2022新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章 函數(shù)應(yīng)用 課時(shí)練習(xí)題及章末測驗(yàn)含答案解析

第五章函數(shù)應(yīng)用

1、利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性......................................1

2、利用二分法求方程的近似解............................................5

3、實(shí)際問題中的函數(shù)模型................................................10

章末測評(píng)................................................................17

1、利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=2*-4x—3的零點(diǎn)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.不能確定

C[由f(x)=0,即2/—4入一3=0,因?yàn)?=(-4)2-4X2X(-3)=40>0.

所以方程2V一4入一3=0有兩個(gè)根，即/*(必有兩個(gè)零點(diǎn).]

2.函數(shù)/?(力=4'-2'—2的零點(diǎn)是()

A.(1,0)B.1

1

C.-D.-1

乙

B[由/'(力=4'-2"—2=(2'—2)(2'+1)=0得2、=2,解得x=L]

3.已知函數(shù)f(x)=g—Ic&x,在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+8)

C[由題意知，函數(shù)r(x)在(0,+8)上為減函數(shù).f(D=6—0=6>0,f(2)

63]

=3—1=2>0,1(4)=7一log24=5—2=-$V0.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)

X乙乙

在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn).]

4.函數(shù)f(x)=lnx一—\的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

X—1

A.0B.1

C.2D.3

C［如圖，畫出y=lnx與尸二的圖象，由圖

知y=lnx與夕=一7(?0,且掙1)的圖象有兩個(gè)交

XX

點(diǎn).

故函數(shù)F(x)=lnx一—三的零點(diǎn)有2個(gè).］

x~\

5.己知函數(shù)f(x)在區(qū)間［外句上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)?f(b)

<0,則方程f(x)=0在區(qū)間3上()

A.至少有一實(shí)數(shù)根B.至多有一實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.必有唯一的實(shí)數(shù)根

D［由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù).,??&&)-F(b)V0,?,?函數(shù)F(x)在區(qū)間

［a,b］上至少有一個(gè)零點(diǎn).又??,函數(shù)FJ)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)函數(shù)，，函數(shù)

人力在區(qū)間［小句上至多有一個(gè)零點(diǎn).故函數(shù)Hx)在區(qū)間［a,句上有且只有一

個(gè)零點(diǎn)，即方程〃才)=0在區(qū)間［小句內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根.故選D.］

二、填空題

6.已知函數(shù)人才)=可2+2數(shù)+。(420)的一個(gè)零點(diǎn)為1,則它的另一個(gè)零點(diǎn)

為.

-3［設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為耳，為，根據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程

9o

根與系數(shù)的關(guān)系，得毛+必=—.又因?yàn)閬V=所以%］

a=-21,=-3.

7.函數(shù)f(x)=1—2,在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

3［由題意可知，函數(shù)f(x)=f—2,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y=2*,y=?

的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).如圖，畫出函數(shù)y=2'，/=/的大致圖象.

由圖象可知有3個(gè)交點(diǎn)，即/*(必=*-2,有3個(gè)零點(diǎn).］

8.若函數(shù)f{x)=mx—l在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取道范圍是

(i,+8)[AO)=-1,要使函數(shù)f(x)=RA-i在(o,1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(D

=/27—1>0,即加>1.］

三、解答題

9.判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出.

/、/\x+3

(1)=-----；

x

(2)f{x}=V+2x+4.

K-I-R

［解］(1)令F(x)=0即一=0,故x=-3.

x

v-|-3

所以函數(shù)f{x)=—的零點(diǎn)是一3.

x

(2)令/'(x)=0,即f+2x+4=0,因?yàn)閦l=4-4X4=-12<0,所以此方程

無解，故函數(shù)F(x)=f+2x+4無零點(diǎn).

10.已知函數(shù)〃彳)=2」上問方程F(/)=0在區(qū)間［―1,0］內(nèi)是否有解，

為什么？

［解］有解.因?yàn)椋?-1)=27—(-1)2=一巳<0,A0)=2°-02=l>0,

且函數(shù)f(x)=2'—V的圖象是連續(xù)曲線，

所以f(x)在區(qū)間［—1,0］內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f(x)=0在區(qū)間［一1,0］內(nèi)有解.

