北京市重點校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)匯編：圓（下）章節(jié)綜合（北京版）

第1頁/共1頁2024北京重點校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓（下）章節(jié)綜合（京改版）一、單選題1．（2024北京東城初三上期末）如圖，是的內(nèi)切圓，與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)．若的半徑為2，，，，則的面積為（

）A． B．24 C．26 D．52二、填空題2．（2024北京北師大實驗中學(xué)初三上期末）若正六邊形的邊長是1，則它的半徑是．3．（2024北京北師大實驗中學(xué)初三上期末）如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點，AC是的直徑，，則的度數(shù)為．4．（2024北京朝陽初三上期末）的直徑為，若圓心與直線的距離為，則與的位置關(guān)系是（填“相交”、“相切”或“相離”）．5．（2024北京海淀初三上期末）如圖，，是的兩條切線，切點分別為，，．若的半徑為3，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

6．（2024北京西城初三上期末）中國郵政集團(tuán)公司曾發(fā)行《二十四節(jié)氣》特殊版式小全張（圖1），其中的24枚郵票大小相同，上面繪制了代表二十四節(jié)氣風(fēng)貌的圖案，這24枚郵票組成了一個圓環(huán)，傳達(dá)了四季周而復(fù)始、氣韻流動的理念和中國傳統(tǒng)文化中圓滿、圓融的概念，以“大雪”節(jié)氣單枚郵票為例（圖2），該郵票的“上圓弧”的長為，“直邊長”為，“下圓弧”的長為，則（用含，的式子表示）．三、解答題7．（2024北京匯文中學(xué)初三上期末）已知：如圖，△ABC．求作：點D（點D與點B在直線AC的異側(cè)），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．作法：①分別作線段AC的垂直平分線l1和線段BC的垂直平分線l2，直線l1與l2交于點O；②以點O為圓心，OA的長為半徑畫圓，⊙O與l1在直線BC上方的交點為D；③連接DA，DC．所以點D就是所求作的點．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OA，OB，OC．∵直線l1垂直平分AC，點O，D都在直線l1上，∴OA=OC，DA=DC．∵直線l2垂直平分BC，點O在直線l2上，∴______=______．∴OA=OB=OC．∴點A，B，C都在⊙O上．∵點D在⊙O上，∴∠ADC+∠ABC=180°．（______）（填推理的依據(jù)）8．（2024北京北師大實驗中學(xué)初三上期末）下面是小元設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，⊙O及⊙O上一點P．求作：過點P的⊙O的切線．作法：如圖，作射線OP；①在直線OP外任取一點A，以A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點B；②連接并延長BA與⊙A交于點C；③作直線PC；則直線PC即為所求．根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC=90°（填推理依據(jù)）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（填推理依據(jù)）．9．（2024北京東城初三上期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，，，為的延長線與的交點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求和長．10．（2024北京朝陽初三上期末）如圖，是圓內(nèi)接四邊形的對角線，于點平分．

