高二數學試題及答案

高二數學試題及答案一、選擇題1.若函數$f(x)=\sqrt{1x^2}$的定義域為$A$，則$A$的范圍是（）A.$1\leqx\leq1$B.$1<x<1$C.$x\leq1$或$x\geq1$D.$x<1$或$x>1$2.已知集合$A=\{x|x^25x+6<0\}$，$B=\{x|x^23x4\leq0\}$，則$A\capB$的結果是（）A.$\{x|2<x<3\}$B.$\{x|1<x<4\}$C.$\{x|2<x\leq3\}$D.$\{x|1<x\leq4\}$3.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$x\in(0,1)$，則$f(x)$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(0,1]$C.$[0,1)$D.$[0,1]$4.若$a>b$，則下列不等式中成立的是（）A.$a^2>b^2$B.$\frac{1}{a}>\frac{1}$C.$a^3>b^3$D.$\sqrt{a}>\sqrt$5.已知函數$f(x)=x^33x$，則$f(x)$在$x=1$處的切線方程是（）A.$y=x2$B.$y=x+2$C.$y=2x2$D.$y=2x+2$二、填空題6.已知函數$f(x)=x^22x+1$，若$f(x)$的值域為$A$，則$A$的范圍是________。7.已知函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$，若$x\in(1,0)$，則$f(x)$的取值范圍是________。8.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則該極值為________。9.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，若$f(x)$的定義域為$A$，則$A$的范圍是________。10.已知函數$f(x)=\frac{1}{x1}$，若$x\in(1,2)$，則$f(x)$的取值范圍是________。三、解答題11.已知函數$f(x)=x^24x+3$，求$f(x)$的單調區(qū)間。12.已知函數$f(x)=\frac{1}{x2}$，求$f(x)$的定義域。13.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求$f(x)$的值域。14.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$在$x=2$處的導數。15.已知函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$在$x=0$處的切線方程。高二數學試題及答案四、應用題16.某工廠生產某種產品，每天的生產成本為$C(x)=2000+50x$元，其中$x$為產品的日產量（單位：件）。已知該產品的銷售價格為每件$100$元。試求：（1）該工廠的日利潤函數$P(x)$；（2）當產量為多少時，該工廠的日利潤最大？最大利潤是多少？17.已知某商品的需求量$D$與價格$P$之間的關系為$D=2005P$。試求：（1）該商品的價格$P$在什么范圍內時，需求量$D$大于$100$件；（2）當需求量$D$為$150$件時，該商品的價格$P$是多少？18.某商品的售價$P$與銷售量$Q$之間的關系為$P=1002Q$。試求：（1）該商品的售價$P$在什么范圍內時，銷售量$Q$大于$20$件；（2）當銷售量$Q$為$30$件時，該商品的售價$P$是多少？19.已知某產品的生產成本$C$與產量$x$之間的關系為$C=1000+20x$元，其中$x$為產品的日產量（單位：件）。已知該產品的銷售價格為每件$50$元。試求：（1）該產品的日利潤函數$P(x)$；（2）當產量為多少時，該產品的日利潤最大？最大利潤是多少？20.已知某商品的售價$P$與銷售量$Q$之間的關系為$P=1503Q$。試求：（1）該商品的售價$P$在什么范圍內時，銷售量$Q$大于$50$件；（2）當銷售量$Q$為$60$件時，該商品的售價$P$是多少？五、證明題21.已知函數$f(x)=x^22x+1$，證明：對于任意實數$x$，都有$f(x)\geq0$。22.已知函數$f(x)=\frac{1}{x1}$，證明：當$x\neq1$時，$f(x)$的值域為$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$。23.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，證明：對于任意實數$x$，都有$f(x)\geq0$。24.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，證明：當$x\in(\infty,1)\cup(2,+\infty)$時，$f(x)$單調遞增；當$x\in(1,2)$時，$f(x)$單調遞減。25.已知函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$，證明：當$x\in(1,0)$時，$f(x)$單調遞減；當$x\in(0,+\infty)$時，$f(x)$單調遞增。答案：一、選擇題1.A2.D3.C4.C5.A二、填空題6.$[0,1]$7.$(0,1]$8.極大值29.$x\leq2$10.$(0,\frac{1}{2})$三、解答題11.