11.函數(shù)存在零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.a>0B.aWO

C.40D.水0

B［函數(shù)存在零點(diǎn)，則f=—a有解，所以aWO.］

12.(多選)下列說法中正確的是()

A.f(力=x+l(x￡［—2,0］)的零點(diǎn)為(-1,0)

B./.(必=^+1(X￡［—2,0］)的零點(diǎn)為一1

C.函數(shù)y=F(x)的零點(diǎn)，即尸f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)

D.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，即尸f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

BD［根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，可知F(x)=x+l(xe［-2,0］)的零點(diǎn)為一1；

函數(shù)尸以⑼的零點(diǎn)即尸F(xiàn)CO的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，只有說法BD

正確，AC錯(cuò)誤.］

13.已知函數(shù)/'(x)=3"+x—5的零點(diǎn)由￡[a,b],且6—a=l,a,6eN*,

貝ija=,b=_______.

12「??函數(shù)f(力=3,+x—5,Ar(l)=3,4-l-5=-l<0,A2)=32+2

-5=6>0,，f(l)f(2)<0,且函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞增，，/1(x)的零點(diǎn)及在區(qū)

間(1,2)內(nèi)./.a—1,6=2.]

14.己知函數(shù)/'(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，一2是它的一個(gè)零點(diǎn)，且在(0,

+8)上是增函數(shù)，則該函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于.

30[因?yàn)楹瘮?shù)/'(⑼是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù),

所以/'(0)=0.又因?yàn)椤?-2)=0,所以/'(2)=一/?(-2)=0,故該函數(shù)有3個(gè)零

點(diǎn)，這3個(gè)零點(diǎn)之和等于0.]

117

15.已知函數(shù)f(x)=logl

2/x/

(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)；

(2)證明：f(x)有零點(diǎn);

(3)設(shè)八人)的零點(diǎn)選落在區(qū)間信，，內(nèi)，求正整數(shù)〃的值.

[解](1)證明：顯然，f(x)的定義域?yàn)?0,+8).

任取為,尼仁(0,+°°),不妨設(shè)用<蒞，貝ij尼一>】>0，*尼>0，則;5---丁~=

￡X[AX?

9~~—>0,logl%i>loglx29BPlogl%i—logl房>0,所以F(xi)—f(而)=(log!

NXiM99999

loglx2)y-j>0,所以F(X1)>F(X2).故F(x)在定義域(0,+8)上是

2乙迎/

減函數(shù).

(2)證明：因?yàn)?'(1)=0+:—今=-8<0,f住)=4+8—學(xué)=3>0,所以

〃1)?《高<0,又因?yàn)樵趨^(qū)間七1)上是連續(xù)的，所以f(x)有零點(diǎn).

=log2ll_3>log28—3=0,

=log210—log25—1=log2^/25—log2V32<0,

所以f闔f闔<0,

所以f(x)的零點(diǎn)的落在區(qū)間后高內(nèi).故〃=18

2、利用二分法求方程的近似解

一、選擇題

1.用二分法求如圖所示的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是()

A.XB.x2

C.x3D.X\

c［能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須滿足在區(qū)間［必3上述續(xù)，且rU)A^)<o.

而吊兩邊的函數(shù)值都小于零，不符合二分法求零點(diǎn)的條件，故選C.］

2.用“二分法”可求近似解，對(duì)于精確度￡說法正確的是()

A.￡越大，零點(diǎn)的精確度越高

B.￡越大，零點(diǎn)的精確度越低

C.重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是￡

D.重復(fù)計(jì)算次數(shù)與￡無關(guān)

B［依“二分法”的具體步驟可知，￡越大，零點(diǎn)的精確度越低.］

3.設(shè)F(x)=3*+3x—8,用二分法求方程3*+3x—8=0在x￡(l,2)內(nèi)近似

解的過程中得F(D<0,A1.5)>0,f(1.25)<0,則方程3，+3x—8=0的根落在

區(qū)間()

A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)

C.(1.5,2)D.不能確定

A［易知f(x)在R上是增函數(shù).由題意可知/'(1.25)-F(L5)<0,故函數(shù)

f(x)=3r+3x-8的零點(diǎn)落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi).故選A.］

2

4.用二分法求方程Inx--=0的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間大致可選在()

x

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(e,+8)

99

B［設(shè)F(x)=lnx一一，由于F(2)=ln2-KO,F(3)=ln3-->0,

x3

r(2)-r(3)<0,故初始區(qū)間可選(2,3).］

5.用二分法求函數(shù)F(x)=2*+3x—7在區(qū)間。4］上的零點(diǎn)近似值，取區(qū)間

中點(diǎn)2,則下一個(gè)存在零點(diǎn)的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(0,2)

C.(2,3)D.(2,4)

B［因?yàn)锳0)=2°+0-7=-6<0,

/(4)=2,4-12-7>0,

/(2)=22+6-7>0,所以f(0)?f(2)<0,所以零點(diǎn)在區(qū)間(0,2)內(nèi).］

二、填空題

6.設(shè)函數(shù)尸/Xx)在區(qū)間3上的圖象是連續(xù)不間斷曲線，且

o-L6

Aa)-f(b)<o,?Ab=—,若久熱?rUXo,則利用二分法求方程根時(shí)，取

乙

有根區(qū)間為.