(1)求的度數(shù)；(2)點在的延長線上，是該圓的切線．①求證：是該圓的切線；②若，直接寫出的長．11．（2024北京西城初三上期末）如圖，小云在生活中觀察到一個拱門，拱門的上方拱線和下方拱線的最高點均為點，拱門的跨徑間對稱分布有8根立柱．他搜集到兩條拱線的相關(guān)數(shù)據(jù)，拱線的跨徑長為，高為．右側(cè)的四根立柱在拱線上的端點，，，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．點點點點距的水平距離（）4567距的豎直距離（）4.1253.0001.6250所查閱的資料顯示：拱線為某個圓的一部分，拱線為某條拋物線的一部分．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)選取拱線上的任意三點，通過尺規(guī)作圖作出拱線所在的圓；(2)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，選取拱線上的點，求出拱線所在的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并驗證拱線上的其他已知點都在拋物線上，寫出驗證過程（不添加新的字母）．12．（2024北京東城初三上期末）如圖，在中，．求作：，使得的三個頂點都在上．作法：①作邊的垂直平分線，交于點O；②以點O為圓心，長為半徑作圓．則為所求作的圓．(1)利用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．由作圖可知，，點B在上，在中，，（）（填推理依據(jù)）．．點C在上．的三個頂點都在上．13．（2024北京海淀初三上期末）如圖，為半圓的直徑，點，在半圓上，直線與半圓相切于點，．(1)若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；(2)過點作交于點，交于點，若，，求的長．14．（2024北京海淀初三上期末）如圖，是外一點，與相切，切點為．畫出的另一條切線，切點為．小云的畫法是：①連接，過點畫出的垂線交于點；②畫出直線．直線即為所求．（1）根據(jù)小云的畫法，補(bǔ)全圖形；（2）補(bǔ)全下面的證明．證明：連接，．，，垂直平分，．．．．是的切線，為切點，．．．于點．是的半徑，是的切線（）（填推理的依據(jù)）．15．（2024北京北師大實驗中學(xué)初三上期末）如圖，為的直徑，交于點C，D為上一點，延長交于點E，延長至F，使，連接．(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．16．（2024北京匯文中學(xué)初三上期末）如圖，是直徑AB所對的半圓弧，點C在上，且∠CAB=30°，D為AB邊上的動點（點D與點B不重合），連接CD，過點D作DE⊥CD交直線AC于點E．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段AE，AD長度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）對于點D在AB上的不同位置，畫圖、測量，得到線段AE，AD長度的幾組值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9AE/cm0.000.410.771.001.151.000.001.004.04…AD/cm0.000.501.001.412.002.453.003.213.50…在AE，AD的長度這兩個量中，確定_______的長度是自變量，________的長度是這個自變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AE=AD時，AD的長度約為________cm(結(jié)果精確到0.1)．17．（2024北京朝陽初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知．對于點給出如下定義：若，則稱為線段的“等直點”．(1)當(dāng)時，①在點中，線段的“等直點”是______；②點在直線上，若點為線段的“等直點”，直接寫出點的橫坐標(biāo)．(2)當(dāng)直線上存在線段的兩個“等直點”時，直接寫出的取值范圍．18．（2024北京西城初三上期末）如圖，是的直徑，，交于點，點在的延長線上且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．19．（2024北京西城初三上期末）在中，，，于點．點在射線上，連接，作于點．連接，作于點，作交直線于點，連接．(1)當(dāng)點在線段上時，在圖1中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的度數(shù)；(2)當(dāng)點在線段的延長線上時，利用圖2探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)取線段的中點，連接，若，直接寫出線段的長的最小值．20．（2024北京東城初三上期末）如圖，為的直徑，點在上，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，．求的長．21．（2024北京東城初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P和直線，，點P關(guān)于直線，“和距離”的定義如下：若點P到直線，的距離分別為，，則稱為點P關(guān)于直線，的“和距離”，記為d．特別地，當(dāng)點P在直線上時，；當(dāng)點P在直線上時，．(1)在點，，，中，關(guān)于x軸和y軸的“和距離”為3的點是_____；(2)若P是直線上的動點，則點P關(guān)于x軸和y軸的“和距離”d的最小值為_____；(3)已知點，的半徑為1．若P是上的動點，直接寫出點P關(guān)于x軸和直線的“和距離”d的取值范圍．22．（2024北京海淀初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將中心為的正方形記作正方形，對于正方形和點（不與重合）給出如下定義：若正方形的邊上存在點，使得直線與以為半徑的相切于點，則稱點為正方形的“伴隨切點”．(1)如圖、正方形的頂點分別為點，，B4,0，．①在點，，中，正方形的“伴隨切點”是；②若直線上存在正方形的“伴隨切點”，求的取值范圍；(2)已知點，正方形的邊長為．若存在正方形的兩個“伴隨切點”，，使得為等邊三角形，直接寫出的取值范圍．

