2021年甘肅省武威市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、慶陽(yáng)市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

甘肅省武威市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).

1.3的倒數(shù)是（）

A.3B.—3C.—D.----

33

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書(shū)記勉勵(lì)全國(guó)各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛,

艱苦奮斗老黃?！本?，某社區(qū)也開(kāi)展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.也+也=3B.475-75=4C.而/=#D.732-78=4

4.中國(guó)疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國(guó)外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國(guó)已無(wú)償向80個(gè)國(guó)家和3個(gè)

國(guó)際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國(guó)新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能一半，必將為全球抗疫

作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5xlO10D.50xl08

5.將直線y=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的表達(dá)式為（）

A.y=5x-2B.y=5x+2c.y=5（x+2）D.y=5（X-2）

6.如圖，直線。砌/8R用一ABC的頂點(diǎn)B在上，若NCBF=20°,則（）

A.70°B.60°C.75°D.80°

7.如圖，點(diǎn)在。上，AB=CD,ZAOB=42°,則NC￡D=()

E

A.48°B.24°C.22°D.21°

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車(chē)”問(wèn)題：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步.問(wèn)：人與

車(chē)各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車(chē)，如果每3人坐一輛車(chē)，那么有2輛空車(chē)；如果每2人坐一輛車(chē)，那么有

9人需要步行，問(wèn)人與車(chē)各多少?設(shè)共有x人，>輛車(chē)，則可列方程組為()

'3(y-2)=x[3(y+2)=x[3(y-2)=x[3(y-2)=x

A.〈B.<C.<D,<

2y-9=x[2y+9=x[2y+9=x[2y+x=9

9.對(duì)于任意的有理數(shù)。力，如果滿足色+2=土也，那么我們稱這一對(duì)數(shù)a乃為“相隨數(shù)對(duì)"，記為(a,。).若

(〃?,〃)是“相隨數(shù)對(duì)”，則癡+2[3〃?+(2〃-1)]=()

A.-2B.-1C.2D.3

10.如圖1,在A6C中，A8=8C,8D_LAC于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線ABf3C方

向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止設(shè)點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)路程為X,一AMD的面積為XV與X的函數(shù)圖象如圖2,則AC的長(zhǎng)為()

D.9

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.因式分解：4m-2m2=.

12.關(guān)于x的不等式1〉」的解集是

32―

13.已知關(guān)于x的方程%2—2%+〃2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加的值是一

14.開(kāi)學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測(cè)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

體溫（℃）36.336.436536.636.736.8

天數(shù)（天）233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是℃.

15.如圖，在矩形ABC。中，￡是8c邊上一點(diǎn)，44即=9（）°,/￡4。=30°,下是4。邊中點(diǎn)，EE=4cm,

則班:=cm.

16.若點(diǎn)A（—3,y）,3（T,%）在反比例函數(shù)y=的圖象上，貝Ui_%（填或或“=”）

x

17.如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為一—dm2.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2^,^+2b5,a'-2b1，…，則第〃個(gè)式子是.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19.計(jì)算：（2021-%）°+d）T-2cos45。.

2

20.先化簡(jiǎn)，再求值：（2-2旦x）.尤二2——4—.其中x=4.

x-2X2-4X+4

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知

是弦AB上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)弓I理的作圖過(guò)程

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：

①作線段AC的垂直平分線DE,分別交AB于點(diǎn)八，AC于點(diǎn)E,連接AD,CD;

②以點(diǎn)。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)尸（￡A兩點(diǎn)不重合），連接DF,BD,BF.

（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建

筑.寶塔建造工藝精湛，與蛇帽山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“大

明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔8垂直于地面，在地面上選取A8兩處分別測(cè)得NC4。和NC8D的度數(shù)（A,D,B在

同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上46兩點(diǎn)的距離為5801,/。。=42。,/。8。=58。.

問(wèn)題解決：求寶塔CO的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°=0.74,tan42°*0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

23.一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的

小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于

0.75左右.

（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1

個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率(用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法).