(&荀)［由于f(a)?/\的)<0,貝I」(必必)為有根區(qū)間.］

7.在用二分法求方程F(x)=O在區(qū)間［0,1］上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，

A0.625X0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一個(gè)近似解為

(精確度為0.1).

0.75[0.75-0.6875=0.0625<0.1,又精確度為0.1,故可取近似解為

0.75.］

8.求函數(shù)〃才)=*一工一1在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度￡=0.1),

用“二分法”逐次計(jì)算列表如下：

\an—

端(中)點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)零點(diǎn)所在區(qū)間

b?\

(1,1.5)0.5

1.25/(1.25X0(1.25,1.5)0.25

1.375A1.375)>0(1.25,1.375)0.125

1.3125A1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625

則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為_______.

1.3125［???精確度￡=0.1,由表可知|L375-1.3125|=0.0625<0.1,

???函數(shù)零點(diǎn)的近似值為1.3125.］

三、解答題

9.求函數(shù)F(x)=x2—5的一個(gè)零點(diǎn)近似解.(精確度為0.1)

［解］由于f(—2)=—KO,A-3)=4>0,

故取區(qū)間(一3,—2)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下:

區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值

(—3,—2)—2.51.25

(—2.5,-2)-2.250.0625

(-2.25,-2)-2.125-0.4844

(-2.25,-2.125)-2.1875—0.2148

由于-2.25-(-2.1875)|=0.0625<0.1,所以函數(shù)的一個(gè)近似解可取一

2.25.

10.求函數(shù)y=2*+3x—7的近似零點(diǎn).(精確度為0.1)

［解］設(shè)HX)=2:+3X—7,根據(jù)二分法逐步縮小方程的解所在的區(qū)間.

經(jīng)計(jì)算，/(1)=-2<0,f(2)=3>0,所以函數(shù)f(x)=2*+3x-7在(1,2)內(nèi)

存在零點(diǎn)，

即方程2r+3入-7=0在(1,2)內(nèi)有解.

取(1,2)的中點(diǎn)L5；經(jīng)計(jì)算，A1.5)=^0.33>0,

又Al)=-2<0,所以方程2*+3x-7=0在(1,1.5)內(nèi)有解.

如此下去，得到方程2、+3x—7=0實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表:

左端點(diǎn)右端點(diǎn)區(qū)間長

左端點(diǎn)右端點(diǎn)

函數(shù)值函數(shù)值度

第1次1-2231

第2次1-21.50.330.5

第3次1.25-0.8721.50.330.25

第4次1.375-0.2811.50.330.125

第5次1.375-0.2811.43750.0210.0625

由表可以看出，區(qū)間(1.375,1.4375)內(nèi)的所有值都可以看成是函數(shù)精確度

為0.1時(shí)的近似零點(diǎn).

所以函數(shù)尸2,+3X一7的一個(gè)近似零點(diǎn)可以是1.4.

11.(多選)某同學(xué)求函數(shù)*x)=lnx+2x—6的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分

函數(shù)值如表所示：

f(2)^-1.307A3)^1.099/(2.5)^-0.084

A2.75)^0.512f(2.625)下0.215A2.5625)=^0.066

貝?方程Inx+2x—6=0的近似解(精確度0.1)可取為()

A.2.52B.2.56

C.2.66D.2.75

AB[由表格可知方程Inx+2x—6=0的近似根在⑵5,2.5625)內(nèi)，因此

選項(xiàng)A中2.52符合，選項(xiàng)B中2.56也符合，故選AB.]

