理論力學(xué)-課件第12章

第十二章碰撞01碰撞問題的基本特征和基本概念02用于碰撞過程的基本定理03物體的正碰撞動能損失04碰撞沖量對轉(zhuǎn)動剛體的作用撞擊中心目錄第一節(jié)碰撞問題的基本特征和基本概念第一節(jié)物體由于運動受到阻礙或沖擊，在極短的時間內(nèi)其速度發(fā)生有限的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。

如射擊、敲釘、球的彈跳、錘鍛、飛機著陸等都是碰撞的實例。了解碰撞的基本特征，掌握它的規(guī)律，正是為了更好地利用碰撞的有利因素，避免它的不利影響設(shè)在敲擊時，釘給手錘的力為F，手錘重為G，可寫出手錘的動力學(xué)基本方程為由方程解得可見，碰撞力F遠遠大于手錘的重量G。如果碰撞時間再短一些或碰撞前后的速度變化更大一些，則碰撞力將更大。碰撞力的作用時間極短，而數(shù)值極大，這是碰撞力的重要特點，所以碰撞力又稱瞬時力。

在研究碰撞過程中，通常用碰撞力在碰撞時間內(nèi)的積累效應(yīng)即碰撞沖量來度量碰撞的強度若以I表示碰撞沖量，F(xiàn)表示變化的碰撞力，則有（12-1）根據(jù)上述碰撞的特點，為使問題簡化，對于碰撞問題作如下基本假設(shè)。（1）在碰撞過程中，和碰撞力相比，非碰撞力，如重力、彈性力、空氣阻力等普通力均略去不計。但應(yīng)當(dāng)注意，在碰撞前和碰撞后，普通力對物體的運動狀態(tài)的變化起主要作用，不可不計。（2）由于碰撞過程非常短促，物體在碰撞開始和碰撞結(jié)束時的位置基本上沒有改變，因此，在碰撞過程中物體的位移可以忽略不計。第二節(jié)用于碰撞過程的基本定理第二節(jié)一、碰撞過程的動量定理——沖量定理設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，碰撞過程開始瞬時的速度為v，結(jié)束時的速度為u。則質(zhì)點動量定理的積分形式為（12-2）式中，I為碰撞沖量，普通力的沖量不計。對于碰撞的質(zhì)點系，作用于第i個質(zhì)點上的碰撞沖量可分為外碰撞沖量

和內(nèi)碰撞沖量

，按照式（12-2）有設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，對于每個質(zhì)點都可列出如上的方程，將n個方程相加，得因為內(nèi)碰撞沖量總是大小相等、方向相反且成對的存在，因此

，于是得（12-3）式（12-3）與用于非碰撞過程的動量定理一樣，但在此不計普通力的沖量，稱為沖量定理。質(zhì)點系的動量可用總質(zhì)量M與質(zhì)心速度的乘積計算。于是式（12-3）又可寫成式中，

和

分別是碰撞開始和結(jié)束時質(zhì)心的速度。二、用于碰撞過程的動量矩定理——沖量矩定理質(zhì)點系動量矩定理的微分形式為對上式積分，得或式中，

為質(zhì)點系對于定點O的動量矩矢；

為作用于質(zhì)點系的外力對O點的主矩。上式可改寫為

前面已經(jīng)假設(shè)，在碰撞過程中，各質(zhì)點位置不變，因此，碰撞力作用點的矢徑

為恒量，于是有

或（12-5）即質(zhì)點系在碰撞開始和結(jié)束時對O點動量矩的變化，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量對同一點的主矩，稱為沖量矩定理。式中，不計普通力的沖量矩。第三節(jié)物體的正碰撞動能損失第三節(jié)設(shè)兩物體做平動，若兩物體質(zhì)心的連線與接觸點的公切線垂直，碰撞開始時的速度沿此連線，如圖12-1所示。這種碰撞稱為對心正碰撞。圖12-1一、兩物體正碰撞結(jié)束時的速度首先，分析整個碰撞過程。碰撞過程可分為兩個階段：第一階段，從兩球開始發(fā)生碰撞的瞬時開始，到兩球具有相同的速度u，如圖12-2（b）所示，即變形達到最大時為止，此為變形階段；第二階段，從第一階段結(jié)束時開始，兩球的變形逐漸恢復(fù)，到兩球各自獲得不同的速度，即碰撞結(jié)束時為止，稱為恢復(fù)階段。

（a）

（b）

（c）

圖12-2實驗表明，對于兩個具有確定材料的球，碰撞后兩球的分離速度

，與碰撞前兩球趨近速度力

（即碰撞后與碰撞前兩物體的質(zhì)心相對速度大小）的比值是不變的，以k表示，則（12-6）式中，比值k稱為恢復(fù)因數(shù)。它表明碰撞時變形恢復(fù)的程度，其大小由材料的性質(zhì)所決定。表12-1給出了幾種常見材料的恢復(fù)因數(shù)。恢復(fù)因數(shù)k恒為正值，其數(shù)值范圍為0到1碰撞物體的材料鐵對鉛木對膠木木對木鋼對鋼象牙對象牙玻璃對玻璃恢復(fù)因數(shù)0.140.260.500.560.890.94由于兩球組成的質(zhì)點系不受外碰撞沖量作用，則由動量守恒方程在質(zhì)心連線上的投影式，可得（12-7）聯(lián)立式（12-6）和（12-7），解得（12-8）由此可見，當(dāng)

