1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系（第2課時）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線、平面的垂直人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊課程標準1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面垂直關系的判定定理.3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關系.基礎落實·必備知識全過關知識點空間中直線、平面垂直的向量表示位置關系向量表示線線垂直設直線l1,l2的方向向量分別為μ1,μ2,則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0

可判定相交垂直,也可判定異面垂直線面垂直設直線l的方向向量為μ,平面α的法向量為n,則l⊥α?

?

面面垂直設平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?

?

μ∥n?λ∈R,使得μ=λnn1⊥n2n1·n2=0過關自診1.怎樣用語言敘述利用直線的方向向量與平面的法向量判斷垂直關系?提示

(1)若證線線垂直,則證直線的方向向量垂直;(2)若證線面垂直,則證直線的方向向量與平面的法向量平行;(3)若證面面垂直,則證兩平面的法向量垂直.2.[北師大版教材習題]已知l為直線l的方向向量,n為平面α的法向量,且l?α,判斷直線l與平面α的位置關系是平行還是垂直.(1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3);(2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).解

(1)l·n=(-1,1,1)·(1,4,-3)=(-1)×1+1×4+1×(-3)=0,所以l⊥n,所以l∥α.3.[人教B版教材習題]已知四面體ABCD中,AB=AC,DB=DC,點M為棱BC的中點,指出平面ADM的一個法向量.哪兩個平面互相垂直?為什么?互相垂直的平面有兩組:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.原因:在△ABC中,因為AB=AC,M為棱BC的中點,所以AM⊥BC.同理在△BCD中,DM⊥BC.因為AM∩DM=M,所以BC⊥平面ADM,因為BC?平面ABC,BC⊥平面ADM,所以平面ABC⊥平面ADM,同理平面BCD⊥平面ADM.4.[北師大版教材例題]已知:如圖,AB⊥α,垂足為點B,AC∩α=C,l?α,且l⊥BC.求證:l⊥AC.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用向量方法證明線線垂直【例1】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中點,點E在棱BC上移動.求證:無論點E在棱BC上的何處,都有PE⊥AF.思路分析

只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.證明

(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,變式探究

本例條件不變,求證:AF⊥BC.規(guī)律方法

利用向量方法證明線線垂直的方法

坐標法建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,求出兩直線方向向量的坐標,然后通過數(shù)量積的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直基向量法利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律,結合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直變式訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.證明

以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,探究點二利用向量方法證明線面垂直【例2】

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.(方法2)以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.(方法3)以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,規(guī)律方法

利用空間向量證明線面垂直的方法

變式訓練2[北師大版教材習題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱長AB=AD=2,AA'=3,點E是平面BCC'B'上的動點,點F是CD的中點.試確定點E的位置,使D'E⊥平面AB'F.探究點三利用向量方法證明面面垂直【例3】

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明

由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).設平面AEC1的法向量為n2=(x2,y2,z2),令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.規(guī)律方法

證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法:利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法:證明兩個平面的法向量互相垂直.變式訓練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=AD.求證:平面AMD⊥平面CDE.證明

如圖,建立空間直角坐標系,點A為坐標原點,AB,AD,AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸.因此CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE?平面CED,∴平面AMD⊥平面CDE.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線與直線垂直的向量表示;(2)直線與平面垂直的向量表示;(3)平面與平面垂直的向量表示.2.方法歸納:轉化法、法向量法.3.常見誤區(qū):容易混淆直線的方向向量、平面的法向量之間的關系與線面間的垂直關系的對應.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314A級必備知識基礎練1.[探究點三]若平面α與β的法向量分別是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),則平面α與β的位置關系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.無法確定B解析

a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α與平面β垂直.1234567891011121314C12345678910111213143.[探究點一](多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分別是棱DD1,D1C1的中點,則直線OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC,MN都不垂直AC1234567891011121314解析

以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).設正方體的棱長為2a,則D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).12345678910111213144.[探究點三]已知平面α的一個法向量a=(x,1,-2),平面β的一個法向量b=.若α⊥β,則x-y=

.

-1解析

因為α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.12345678910111213145.[探究點二]已知空間四點A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則P的坐標為

.

(-1,0,2)12345678910111213146.[探究點三][2023山東棗莊月考]如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.求證:平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314證明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩垂直.如圖所示,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一個法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.12345678910111213147.[探究點二]如圖,在四棱錐P

-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.求證:CD⊥平面PAE.證明

如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).1234567891011121314∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.12345678910111213148.[探究點一][北師大版教材習題]已知:如圖,△ABC為正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,點F是BE的中點.(1)求證:DF∥平面ABC;(2)求證:AF⊥BD.123456789101112131412345678910111213141234567891011121314B級關鍵能力提升練B123456789101112131410.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,P是AA1的中點,點M在側面AA1B1B(含邊界)內,若D1M⊥CP,則△BCM面積的最小值為(

)D1234567891011121314ABC1234567891011121314123456789101112131412.[北師大版教材習題]已知:如圖,在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A'B'C'D',,AA'=1,點E是C'D'的中點.求證:平面AA'E⊥平面BB'E.1234567891011121314令x=1,則y=1.所以n1=(1,1,0).同理可求得平面BB'E的一個法向量為n2=(1,-1,0).所以n1·n2=1×1+1×(-1)+0=0.所以n1⊥n2,即平面AA'E⊥平面BB'E.123456789101112131413.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.(1)求證:CD⊥平面PAC.(2)側棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出點E的位置并證明;若不存在,請說明理由.1234567891011121314解

因為∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因為側面PAD⊥底面ABCD,且側面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=