12.已知f(x)的一個(gè)零點(diǎn)吊￡⑵3),用二分法求精確度為0.01的荀近似

值時(shí)，判斷各區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)最多需要的次數(shù)為()

A.6B.7

C.8D.9

B[函數(shù)Ax)的零點(diǎn)所在區(qū)間的長度是1,用二分法經(jīng)過7次分割后區(qū)間的

長度變?yōu)镴<0.0L]

13.某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lgx=2—x的近似解(精確度0.1)”時(shí),

設(shè)f(x)=lgx+x—2,算得F(l)<0,A2)>0；在以下過程中，他用“二分法”

又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷:方程的近似解是ml.8.

那么他再取的x的4個(gè)值依次是.

1.5,1.75,1.875,1.8125［第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2),第二次

得區(qū)間(1.75,2),第三次得區(qū)間(1.75,1.875),第四次得區(qū)間(1.75,1.8125)得

14.在用二分法求方程的近似解時(shí)，若初始區(qū)間的長度為1,精確度為0.05,

則取中點(diǎn)的次數(shù)不小于.

5?初始區(qū)間的長度為1,精確度為0.05,???」W0.05,即2〃，20.又

???〃￡N+,??.心5,

???取中點(diǎn)的次數(shù)不小于5.］

15.某電腦公司生產(chǎn)力型手提電腦，2015年平均每臺(tái)力型手提電腦生產(chǎn)成

本為5000元，并以純利潤20%標(biāo)定出廠價(jià).2016年開始，公司加強(qiáng)管理，降低

生產(chǎn)成本，2019年平均每臺(tái)力型手提電腦盡管出廠價(jià)僅是2015年出廠價(jià)的80%,

但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤50%的高收益.

(1)求2019年每臺(tái)力型手提電腦的生產(chǎn)成本；

(2)以2015年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用二分法求2016-2019年生產(chǎn)成本平均

每年降低的百分?jǐn)?shù)(精確度為0.01).

［解］(1)設(shè)2019年每臺(tái)力型手提電腦的生產(chǎn)成本為尸元，依題意得。(1+

50%)=5000X(1+20%)X80%,解得Q3200,所以2019年每臺(tái)力型手提電腦

的生產(chǎn)成本為3200元.

(2)設(shè)2016?2019年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)為后根據(jù)題意，得5

000(1—力4=3200(0<Xl),

即5(1-X)2=4(0<K1).

令f{x}=5(1—%)2—4,

則f(0.10)=0.05>0,

A0.11)=-0.0395<0,

所以〃力在(0.10,0.11)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)X。.

取區(qū)間(0.10,0.11)的中點(diǎn)0.105,

則A0.105)^0.005>0,

所以A0.11)?A0.105X0,

又|0.11—0.105|=0.005<0.01,

0.1050.11精確到0.01的近似值都是0.11.

所以f(x)=0的近似解可以是0.11.

所以2016?2019年生產(chǎn)成本平均每年降低11%.

3、實(shí)際問題中的函數(shù)模型

一、選擇題

1.一個(gè)模具廠一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的加倍，那么該模具廠這

一年中產(chǎn)量的月平均增長率是()

C.1D.ypn-1

D[設(shè)每月的產(chǎn)量增長率為其1月份產(chǎn)量為a則a(l+x)“=3,所以1+

x=即x=y[nr-1.]

2.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費(fèi)為：電動(dòng)自

行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)

總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=0.2x(0WxW4000)

B.y=0.5x(0Wx<4000)

C.尸一0.lx+1200(0WxW4000)

D.y=0.lx+1200(0WxW4000)

C[由題意得尸0.3(4000-x)+0.2x=-0.lx+1200.]

3.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后

剩留量為y,則％y的函數(shù)關(guān)系是()

X

lOOx

A.y=0.9576100B.y=0.9576

ro.9576Y—

C.y=l10QID.y=l-0.0424100

A[設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的￡%,則有95.76%=1?（1一燃）一說=

1x

0.9576l00,???尸（1一魏）'=0.9576100.]

4.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)

流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片（如圖中陰影部分）備月，當(dāng)截取的矩形面

積最大時(shí)，矩形兩邊長x,y應(yīng)為（）

A.x=15,y=12B.x=12,y=15

C.x=14,y=10D.x=10,y=14

24—vx5

A[由三角形相似得方亦，得x=](24—y),

乙1O乙u

5

???S=xy=--（y-12）2+180（8W/<24）.

.??當(dāng)尸12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x=15.]

5.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為/'（?

c

=1（小。為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min,

組裝第力件產(chǎn)品用時(shí)15min,那么。和力的值分別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

D[由題意知，組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為左=15,故組裝第4件產(chǎn)品所

需時(shí)間為多=30,解得c=60.將c=60=15,得力=16.]

