，但

當(dāng)λ=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量只有一個(gè)，故A不能相似于對(duì)角矩陣，

8.

設(shè)A是n階方陣，2，4，…，2n是A的n個(gè)特征值，E是n階單位矩陣，計(jì)算行列式|A-3E|的值．正確答案：解：若λ為A的特征值，則λ-3位A-3E的特征值．所以A-3E的特征值為-1，1，3，…，2n-3，故|A-3E|=(-1)·1·3·…·(2n-3)=-(2n-3)!!．

9.

計(jì)算行列式正確答案：解：

故原式=(a2+b2+c2+d2)2(負(fù)號(hào)舍去，取b=c=d=0，原式=a4，可知結(jié)果取“+”)．

10.

計(jì)算正確答案：解：方法一把Dn按第一行展開(kāi)，得

把遞推公式①改寫(xiě)成

Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)，②

繼續(xù)用遞推關(guān)系②遞推，得

Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)，

而D2=(α+β)2-αβ，D1=α+β，

Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)=βn，③

③式遞推得Dn=αDn-1+βn=α(αDn-2+βn-1)+βn

=…=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn．

除了將①式變形得②式外，還可將①式改寫(xiě)成

Dn-βDn-1=α(Dn-1，-βDn-2)，④

由④式遞推可得

Dn-βDn-1=αn，⑤

③×β-⑤×α得

(β-α)Dn=βn+1-an+1，

當(dāng)β-α≠0時(shí)，有

方法二把原行列式表示成如下形式

再利用“拆項(xiàng)”性質(zhì)，將Dn表示成2n個(gè)n階行列式之和，可以看出Dn中第i列的第2子列和第i+1列的第1子列成正比，因此2n個(gè)行列式中只有n+1個(gè)不為零，即各列都選第1子列，或者由第i列起(i-n，n-1，…，1)以后都選第2子列，而前i-1列都選第1子列，最后得

Dn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn．

11.

設(shè)3階矩陣A滿(mǎn)足|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0，試計(jì)算|A*+3E|．正確答案：解：由|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0可知λ=1，-1，-2均滿(mǎn)足特征方程|λE-A|=0，又由于A(yíng)為3階矩陣，可知1，-1，2為A的3個(gè)特征值，可知|A|=2，因此A*+3E=|A|A-1+3E=2A-1+3E有特征值

2×1-1+3=5，2×(-1)-1+3=1，2×(-2)-1+3=2，

故|A*+3E|=5×1×2=10．

12.

設(shè)A是n階矩陣，滿(mǎn)足AAT=E(E是n階單位矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣)，|A|＜0，求|A+E|．正確答案：解：|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|

=|A|·|(A+E)T|=|A|·|A+E|

13.

設(shè)a1，a2，…，an是互不相同的實(shí)數(shù)，且

求線(xiàn)性方程組AX-b的解．正確答案：解：因a1，a2，…，an互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根據(jù)克拉默法則，方程組AX=b有唯一解，且

其中Ai是b代換A中第i列所得矩陣，則

|A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n．

故AX=b的唯一解為X=[1，0，0，…，0]T．

14.

設(shè)B=2A-E，證明：B2=E的充分必要條件是A2=A．正確答案：證：B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E，

設(shè)15.

證明當(dāng)n≥3時(shí)，有An=An-2+A2-E；正確答案：證：用歸納法，

因，驗(yàn)證得當(dāng)n=3時(shí)，A3=A+A2-E，上式成立，

假設(shè)當(dāng)n=k-1(n＞3)時(shí)成立，即Ak-1=Ak-3+A2-E成立，則

Ak=AAk-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A

=Ak-2+(A+A2-E)-A=Ak-2+A2-E，

即n=k時(shí)成立，故An=An-2+A2-E對(duì)任意n(n≥3)成立．

16.

求A100．正確答案：解：由上述遞推關(guān)系可得

A100=A98+A2-E=(A96+A2-E)+A2-E

=A96+2(A2-E)=…=A2+49(A2-E)

17.

證明：若A為n階方陣，則有|A*|=|(-A)*|(n≥2)．正確答案：證：設(shè)A=(aij)n×n，|A|的元素a的代數(shù)余子式為Aij，則|-A|的元素-aij的代數(shù)余子式為

Bij=(-1)n-1Aij，

于是(-A)*=(-1)n-1(Aji)n×n=(-1)n-1A*，所以

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|．

A為n(n≥3)階非零實(shí)矩陣，Aij為|A|中元素aij的代數(shù)余子式，試證明：18.

正確答案：證：當(dāng)aij=Aij時(shí)，有AT=A*，則ATA=AA*=|A|E．由于A(yíng)為n階非零實(shí)矩陣，即aij不全為0，所以．而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，這說(shuō)明|A|＞0．在A(yíng)AT=|A|E兩邊取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1．

反之，若ATA=E且|A|=1，則A*A=|A|E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij．

19.

正確答案：解：當(dāng)aij=-Aij時(shí)，有AT=-A*，則ATA=-A*A=-|A|E．由于A(yíng)為n階非零實(shí)矩陣，即aij不全為0，所以．在A(yíng)TA=-|A|E兩邊取行列式得|A|=-1．

反之，若ATA=E且|A|=-1，由于A(yíng)*A=|A|E=-E，于是ATA=-A*A．進(jìn)一步，由于A(yíng)可逆，得AT=-A*，即aij=-Aij．

20.

證明：方陣A與所有同階對(duì)角矩陣可交換的充分必要條件是A為對(duì)角矩陣．正確答案：證：充分性A是對(duì)角矩陣，則顯然A可與任何對(duì)角矩陣可交換．

必要性設(shè)與任何對(duì)角矩陣可交換，則應(yīng)與對(duì)角元素互不相同的對(duì)角矩陣可交換，即

故biaij=bjaij，bi≠bj，則aij=0，i≠j，i=1，2，…，n，j=1，2，…，n，故是對(duì)角矩陣．

21.

證明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．正確答案：證：設(shè)A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，則

A+B=[α1+β1，α2+β2，…，αn+βn]，

由于A(yíng)+B的列向量組α1+β1，α2+β2，…，αn+βn都是由向量組α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn線(xiàn)性表出的，故

r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn)≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)．

又由于

r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn)，

故

r(A+B)=r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn)

≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)

≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn)

=r(A)+r(B)．

22.

設(shè)A，B是n階矩陣，證明：AB和BA的主對(duì)角元素的和相等．(方陣主對(duì)角元素的和稱(chēng)為方陣的跡，記成tr(A)，即)正確答案：證：設(shè)

且記AB=C=(cij)n×n，BA=D=(dij)n×n，則

23.