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

24.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉力”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)

束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分成A5,五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)

合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：

等級(jí)成績(jī)

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<x<90

E90<x<100

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖學(xué)生成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中〃?=

(2)補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；

(3)所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在________等級(jí)；

(4)若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？

25.如圖1

小剛家，學(xué)校、圖書(shū)館在同一條直線上，小剛騎自行車(chē)勻速?gòu)膶W(xué)校到圖書(shū)館，到達(dá)圖書(shū)館還完書(shū)后，再以相同的

速度原路返回家中(上、下車(chē)時(shí)間忽略不計(jì)).小剛離家的距離y(m)與他所用的時(shí)間x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2

所示.

小剛家

⑴小剛家與學(xué)校的距離為m,小剛騎自行車(chē)的速度為m/min；

⑵求小剛從圖書(shū)館返回家的過(guò)程中，y與％的函數(shù)表達(dá)式；

⑶小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)?

26.如圖，A6C內(nèi)接于(一。,。是。的直徑A3的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N￡)C8=NQ4C.過(guò)圓心。作8C的平行

⑴求證：8是的切線；

(2)若C0=4,CE=6,求-0的半徑及tan/OCB的值；

27.問(wèn)題解決：如圖1,在矩形A8CD中，點(diǎn)瓦尸分別在AB,8c邊上，DE=AF,DE工AF于點(diǎn)G.

圖1

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)延長(zhǎng)C8到點(diǎn)4,使得3//=AE,判斷形狀，并說(shuō)明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形A8CD中，點(diǎn)民廠分別在46,8。邊上，OE與AE相交于點(diǎn)G,

DE=AF,ZAED=60°,AE^6,BF^2,求DE的長(zhǎng).

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=；/+歷:+。與坐標(biāo)軸交于4(0,—2),3(4,0)兩點(diǎn)，直線

8C:y=-2x+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線A8下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,DG分

別交直線BC,AB于點(diǎn)瓦產(chǎn).

(1)求拋物線y=g/+bx+c的表達(dá)式；

(2)當(dāng)GE=；,連接8D,求雙年的面積；

(3)①”是,'軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形6E/V是矩形時(shí)，求點(diǎn)//的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足P4=PC+2,求△尸周長(zhǎng)的最小值.

甘肅省武威市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).

1.3的倒數(shù)是（）

A.3B.—3C.—D.----

33

【答案】C

【詳解】根據(jù)倒數(shù)的定義可知.

解：3的倒數(shù)是?.

3

主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握.需要注意的是：

倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，o沒(méi)有倒數(shù).

倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書(shū)記勉勵(lì)全國(guó)各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛，

艱苦奮斗老黃牛”精神，某社區(qū)也開(kāi)展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對(duì)稱圖形的是（）

事?中⑥

【答案】B

【分析】結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義即可求解.

【詳解】解：A：不符合軸對(duì)稱圖形的定義，不合題意；

B：符合軸對(duì)稱圖形的定義，符合題意；

C：不符合軸對(duì)稱圖形的定義，不合題意；

D：不符合軸對(duì)稱圖形的定義，不合題意；

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察軸對(duì)稱圖形的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義，即當(dāng)一個(gè)平

面圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.百+百=3B.475-75=4C.73x72=76D.病+次=4

【答案】C

【分析】直接根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案.

【詳解】6+百=2百，故A錯(cuò)；

4小-也=3非、故B錯(cuò)；

s/3X-\/2=y/b.C正確；

住+遮=2,故。錯(cuò).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的運(yùn)算和化簡(jiǎn)，掌握其運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵.

4.中國(guó)疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國(guó)外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國(guó)已無(wú)償向80個(gè)國(guó)家和3個(gè)

國(guó)際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國(guó)新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫

作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5x10'°D.50xl08

【答案】B

【分析】結(jié)合科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法即可求解.