二、填空題

6.用一根長為12m的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大

面積是m~.

19—9V

9[設(shè)矩形的一邊長為xm,則與這條邊垂直的邊長為m,

12—2x

所以矩形面積S=x?—丁二=—〈當(dāng)時(shí)，最大

乙f+6x(oxW6),x=3mS=9]

7.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(萬件)與月份x滿足關(guān)系y=a-0.5、+b,

現(xiàn)已知該廠今年1月份，2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件，1.5萬件，則此工廠

3月份生產(chǎn)該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件.

1=0.5a+b,與=一2

1.75[由題意有解得”=-2X0.5、

1.5=0.25H+/?,b=2.

+2,

?,?3月份產(chǎn)量為y=-2X0.53+2=l.75(萬件).]

8.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入

生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)〃年的累計(jì)產(chǎn)量為F?=「(〃+1)(2〃+1)噸，但

如果年產(chǎn)量超過150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠

這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是年.

7[由題意知，第一年產(chǎn)量為d=：X1X2X3=3,

以后各年產(chǎn)量分別為a=f(〃)一F(〃-1)=另〃+1)(2〃+1)—]〃(〃一1)(2〃

-1)=3〃2(〃￡M)，

令3〃V150,得1W啟5g=々后7,故生產(chǎn)期限最長為7年.]

三、解答題

9.某公司試銷某種“上海世博會(huì)”紀(jì)念品，每件按30元銷售，可獲利50%,

設(shè)每件紀(jì)念品的成本為a元.

(1)試求a的值；

(2)公司在試銷過程中進(jìn)行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與每件銷售價(jià)

x(元)滿足關(guān)系y=-10x+800.設(shè)每天銷售利潤為網(wǎng)元)，求每天銷售利潤"(元)

與每件銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)解析式；當(dāng)每件售價(jià)為多少時(shí)，每天獲得的利潤

最大？最大利潤是多少？

［解］(1)???按30元銷售,可獲利50%,???&(1+50%)=30,解得&=20.

(2)V銷售量y(件)與每件銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系尸-Wx+800,則每天銷

售利潤人元)與每件銷售價(jià)x(元)滿足/f=(-10^+800)(x-20)=-10^4-1

OOOx-16000

=-10(X-50)2+9000,故當(dāng)x=50時(shí)，/取最大值9000,

即每件銷售價(jià)為50元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元.

10.國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30

人以下，每人需交費(fèi)用900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1

人，人均費(fèi)用減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行社需支付各種費(fèi)用

共計(jì)15000元.

(1)寫出每人需交費(fèi)用y關(guān)于人數(shù)才的函數(shù)；

(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？

［解］⑴當(dāng)0<后30時(shí)，尸900；當(dāng)30〈啟75,y=900—10(x-30)=l200

—10x；

［900,0<x<30,

即

11200-10^,304W75.

⑵設(shè)旅行社所獲利潤為S元，則當(dāng)(KxW30時(shí)，S=900x-15000；

當(dāng)30〈x<75時(shí)，S=x(1200-10^)-15000=-10*+1200x-15000；

［900^-15000,0<xW30,

即S=<2?-

［-lOV+l200AT-15000,30〈后75.

因?yàn)楫?dāng)0<A<30時(shí)，5=900y-15000為增函數(shù)，所以x=30時(shí)，鼠,=12000；

當(dāng)30<點(diǎn)75時(shí)，5=-10^+1200x-15000=-10(x-60)2+21000,

即x=60時(shí)，鼠(=21000>12000.

所以當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤.

11.(多選)如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營運(yùn)所得票價(jià)收入與付

出成本的差)y與乘客量x之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司

有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議，如圖②③所示.

則下列說法中，正確的有()

A.圖②的建議：提高成本，并提高票價(jià)

B.圖②的建議：降低成本，并保持票價(jià)不變

C.圖③的建議：提高票價(jià)，并保持成本不變

D.圖③的建議：提高票價(jià)，并降低成本

BC[根據(jù)題意和圖②知，兩直線平行即票價(jià)不變，直線向上平移說明當(dāng)乘

客量為0時(shí)，收入是0,但是支出變少了，即說明此建議是降低成本而保持票價(jià)

不變，故B正確；由圖③可以看出，當(dāng)乘客量為0時(shí)，支出不變，但是直線的傾

斜角變大，即相同的乘客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高了，即說明此建議是提高票

價(jià)而保持成本不變，故C正確.]