參考答案題號1答案C1．C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓與三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵；根據(jù)三角形面積=三角形邊長之和乘以內(nèi)切圓半徑之積的一半．計算即可．【詳解】是的內(nèi)切圓且半徑為2，，，，，則的面積為26，故選：C2．1【分析】根據(jù)正六邊形的邊長等于正六邊形的半徑，即可求解．【詳解】正6邊形的中心角為360°÷6=60°．那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形．∴它的外接圓半徑是1．3．40°【分析】根據(jù)切線長定理得等腰△PAB，運用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∴PA=PB，∠PAC=90°，∵，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．故答案為40°．【點睛】本題考查了切線長定理和切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，求一個角的余角，利用切線長得出PA=PB是解題的關(guān)鍵．4．相切【分析】此題重點考查直線與圓的位置關(guān)系，由的直徑為，求得的半徑為，而圓心與直線的距離為，則圓心與直線的距離等于的半徑，所以與相切，于是得到問題的答案．【詳解】解：的直徑為，，的半徑為，圓心與直線的距離為，圓心與直線的距離等于的半徑，與相切，故答案為：相切．5．【分析】題考查了切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，扇形的面積．先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到，再根據(jù)扇形面積公式計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是的兩條切線，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．6．【分析】本題考查弧長公式，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用弧長公式表示出，，找到兩者之間的關(guān)系即可得到答案，熟記弧長公式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：，；，，故答案為：．7．(1)見解析(2)OB，OC，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得OB=OC，OA=OC，DA=DC，則可判斷點A、B、C都在⊙O上，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC+∠ABC=180°．【詳解】（1）解：如圖，點D就是所求作的點．（2）證明：連接OA，OB，OC．∵直線l1垂直平分AC，點O，D都在直線l1上，∴OA=OC，DA=DC．∵直線l2垂直平分BC，點O在直線l2上，∴OB=OC．∴OA=OB=OC．∴點A，B，C都在⊙O上．∵點D在⊙O上，∴∠ADC+∠ABC=180°．（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）故答案為：OB，OC，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)．【點睛】本題考查了基本作圖－作已知線段的垂直平分線，內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確掌握三角形外接圓作法是解題關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角；過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BPC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；（2）證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC=90°（圓周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（切線的判定）．故答案為：圓周角定理；切線的判定．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見解析；(2)的長為，．【分析】（）連接并延長交于點，連接，則，，，由得，所以，由，得，即可證明；（）由得，，則有是等邊三角形，，根據(jù)弧長公式計算即可，最后根據(jù)含角的直角三角形即可求出長．【詳解】（1）證明：連接并延長交于點，連接，則，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的半徑，且，∴是的切線；（2）∵，∴，∴，∴是等邊三角形，，∴，∴的長為，∵是的切線，∴，在中，，∴，由勾股定理得：．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、切線的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、弧長公式，含角的直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.10．(1)(2)①見解析；②的長為3．【分析】（1）由角平分線的定義求得，根據(jù)圓周角定理求得，利用，據(jù)此可求解；（2）①連接，證明，推出，即可證明是該圓的切線；②證明和都是等邊三角形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得半徑為1，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：平分，．，．，．．；（2）①證明：如圖，取的中點，連接．

，是該圓的直徑．點是該圓的圓心．是的切線，．，．，．．是的切線；②∵、都是的切線，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，是等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，∴的長為3．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．(1)尺規(guī)作圖見解析(2)，其他已知點都在拋物線上，驗證過程見解析【分析】本題考查圓與二次函數(shù)綜合，涉及圓的性質(zhì)、尺規(guī)作圖-中垂線、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、驗證點是否在函數(shù)圖像上等知識，熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．（1）選取拱線上的任意三點，連線構(gòu)成圓的弦，作兩條弦的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作圓即可得到答案；（2）以為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，如圖所示，利用交點式，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可得到拱線所在的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為，再將，，，的橫坐標(biāo)代入表達(dá)式驗證縱坐標(biāo)是否與值相等即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）解：以為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，如圖所示：拱線的跨徑長為，高為，、、，設(shè)拱線的表達(dá)式為，將代入表達(dá)式得，解得，拱線所在的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為，點點點點距的水平距離（）4567距的豎直距離（）4.1253.0001.6250將代入得，故點在拱線所在的拋物線上；將代入得，故點在拱線所在的拋物線上；將代入得，故點在拱線所在的拋物線上；將代入得，故點在拱線所在的拋物線上．12．(1)見詳解(2)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：即可．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）證明：連接．由作圖可知，，點B在上，在中，，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．．點C在上．的三個頂點都在上．13．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)得，結(jié)合圓周角定理，得到，求解即可．(2)根據(jù)得，結(jié)合圓周角定理，得到，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．（2）根據(jù)(1)的證明，得，∵，，∴，∵直線與半圓相切于點，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∵，解得．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，特殊角的正切值，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)，，過半徑的外端點并垂直于半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了切線的基本作圖，切線的證明．(1)根據(jù)垂線的基本作圖，作圖即可．(2)根據(jù)切線的判定證明即可．【詳解】(1)根據(jù)垂線的基本作圖，作圖如下：直線即為所求．(2)證明：連接，．，，垂直平分，．．．．是的切線，為切點，．．．于點．是的半徑，是的切線（過半徑的外端點并垂直于半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，，過半徑的外端點并垂直于半徑的直線是圓的切線．15．(1)見解析(2)3【分析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明切線連半徑是常作的輔助線；（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)及互余關(guān)系即可得，即，即可得證；（2）設(shè)的半徑，則可得的長度，從而得的長度，在中，由勾股定理建立方程即可求得r．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）解：設(shè)的半徑，則，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得，或（舍去），∴的半徑為3．16．（1）AD，AE；（2）畫圖象見解析；（3）2.2，．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義可得答案；【詳解】（2）根據(jù)題意作圖即可；（3）滿足AE=AD條件，實際上可以轉(zhuǎn)化為正比例函數(shù)y=x．解：（1）根據(jù)題意，D為AB邊上的動點，∴AD的長度是自變量，AE的長度是這個自變量的函數(shù)；∴故答案為：AD，AE．（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，作圖得：（3）當(dāng)AE=AD時，y=x，在（2）中圖象作圖，并測量兩個函數(shù)圖象交點得：AD=2.2或3.3故答案為：2.2或3.3【點睛】本題是圓的綜合題，以幾何動點問題為背景，考查了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想．在（3）中將線段的數(shù)量轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，設(shè)計到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．17．(1)①，；②或(2)且【分析】（1）①根據(jù)題意作等腰直角，且，此時點的坐標(biāo)為或點的坐標(biāo)為，圓的半徑為，根據(jù)點、、、到圓心的距離與半徑比較，即可判斷；②作軸于點，連接，設(shè)，利用勾股定理列式計算即可求解；（2）當(dāng)圓與直線相切時，直線上開始存在線段的“等直點”，再根據(jù)圓與切線的關(guān)系求出t的臨界值，即可求t的取值范圍．【詳解】（1）解：①∵，∴，作等腰直角，且，此時，∴點的坐標(biāo)為或點的坐標(biāo)為，∴圓的半徑為，∵，∴點是線段的“等直點”；∵，∴點不是線段的“等直點”；∵，∴點是線段的“等直點”；∵，∴點不是線段的“等直點”；故答案為：，；②作軸于點，連接，設(shè)，則，，在中，，即，解得（舍去），∴點的橫坐標(biāo)為；同理，點的橫坐標(biāo)為；綜上，點的橫坐標(biāo)為或；（2）解：作軸交x軸于點，交直線于點，作直線的垂線，垂足為點，則，∵，∴，∴點的橫坐標(biāo)為，∴點E的坐標(biāo)為，∴，解得；如圖，同理求得；當(dāng)直線經(jīng)過點或點時，直線上只存在線段的一個“等直點”，此時或；綜上，的取值范圍為且．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓周角與圓心角的性質(zhì)，切線與圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(1)詳見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得，再由已知及切線的判定定理可得結(jié)論；（2）由（1）知，由勾股定理得出圓的半徑為6，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出D為的中點，利用中位線定理可得出，可證出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵AB為直徑，∴是的切線；（2）由（1）知，是的切線，∴，∴，∴設(shè)的半徑為r，∵，∴，∴，∴，連接，