【詳解】解：50億即5000000000,故用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為5x10。，

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵即掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法，科學(xué)

計(jì)數(shù)法的表示形式為4X10",其中1W同＜10,〃為整數(shù).此外熟記常用的數(shù)量單位，如萬(wàn)即是10%億即是1（）8等

5.將直線y=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的表達(dá)式為（）

A.y=5x-2B.y-5x+2C.y=5（x+2）D.y=5（x-2）

【答案】A

【分析】只向下平移，讓比例系數(shù)不變，常數(shù)項(xiàng)減去平移的單位即可.

【詳解】解：直線y=5x向下平移2個(gè)單位后所得直線的解析式為y=5x-2

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)上下平移的規(guī)則“上加下減”在常數(shù)項(xiàng).函數(shù)

左右平移的規(guī)則“左加右減”在自變量，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平移的規(guī)則求出平移

后的函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

6.如圖，直線DO/BEHf.ABC的頂點(diǎn)B在8尸上，若NCBF=20°,則Z4DE=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

【答案】A

【分析】先求出NC8E的余角/ABF,利用平行線性質(zhì)可求/AQE.

【詳解】解：???/?/_ABC,NCBF=20。

NA8C=90°,ZABF=90°-ZCBF=90°-20°=70°,

DE//BF,

；.NADE=NABF=70°.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)，掌握余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，點(diǎn)A,B,C,Z),E在。上，AB=CD,ZA0B=42°,則NCED=()

B

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【分析】先證明AB=CD,再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案.

【詳解】解：點(diǎn)A,B,C,D,E在一。上，AB=CD,ZAOB=42°,

:.AB=CD,

ZCED」ZAOB=Lx42。

21°,

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的兩條弧，兩個(gè)圓心角，兩條弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同弧或等弧

的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車(chē)”問(wèn)題：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步.問(wèn)：人與

車(chē)各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車(chē)，如果每3人坐一輛車(chē)，那么有2輛空車(chē)；如果每2人坐一輛車(chē)，那么有

9人需要步行，問(wèn)人與車(chē)各多少?設(shè)共有x人，輛車(chē)，則可列方程組為（)

3(y-2)=x3(y+2)=x3(y-2)=x3(y-2)=x

A.《B.C.D.〈

2y-9=x2y+9=x2y+9=x2y+x=9

【答案】C

分析】設(shè)共有x人,y輛車(chē)，由每3人坐一輛車(chē),有2輛空車(chē)，可得3（y一2）=x,由每2人坐一輛車(chē)，有9人需

要步行，可得：2y+9=x,從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)共有x人，）'輛車(chē)，則

'3（y-2）=x

2y+9=x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，確定相等關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

9.對(duì)于任意的有理數(shù)。力，如果滿足3+2=色也，那么我們稱這一對(duì)數(shù)a2為“相隨數(shù)對(duì)"，記為（a,。）.若

（/〃,〃）是“相隨數(shù)對(duì)"，則3m+2[3加+（2〃―1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】先根據(jù)新定義，可得9〃汁4〃=0,將整式3加+2[3加+（2〃―1）]去括號(hào)合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)得9加+4n—2,然

后整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???（〃?,〃）是“相隨數(shù)對(duì)‘，

mnm十n

.*?—I—=-----,

232+3

整理得9m+4n=0t

3m+2[3m+（2/i—1）]--3m+6m+4n—2-9m+4n—2——2.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義相隨數(shù)對(duì)，找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值，掌握新定義相隨數(shù)對(duì)，找出數(shù)對(duì)之間

關(guān)系，整式加減計(jì)算求值是解題關(guān)鍵.

10.如圖1,在..ABC中，48=8。,3。_14。于點(diǎn)。（4）＞3￡））.動(dòng)點(diǎn)"從人點(diǎn)出發(fā)，沿折線f方

向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程為X,^AMD的面積為與X的函數(shù)圖象如圖2,則AC的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】從圖象可知，AB=BC=岳,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8位置時(shí)，?41Q的面積達(dá)到最大值y=3,結(jié)合等腰三

角形的“三線合一”的性質(zhì)、三角形的面積公式和勾股定理可求得AC的長(zhǎng).

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程x=AB+6C=2jW，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的位置時(shí)，的

面積y達(dá)到最大值3,即?A3。的面積為3.