12.某公園要建造一個(gè)直徑為201n的圓形噴水池，計(jì)劃在噴水池的周邊靠

近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱在離池中心2nl處達(dá)到最高，最高

的高度為8nl.另外還要在噴水池的中心設(shè)計(jì)一個(gè)裝飾物，使各方向噴來的水柱

在此處匯合，則這個(gè)裝飾物的高度應(yīng)該為()

A.5mB.3.5m

C.5.5mD.7.5m

D[根據(jù)題意易知，水柱上任意一個(gè)點(diǎn)距水池中心的水平距離為x,與此點(diǎn)

的高度y之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=a(x+2)2+8(-10<xW0)或y=aAx-i)2

+8(0WxW10),由x=-10,y=0,可得國=-J；由x=10,y=0,可得及=

o

于是所求函數(shù)解析式是尸一J(x+2)2+8(—10WK0)或y=-J(x—2)2+

ooo

8(0Wx<10).當(dāng)x=0時(shí)，y=7.5,，裝飾物的高度為7.5m.故選D.]

13.某市居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

用水量x/t每噸收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)/元

不超過2t部分m

超過2t不超過4t部分3

超過4t部分n

已知某用戶1月份用水量為8t,繳納的水費(fèi)為33元；2月份用水量為6t,

繳納的水費(fèi)為21元.設(shè)用戶每月繳納的水費(fèi)為y元.

(D若某用戶3月份用水量為3.5t,則該用戶需繳納的水費(fèi)為_______元;

(2)若某用戶希望4月份繳納的水費(fèi)不超過24元，則該用戶最多可以用水

________噸.

(1)7.5(2)6.5[(1)由題設(shè)可得

mx,0W后2,

2m+3x-2,2<A<4,

(2加+6+〃x—4,x>4.

當(dāng)尤=8時(shí)，y=33；當(dāng)尤=6時(shí)，『=21,

2勿+6+4〃=33,727=1.5,

代入得解得

2〃/+6+2〃=21,〃=6.

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

p.5x,0W后2,

3x—3,2<x<4,

〔6x—15,x>4.

當(dāng)x=3.5時(shí)，y=3X3.5—3=7.5.

故該用戶3月份需繳納的水費(fèi)為7.5元.

(2)令6X-15W24,解得xW6.5.

故該用戶最多可以用6.5t水.]

14.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度/(米/秒)利燃料的質(zhì)量

"(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量/(千克)的函數(shù)關(guān)系式是12000?ln[l+5

當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.

e6-l[當(dāng)v=12000時(shí)，2000?Infl+^)=12000,

e6—1.]

m

15.某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過對(duì)某商店一種小物品的銷售情

況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該小物品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))每件的銷售價(jià)格尸(x)(單

k

位：元)與時(shí)間爪單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足〃(彳)=1+-伊為正常數(shù))，日

X

銷售量0(x)(單位：件)與時(shí)間x(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

力天10202530

0(力/件110120125120

已知第10天的日銷售收入為121元.

(1)求女的值；

(2)給出以下四種函數(shù)模型：

①0(x)=ax+b,②0(x)=a\%—251+6,③0(x)=a?④0(x)=a?log*x.

請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述日銷售量

0(才)與時(shí)間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；

(3)求該小物品的日銷售收入(單位：元)/U)的最小值.

［解］⑴依題意知第10天的日銷售收入為A10)-0(10)=(1+得卜110

=121,解得女=1.

(2)由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，日銷售量有增有減并不單調(diào)，故只能

選②0(x)=N|X—25|+6.從表中任意取兩組值代入可求得0(x)=125—|x—

25|(1WA<30,X￡N+).

(3)由⑵知0(x)=125-|x-251

flOO+x1^X25,xEN+,

一1150—x25WW30,x￡N—,

所以f(x)=P(x)?0(x)

100

x+—+1011WK25,x￡N+

x

=<

150

-------x+14925〈啟30,x￡N+.

x

ICQ

當(dāng)1WK25時(shí)，y=x+一丁在［1,10］上單調(diào)遞減，在［10,25)上單調(diào)遞增，所

以當(dāng)x=10時(shí)，f(x)取得最小值，f(x)ein121；

當(dāng)25Wx<30時(shí)，y=-----x為減函數(shù)，所以當(dāng)x=30時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值,

X

f(X)*n=124.