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,2)$，單調遞減區(qū)間為$(2,+\infty)$。12.$f(x)$的定義域為$x\neq2$。13.$f(x)$的值域為$[0,+\infty)$。14.$f'(2)=6$。15.$y=x+1$。四、應用題16.（1）$P(x)=100x(2000+50x)=50x2000$；（2）當$x=40$時，最大利潤為$1000$元。17.（1）$P<20$；（2）$P=30$元。18.（1）$P>60$；（2）$P=60$元。19.（1）$P(x)=50x(1000+20x)=30x1000$；（2）當$x=50$時，最大利潤為$500$元。20.（1）$P<60$；（2）$P=30$元。五、證明題21.證明：$f(x)=(x1)^2\geq0$。22.證明：當$x\neq1$時，$f(x)$無定義，故$f(x)$的值域為$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$。23.證明：$f(x)=\sqrt{(x2)^2}\geq0$。24.證明：$f'(x)=3x^26x$，當$x\in(\infty,1)\cup(2,+\infty)$時，$f'(x)>0$；當$x\in(1,2)$時，$f'(x)<0$。25.證明：$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$，當$x\in(1,0)$時，$f'(x)<0$；當$x\in(0,+\infty)$時，$f'(x)>0$。高二數學試題及答案六、綜合題26.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值點。27.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值點。28.已知函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值點。29.已知函數$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值點。30.已知函數$f(x)=\frac{1}{x2}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值點。七、作圖題31.作出函數$f(x)=x^33x^2+2$的圖像，并標出其單調區(qū)間和極值點。32.作出函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$的圖像，并標出其單調區(qū)間和極值點。33.作出函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$的圖像，并標出其單調區(qū)間和極值點。34.作出函數$f(x)=x^22x+1$的圖像，并標出其單調區(qū)間和極值點。35.作出函數$f(x)=\frac{1}{x2}$的圖像，并標出其單調區(qū)間和極值點。八、開放題36.已知函數$f(x)=x^23x+2$，求證：$f(x)$在實數范圍內有且僅有一個零點。37.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$，求證：$f(x)$在實數范圍內無零點。38.已知函數$f(x)=\frac{1}{x+1}$，求證：$f(x)$在實數范圍內無零點。39.已知函數$f(x)=x^22x+1$，求證：$f(x)$在實數范圍內有且僅有一個零點。40.已知函數$f(x)=\frac{1}{x2}$，求證：$f(x)$在實數范圍內無零點。答案：六、綜合題26.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,1)\cup(2,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(1,2)$；極值點為$x=1$（極大值點），$x=2$（極小值點）。27.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,2)$，單調遞減區(qū)間為$(2,+\infty)$；無極值點。28.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,1)$，單調遞減區(qū)間為$(1,+\infty)$；無極值點。29.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(1,1)$；極值點為$x=1$（極小值點）。30.$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(\infty,2)$，單調遞減區(qū)間為$(2,+\infty)$；無極值點。七、作圖題31.圖像略，標出單調區(qū)間和極值點。32.圖像略，標出單調區(qū)間和極值點。33.圖像略，標出單調區(qū)間和極值點。34.圖像略，標出單調區(qū)間和極值點。35.圖像略，標出單調區(qū)間和極值點。八、開放題36.證明：$f(x)=x^23x+2$的判別式$\Delta=(3)^24\cdot1\cdot2=98=1>0$，故$f(x)$有兩個不同的實數根。但由于$f(x)$是二次函數，且開口向上，故$f(x)$在實數范圍內有且僅有一個零點。37.證明：$f(x)=\sqrt{x^24x+4}$是非負的，且當$x=2$時，$f(x)=0$。由于$f(x)$的定義域為$x\leq2$，故$f(x)$在實數范圍內