AB=BC,BDLAC,

AB=BC=岳,AC=2AD,-AD?BD=3.

2

AD2+BD2=AB2=（V13）2==

AD2+23\DE8DaW2=+=，即：（A￡）+8。丫=25,

AD2-lAIXBDi-BD2=，即：（A。-BD）』

AD>BD.

AD+BD=5,AD—BD=1.

兩式相加，得，2AD=6.

：.AC=2AD=6.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等式的性質(zhì)與恒等變形、函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，從函數(shù)圖象中獲

取相應(yīng)的信息，利用勾股定理和三角形的面積公式，進(jìn)行等式的恒等變形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.因式分解：4m-2m2=.

【答案】2加（2—加）

【分析】先確定42小的公因式為2%，再利用提公因式分解因式即可得到答案.

【詳解】解：4m—2/n2=2m（2—m）.

故答案為：2m（2-m）

【點(diǎn)睛】本題考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的確定是解題的關(guān)鍵.

12.關(guān)于X的不等式!尤-I〉」的解集是

32―

【答案】X、Q

【分析】先去分母，再移項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，即可得到不等式的解集.

【詳解】解：-x-l>-

32

去分母得：2x-6>3,

移項(xiàng)得：2x>9,

9

x一

2

9

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解題的關(guān)鍵.

13.已知關(guān)于X的方程*2—2x+M=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加的值是一..

【答案】1

【詳解】試卷分析：???關(guān)于X的一元二次方程￡+2%+帆=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，二A=0,，4-4m=0,.?.m=l,

故答案為1.

考點(diǎn)：根的判別式.

14.開(kāi)學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測(cè)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

體溫（℃）36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)（天）233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是℃.

【答案】36.6

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義就可解決問(wèn)題.

【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知眾數(shù)是36.6C,

故答案為:36.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)的求解，正確理解眾數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形ABCD中，E是8c邊上一點(diǎn)，44瓦）=9（）°,/￡4。=30°,下是4。邊的中點(diǎn)，EF=4cm,

貝cm.

【答案】6

【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解AO,再利用銳角三角函數(shù)依次求解即可得

到答案.

【詳解】解：ZAED=90°,F是邊的中點(diǎn)，EF=4cm,

:.AD=2EF=S,

ZDA￡=30。，

AE=cos30°xAD=8x4=4百，

2

矩形ABC。，

:.AD//BC,ZABE=90°,

ZAEB=ZDAE=30°,

BE=A￡.cos30。=4百xI-=6.

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握銳角三

角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.若點(diǎn)4（一3,%）,3（7,%）在反比例函數(shù)3；=生日的圖象上，貝IJ%—%（填或或“=”）

X

【答案】<

【分析】先確定y=0*的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，再利用反比例函數(shù)的性

x

質(zhì)可得答案.

【詳解】解：?2+1>0,

y=竺出的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，

x

■.-3>-4,

M<%，

故答案為：<

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握利用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較函數(shù)值的大小是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°

的扇形，則此扇形的面積為dm2

【答案】2〃

【分析】如圖，連接A8,證明A8為圓的直徑，再利用勾股定理求解AC,再利用扇形面積公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，連接A8,

ZACB^90°,

為圓的直徑，AB=4,

：.AC2+BC2=AB2,AC=BC,

:.AC=BC=26,

90。萬(wàn)x(2拒『

/.S----------------------2萬(wàn)?

360°

故答案為：2乃.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2h\ai+2b5,aA-2b1，…，則第〃個(gè)式子是

【答案】4+(-1)向

【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個(gè)式子的第一項(xiàng)中〃的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)的2倍

減1,而第二項(xiàng)的符號(hào)是第奇數(shù)項(xiàng)時(shí)是正號(hào)，第偶數(shù)項(xiàng)時(shí)是負(fù)號(hào).

【詳解】解：?.?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（―1）’向=1；

當(dāng)，?為偶數(shù)時(shí)，（-1）e=-1,

???第n個(gè)式子是：a"+（—，）*"h2n-'.

故答案為：a"+（-1），，+，?h2n-'

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19.計(jì)算：(2021-m°+d)T-2cos45。.

