數(shù)列的通項公式問題課件高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

第一章數(shù)列培優(yōu)課1數(shù)列的通項公式問題北師大版

數(shù)學

選擇性必修第二冊目錄索引重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式【例1】

(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,對任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求數(shù)列{an}的通項公式;解

∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).這n-1個等式兩邊分別相加,得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),(2)已知數(shù)列{an}滿足,求an.規(guī)律方法

1.求形如an+1=an+f(n)的通項公式.將原來的遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通項公式.變式訓練1已知在數(shù)列{an}中,a1=2,且滿足an+1=an+2n+n,求數(shù)列{an}的通項公式.解

由條件知an+1-an=2n+n,∴a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,…,an-an-1=2n-1+n-1(n≥2,n∈N+),把以上(n-1)個式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1),探究點二構造等差(比)數(shù)列求通項公式【例2】

(1)在數(shù)列{an}中,a1=,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).①證明:數(shù)列

是等差數(shù)列;②求數(shù)列{an}的通項公式.(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.解

由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以數(shù)列{an-3}是首項為a1-3=-1,公比為2的等比數(shù)列,則an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.規(guī)律方法

1.對于此類問題,一般先構造好等差(比)數(shù)列讓學生證明,再在此基礎上求出通項公式,故不必在此處挖掘過深.2.形如an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù),且pq(p-1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式,步驟如下:第一步

假設遞推公式可改寫為an+1+t=p(an+t);第二步

由待定系數(shù)法,解得第三步

寫出數(shù)列

的通項公式;第四步

寫出數(shù)列{an}的通項公式.變式訓練2已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}和{bn}的通項公式.(1)證明

由題設得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因為a1+b1=1,所以{an+bn}是首項為1,公比為

的等比數(shù)列.由題設得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因為a1-b1=1,所以{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.探究點三

利用前n項和Sn與an的關系求通項公式

【例3】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,則an等于(

)A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2n-2A解析

因為Sn=2an-4,所以當n≥2時,Sn-1=2an-1-4,兩式相減可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以

=2.因為S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以數(shù)列{an}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列,則an=4×2n-1=2n+1,故選A.

規(guī)律方法

已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解題步驟:第一步

利用Sn滿足條件p,寫出當n≥2時,Sn-1的表達式;第二步

利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式;第三步

若求出n≥2時的{an}的通項公式,則根據(jù)a1=S1求出a1,并代入n≥2時的{an}的通項公式進行驗證,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.變式訓練3在數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項公式an.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練181.[探究點二]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a5=5,a1+S11=67,則a3a10是{an}中的(

)A.第30項

B.第36項

C.第48項

D.第60項A解析

設等差數(shù)列{an}的公差為d,由a5=5,得a1+4d=5①;由a1+S11=67,得12a1+d=67,即12a1+55d=67②.由①②解得a1=1,d=1,所以an=n.于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30項.故選A.123456789101112131415161718C123456789101112131415161718D1234567891011121314151617184.[探究點三]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n+1+t,則數(shù)列的通項公式an=

.

2×3n解析

∵在等比數(shù)列{an}中,前n項和Sn=3n+1+t,∴a1=S1=9+t,a2=S2-S1=18,a3=S3-S2=54,∴182=54(9+t),解得t=-3,∴a1=9+t=6,公比q=3,∴an=6×3n-1=2×3n.1234567891011121314151617181234567891011121314151617186.[探究點二、三]數(shù)列{an}滿足a1=1,Sn+1=4an+3.(1)求證:數(shù)列{an+1-2an}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.123456789101112131415161718(1)證明

當n=1時,a1=1,S2=a1+a2=4a1+3,解得a2=6,當n≥2時,由Sn+1=4an+3可知Sn=4an-1+3,兩式作差可得an+1=4an-4an-1,即an+1-2an=2(an-2an-1),又因為a2-2a1=4,所以an-2an-1≠0,所以數(shù)列{an+1-2an}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.1234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究點二、三]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an·Sn=(Sn-1)2.(1)證明:數(shù)列

為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關鍵能力提升練8.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+n,則數(shù)列{an}的通項公式為(

)C解析

因為an+1=an+n,所以an=an-1+n-1(n≥2).又因為a1=1,則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1故選C.1234567891011121314151617189.在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n∈N+),則該數(shù)列的通項an=(

)A.2n+1-3 B.2n-3C.2n+1+3 D.2n+1-1A解析

由an+1=2an+3,得an+1+3=2(an+3),又a1=1,∴a1+3=4≠0,∴數(shù)列{an+3}是以4為首項,以2為公比的等比數(shù)列,則an+3=4×2n-1,∴an=2n+1-3.故選A.123456789101112131415161718A.a8

B.2+(n-1)lnnC.1+n+lnn

D.2n+nlnnD12345678910111213141516171811.(多選題)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1,bn=log2an+1,則(

)A.數(shù)列{an}是等比數(shù)列B.an=(-2)n-1ACD12345678910111213141516171812.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2=6,

(n∈N+),則數(shù)列{an}的通項公式為(

)A.an=3n

B.an=3nC.an=n+4 D.an=n2+2A12345678910111213141516171813.正項數(shù)列{an}滿足anan+2=,n∈N+.若a5=9,a2a4=1,則a2的值為

.

12345678910111213141516171814.數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-2n+3,則an=

.

解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-2n+3,當n=1時,a1=S1=1-2+3=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-2n+3-(n-1)2+2(n-1)-3=2n-3,1234567891011121