時，

，再單獨分析質(zhì)量為

的球。應(yīng)用沖量定理，求得在整個碰撞過程中，兩球相互作用的碰撞沖量為（12-9）若球自由下落，則可通過球距離固定面的高度H和回跳的高度h來表示k。由自由落體公式可知于是得（12-10）圖12-3將式（12-8）中的

值代入上式，解得如果平動物體與固定面碰撞，碰撞開始瞬時的質(zhì)心速度v與接觸點法線的夾角為α（稱為入射角），碰撞結(jié)束時返跳速度為u與接觸點法線的夾角為β（稱為反射角），如圖12-4所示。這種碰撞稱為斜碰撞。設(shè)不計摩擦，兩物體只在法線方向發(fā)生碰撞，于是材料的恢復(fù)因數(shù)為法線方向的投影，則有測出球的降落高度H和回跳高度h，即可計算出球和固定面兩種材料碰撞時的恢復(fù)因數(shù)k。這也就是測定恢復(fù)因數(shù)的實驗方法。圖12-4于是

由動量定理在切線上的投影式有（12-11）例12-1圖12-5首先研究兩球的碰撞過程。（1）取兩球A，B為所研究的系統(tǒng)。（2）系統(tǒng)的速度由

與

（）變成為

與（3）在碰撞時間內(nèi)無外碰撞沖量，則由系統(tǒng)動量守恒，得所以

（a）解由式（12-6）得

（b）由式（a）、式（b）消去

，則有得

（d）對球B，應(yīng)用動能定理，則有得

將式（d）、（e）代入式（c）中，解得（e）二、正碰撞過程中的動能損失以T1和T2分別表示兩物體組成的質(zhì)點系在碰撞過程開始和結(jié)束時的動能，則有在碰撞過程中質(zhì)點系損失的動能為（12-12）由式（12-8），得 （12-13）（12-14）將式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得由式（12-6），得

于是（12-15）在塑性碰撞時，

，動能損失為如果第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即

，則動能損失為

注意到

，則上式可改寫為（12-16）圖12-6例12-2

物塊A自高h處落下與B塊接觸時碰撞開始，此后A的速度減小，B的速度增大，兩者速度相等時；碰撞結(jié)束后A，B一起做減速運動，直到速度等于零為止，這時彈簧壓縮量達最大值。由于這時彈簧力大于重力，物塊將朝上運動，并將持續(xù)地往復(fù)運動。在碰撞開始時，A，B的速度分別為在碰撞結(jié)束時

解

應(yīng)用動能定理求彈簧的最大壓縮量將上式整理成標準的二次式注意到

，解得另一解無意義。汽錘與鍛件在碰撞過程中損失的動能與鍛錘在碰撞開始時具有的動能的比值，定義為汽錘的效率，即例12-3

于是

如果將鍛件燒到赤熱，近似的認為

，于是即減小k值，可提高錘鍛的效率。解

第四節(jié)碰撞沖量對轉(zhuǎn)動剛體的作用撞擊中心一、轉(zhuǎn)動剛體角速度的變化即或?qū)懗桑?2-17）式（12-17）表明，碰撞時，定軸轉(zhuǎn)動剛體角速度的變化，等于作用于剛體的外碰撞沖量對轉(zhuǎn)軸的主矩除以對該軸的轉(zhuǎn)動慣量。二、支座的反碰撞沖量

撞擊中心繞定軸轉(zhuǎn)動剛體受到外碰撞沖量I作用時，不僅剛體的角速度會發(fā)生變化，軸承和軸也會發(fā)生碰撞。圖12-7取坐標軸Oy通過質(zhì)心C，x軸與y軸垂直。由沖量定理，可知（12-18）（12-19）（12-20）這就是說，如果外碰撞沖量I作用在物體的對稱平面內(nèi)，并且滿足以上兩個條件，則軸承反碰撞沖量等于零，即軸承處不發(fā)生碰撞。將式（12-17）代入式（12-120），就可求出碰撞沖量I的作用點K到x軸的距離h，即（12-21）滿足式（12-21）的K點稱為撞擊中心于是得出結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于物體的對稱平面內(nèi)的撞擊中心，且垂直于轉(zhuǎn)軸與質(zhì)心的連線時，在轉(zhuǎn)軸處不引起碰撞沖量。根據(jù)上述結(jié)論，設(shè)計材料撞擊試驗機的擺錘時，必須把撞擊試件的刃口設(shè)在擺錘的撞擊中心，這樣可以使軸承避免承受撞擊載荷。同樣，用球棒擊壘球時，如果擊球點選的合適，手不會感到震動，則此擊球點就是球棒的撞擊中心。均質(zhì)桿質(zhì)量為M，長為l，其上端由圓柱鉸鏈固定，如圖12-8所示。桿由水平位置無初速地落下，在鉛垂位置撞在一固定物塊上。設(shè)恢復(fù)因數(shù)為k，求：（1）軸承的碰撞沖量；（2）撞擊中心的位置。取桿為研究對象，其碰撞前后的角速度分別為