2

【答案】3-V2

【分析】先進(jìn)行零指數(shù)哥和負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲，余弦函數(shù)值計(jì)算，再計(jì)算二次根式的乘法，合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：（2021—萬(wàn)）°+（工尸-2cos450,

2

=l+2-2x—,

2

3-V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查零指數(shù)騫和負(fù)整數(shù)指數(shù)備，特殊角三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)毒和負(fù)整數(shù)指數(shù)器的運(yùn)算法則,

特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2x尤？—4.

20.先化簡(jiǎn)，再求值：（2—,其中x=4.

x-2X2-4X+4

42

【答案】

x+2'3

【分析】小括號(hào)內(nèi)先通分計(jì)算，將除法變成乘法并因式分解，根據(jù)乘法法則即可化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算即可.

2r-4二)x上一2匕

【詳解】解：原式=(--

x-2X—2(x+2)(%—2)

-4x-2

------x------

x-2x+2

4

x+2

42

當(dāng)x=4時(shí)，原式=------=.

4+23

【點(diǎn)睛】本題考察分式的化簡(jiǎn)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型.解題的關(guān)鍵在于熟悉運(yùn)算法則和因式分解.

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知

是弦A8上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)弓I理的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）：

①作線段AC的垂直平分線DE,分別交AB于點(diǎn)D,AC于點(diǎn)E,連接4）,8；

②以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)尸（EA兩點(diǎn)不重合），連接DF,BD,BF.

（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）BC=BF

【分析】（1）①分別AC為圓心，大于工AC為半徑畫(huà)弧，得到兩弧的交點(diǎn)，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線OE即可得到答

2

案，②按照語(yǔ)句依次作圖即可；

（2）由作圖可得：D4=0C=r>￡再證明=NDBfZDFB=ZDCB,再證明四一。尸8,從而

可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）作出線段AC的垂直平分線OE,連接4）,。;

以。為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)/，連接DF,BD,BF,如圖示：

（2）結(jié)論：BC=BF.理由如下：

由作圖可得：￡>E是AC的垂直平分線，DA=DF,

：.DA=DC=DF,

：.ADAC=ZDCA,AD=FD,

ZDBC=ZDBF,

四邊形ASFD是圓的內(nèi)接四邊形，

ZDAB+ZDFB=\SQ0,

ZDCA+ZDCB=\SO0,

：.NDFB=NDCB,

DB=DB,

:「DCB—DFB,

：.BC=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解題是關(guān)鍵.

22.如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建

筑.寶塔建造工藝精湛，與蛇崛山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“大

明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔C￡）垂直于地面，在地面上選取人5兩處分別測(cè)得/040和/。8。的度數(shù)（A2B在

同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上48兩點(diǎn)的距離為58111,/。1。=42。,/。8。=58°.

問(wèn)題解決：求寶塔CD的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

Illic

【答案】33.4m

【分析】設(shè)C0=xm,再利用銳角三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示A。,8。,再列方程，解方程可得答案.

【詳解】解：QCP1AB,設(shè)C0=MI,

CDXX

在用以。。中，AD=

tanZCADtan42°-0.9

CDXX

在Rf/XCBD中,BD=

'tanZCBD~tan58°-1.6

AD+BD=AB,

xx

-------1-------=58,

0.91.6

,-.125x=4176,

解得，x彩33.4.

答：寶塔的高度約為33.4m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

23.一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的

小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于

0.75左右.

(1)請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

(2)現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰

好不同的概率(用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法).

【答案】(1)1個(gè)；⑵-

O

【分析】（1）先利用頻率估計(jì)概率，得到摸到紅球的概率為0.75,再利用概率公式列方程，解方程可得答案；

（2）利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可

得到答案.