∵AB為的直徑，∴，∵，∴D為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，【點睛】本題屬于主要考查了等腰三角形性質(zhì)，圓切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線定理等知識點，熟練掌握其性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．19．(1)(2)，證明見解析；(3)【分析】（1）先補(bǔ)全圖形，如圖所示：取的中點，連接，，證明，，，四點共圓，可得；（2）由（1）同理可得：，，，四點共圓，可得，證明，再證明，可得，即可得到結(jié)論；（3）如圖，取的中點，連接，，，取的中點，連接，由（2）同理可得：，而，可得，連接，證明，可得在以為圓心，半徑為2的弧上運動，當(dāng)，，三點共線時，最小，從而可得答案．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：∵，，∴，取的中點，連接，，∴，∴，，，四點共圓，∴，∵，，，∴，∴；（2），理由如下：如圖所示：∵，，，∴，，由（1）同理可得：，，，四點共圓，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴；（3）如圖，取的中點，連接，，，取的中點，連接，由（2）同理可得：，而，∴，連接，∵，∴，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，而為中點，為中點，∴，∴在以為圓心，半徑為2的弧上運動，∴當(dāng)，，三點共線時，最小，在中，此時，∴．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的確定及基本性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)【分析】（1）連接．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，再根據(jù)角平分線得，進(jìn)而得，又由，從而根據(jù)平行線的性質(zhì)得，于是，得，根據(jù)切線的判定即可證明結(jié)論成立；（2）如圖，過點作于點，先證明．再根據(jù)勾股定理得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明，如圖，連接．是的直徑，，平分，，，，，，為的半徑，直線是的切線．（2）解：如圖，過點作于點，，，，．在中，，根據(jù)勾股定理，得，，，在中，根據(jù)勾股定理，得．【點睛】本題主要考查了勾股定理、圓周角角定理、直徑所對的圓周角是直角、切線的判定以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握圓周角角定理、直徑所對的圓周角是直角以及切線的判定是解題的關(guān)鍵．21．(1)，(2)3(3)點P關(guān)于x軸和直線的“和距離”d的取值范圍為【分析】（1）分別求出各點到x軸和y軸的距離，得到“和距離”，從而作出判斷即可；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點P關(guān)于x軸和y軸的“和距離”為，分類討論根據(jù)m的取值范圍，求得的值的范圍，從而得