綜上所述，當(dāng)x=10時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值,/(x)nin=121.

所以該小物品的日銷售收入的最小值為121元.

章末測評(píng)

(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.函數(shù)p=(x—1)(V—2x—3)的零點(diǎn)為()

A.1,2,3B.1,-1,3

C.1,-1,-3D.無零點(diǎn)

B［令y=0,即(x—1)(V—2x—3)=0,解得由=1,x2=—1,&=3.故選

B.］

2.設(shè)f(x)=3,一f,則在下列區(qū)間中，使函數(shù)F(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(-2,-1)D.(—1,0)

D［因?yàn)镕(-1)=3—-：<0,A0)=3°-0=l>0,所以f(一1)?F(0)<0.］

3.函數(shù)y=log2)-W的圖象大致是()

A

A［當(dāng)x=4時(shí)，y=log2X一6=0,所以舍去D；

當(dāng)x=16時(shí)，y=log2X—5=0,所以舍去BC；故選A.

4.當(dāng)x￡（2,4）時(shí)，下列關(guān)系正確的是（）

A.x<.2xB.log?水*

x

C.log2KlD.2<log2x

X

B[當(dāng)x￡（2,4）時(shí)，ye（4,16）,2'C（4,16）,log2xe（l,2）,:

顯然C,D不正確，對(duì)于選項(xiàng)A,若x=3時(shí)，x=9>2\故A也不正確.]

5.我們定義函數(shù)尸表示不大于x的最大整數(shù)）為“下整函數(shù)”；

定義尸3（{處表示不小于x的最小整數(shù)）為“上整函數(shù)”；例如[4.3]=4,[5]

=5；{4.3}=5,{5}=5.某停車場收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每小時(shí)2元，即不超過1小時(shí)（包

括1小時(shí)）收費(fèi)2元，超過一小時(shí)，不超過2小時(shí)（包括2小時(shí)）收費(fèi)4元，以此

類推.若李剛停車時(shí)間為x小時(shí)，則李剛應(yīng)付費(fèi)為（單位：元）（）

A.20+1]B.2（[x]+l）

C.2{x}D.{2x}

C[如x=l時(shí)，應(yīng)付費(fèi)2元,此時(shí)2[x+l]=4,2（[x]+1）=4,排除A、B；

當(dāng)x=0.5時(shí)，付費(fèi)為2元，此時(shí){2x}=l,排除D,故選C.]

6.物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定

菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間7內(nèi)完成

預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q）,各種方案的運(yùn)輸總量0與時(shí)間E的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這

四種方案中，運(yùn)輸效率（單位時(shí)間的運(yùn)輸量）逐步提高的是（）

ABCD

B[由題意可知：曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，選項(xiàng)B中，。的值

隨t的變化越來越快.故選B.]

7.用二分法判斷方程27+3x-3=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)的根（精確度為0.25）

可以是（參考數(shù)據(jù)：0.753=0.421875,0.6253=0.24414）（）

A.0.25B.0.375

C.0.635D.0.825

C［令f(x)=2/+3x-3,f(0)<0,f(l)>o,AO.5)<0,/(O.75)>0,

AO.625）<0,

工方程2/+3X—3=0的根在區(qū)間（0.625,0.75）內(nèi),

V|0.75-0.6251=0.125<0.25,

???區(qū)間（0.625,0.75）內(nèi)的任意一個(gè)值作為方程的近似根都滿足題意.]

8.我國股市中對(duì)股票的股價(jià)實(shí)行漲停、跌停制度，即每天的股價(jià)最大的漲

幅或跌幅均為10%.某股票在連續(xù)四個(gè)交易日中前兩日每天潴停，后兩日每天跌

停，則該股票現(xiàn)在的股價(jià)相電于四天前的漲跌情況是（）

A.跌1.99%B.漲1.99%

C.跌0.99%D.漲0.99%

A[設(shè)四天前股價(jià)為a,則現(xiàn)在的股價(jià)為aXl.l2X0.92=0.980la,跌

1.99%.]

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.下列函數(shù)：

①y=lg*②y=2"；③尸總@y=|^|—1,其中有零點(diǎn)的函數(shù)是（）

A.①B.③

C.②D.@

ABD[分別作出這四個(gè)函數(shù)的圖象（圖略），其中①y=lgx,③尸f與不軸

有一個(gè)交點(diǎn)，圖象④尸|*|一1的圖象與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)，故選

ABD.]

10.甲、乙二人同時(shí)從力地趕往8地，甲先騎自行車到兩地的中點(diǎn)再改為跑

步，乙先跑步到中點(diǎn)再改為騎自行車，最后兩人同時(shí)到達(dá)8地.己知甲騎車比乙

騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度.現(xiàn)將兩人高開A地的距離s

與所用時(shí)間1的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則下列給出的四個(gè)函數(shù)圖象中，甲、乙的

圖象選擇錯(cuò)誤的是（）

SkSIs

①②③④

A.甲是圖①，乙是圖②B.甲是圖①，乙是圖④

C.甲是圖③，乙是圖②D.甲是圖③，乙是圖④

ACD[由已知甲先快后慢，且前半程用時(shí)要比后半程少，也比乙后半程用時(shí)

少，故符合①，而由乙的運(yùn)動(dòng)知其符合④.]

11.若函數(shù)/'(入)=m。82]+劉?4,+3在區(qū)間8，1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍不可能是()

A.a<-3B.—^<a<—~

331

C.-3〈水一[D.--<a<——

ABD「?,函數(shù)y=log2X,y=4”在其定義域上是增加的，

???函數(shù)f(x)=dlog2x+a-4'+3在區(qū)間年,1)上單調(diào)且連續(xù)，

J由零點(diǎn)存在定理可得[他1?F(1)〈O,即(一口+2日+3)(4葉3)<0,解得一

3〈水一*]

12.已知f(x)=(x—a)(x—6)—2,并且。，B是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a,b,a,￡的大小關(guān)系不可能是()

A.水a(chǎn)<b<8B.水。<￡"

C.。<水伙qD.。<水力<力

ABD[因?yàn)椤晔呛瘮?shù)F(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以F([

=f(￡)=0.N/

又f(a)=F(b)=—2<0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象(如圖所示)fcj/?

可知d,b必在a,尸之間.]

三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在

題中橫線上.

13.用二分法求方程爐+4=6戈的一個(gè)近似解時(shí)，已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間

(0,1)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為.

g，1)[設(shè)F(x)=*—6*+4,顯然/(O)>0,/(l)<0,又0—6X(0

2

+4>0,

所以下一步可斷定方程的根所在的區(qū)間為他，1).]

14.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=0.1?-

llx+3000,若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者的利潤取最大值時(shí)，產(chǎn)量

x等于臺(tái).

180[設(shè)產(chǎn)量為x臺(tái)時(shí)利潤為S萬元，

則S=25x-y=25x-(0.1/一llx+3000)=-0.l/+36x-3000=-

0.1(X-180)2+240,

則當(dāng)x=180時(shí)，生產(chǎn)者的利潤取得最大值.]

15.若函數(shù)F(>)=12'—21有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___.

(0,2)[由函數(shù)〃x)=|2，一2|一b有兩個(gè)零點(diǎn)可得|2-2|=。有兩個(gè)不等

的根，從而可得函數(shù)y=|2'—2|與函數(shù)y=6的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖

象可得0<d<2.]

16.已知函數(shù)f{x)=a\log2jr|+1(a^O),定義函數(shù)

fx,x>0,F/

氏x)=°/八給出下列四個(gè)命題：4/

①Hx)=|/U)|；②函數(shù)網(wǎng)x)是偶函數(shù)；③當(dāng)水o

AA▲A.[上1A.

-4-3-2-1O\1234*

時(shí)，若o<欣水i,則有以加一a〃)〈o成立；④當(dāng)d>o時(shí)，

函數(shù)尸網(wǎng)力一2有4個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是.

②③④[易知Nx)=f(|x|),故/(x)=|f(x)|不正確;②??/(x)=F(|x|),

.,.尸(一x)=Q(入)，?,?函數(shù)/⑸是偶函數(shù)；③當(dāng)水0時(shí)，若則尸(加)一

F(n)=—z?log2z?r-|-l—(―alog277+l)=a(log2/7—log2z?)<0；④當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn){x}

=2可化為f(|x|)=2,即a|log2|x||+1=2,即|log2|x||=p故|x|=2：或|x|

=24,故函數(shù)尸廠3—2有4個(gè)零點(diǎn)，故②③④正確.]

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)討論方程“+x—15=0在［1,2］內(nèi)實(shí)數(shù)解的存在性,

并說明理由.

［解］令f{x)=4/+x-15,??，=4/和y=x在［1,2］上都為增函數(shù)，

???F(x)=4f+x—15在［1,2］上為增函