【詳解】解：（1）：通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，

,估計(jì)摸到紅球的概率為0.75,

設(shè)白球有x個(gè)，依題意得一3一=0.75

3+x

解得，x=\

經(jīng)檢驗(yàn)：x=l是原方程的解，且符合題意，

所以箱子里可能有1個(gè)白球；

（2）列表如下：

紅?紅2紅3白

紅1（紅?,紅?）（紅1,紅2）（紅1,紅）（紅1，白）

紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅）（紅2，白）

紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3,紅3）（紅3，白）

ri（白，紅1）（白，紅2）（白，紅）（白，白）

或畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

第一次

第二次

???一共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：

（紅一白）、（紅2,白）、（紅3,白）、（白，紅I）、（白，紅2）、（白，紅3）共6種.

兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率色=2.

168

【點(diǎn)睛】

本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多的情

況下，頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值附近，這個(gè)常數(shù)視為概率，以及掌握列表與畫(huà)樹(shù)狀圖的方法是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

24.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉力”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)

束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分成五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)

合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：

等級(jí)成績(jī)

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<JC<90

E90<x<100

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖學(xué)生成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中加=

（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；

（3）所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在________等級(jí)；

（4）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？

【答案】⑴200,16；（2）見(jiàn)解析；（3）C；（4）940人

【分析】(1)B等級(jí)人數(shù)40人+B等級(jí)的百分比為20%,利用抽查人數(shù)-其它各組人數(shù)即可；

(2)C等級(jí)200x25%=50人，%=16即可補(bǔ)全頻率分布直方圖：

(3)根據(jù)中位數(shù)定義即可求即；

(4)成績(jī)80分以上的在。、E兩等級(jí)中人數(shù)占抽樣的百分比47%乘以學(xué)生總數(shù)即可.

【詳解】解：(1)3等級(jí)人數(shù)40人，由扇形圖可知8等級(jí)的百分比為20%,

，本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了40-20%=200名學(xué)生的成績(jī)，C等級(jí)20()x25%=50人

,”=200-40-50-70-24=16

故答案：200,16；

(2)C等級(jí)200x25%=50人，〃?=16,

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示：

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖

(3)頻率分布直方圖已將數(shù)據(jù)從小到大排序，一共抽查200個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)定義中位數(shù)位于第100,101兩位

置上成績(jī)的平均數(shù)，16+40=56<100,16+40+50=106〉101,

.?.中位數(shù)在C等級(jí)內(nèi)；

故答案為：C

(4)成績(jī)80分以上的在。、E兩等級(jí)中人數(shù)為：70+24=94人，占抽樣的百分比為94+200xl00%=47%,

全校共有2000名學(xué)生，成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生有2000x47%=940(人).

答：全校2000名學(xué)生中，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有940人.

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和扇形圖獲取信息，樣本容量，補(bǔ)畫(huà)頻率分布直方圖，中位數(shù)，用樣本的百分比

含量估計(jì)總體中的數(shù)目等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是關(guān)鍵.

25.如圖1

小剛家，學(xué)校、圖書(shū)館在同一條直線上，小剛騎自行車(chē)勻速?gòu)膶W(xué)校到圖書(shū)館，到達(dá)圖書(shū)館還完書(shū)后，再以相同的

速度原路返回家中(上、下車(chē)時(shí)間忽略不計(jì)).小剛離家的距離y(m)與他所用的時(shí)間x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2

所示.

(1)小剛家與學(xué)校的距離為m,小剛騎自行車(chē)的速度為m/min；

(2)求小剛從圖書(shū)館返回家的過(guò)程中，＞與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

【答案】⑴3000,200;(2)y=-200x+9000(20WxW45);(3)2000m

【分析】(1)從起點(diǎn)處為學(xué)校出發(fā)去處為圖書(shū)館，可求小剛家與學(xué)校的距離為3000m,小剛騎自行車(chē)勻速行駛10

分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車(chē)的速度即可；

(2)求出從圖書(shū)館出發(fā)時(shí)的時(shí)間與路程和回到家是的時(shí)間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(3)小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時(shí)間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當(dāng)x=35時(shí)，函數(shù)值即可.

【詳解】解：(1)小剛騎自行車(chē)勻速?gòu)膶W(xué)校到圖書(shū)館，從起點(diǎn)3000m處為學(xué)校出發(fā)去5000m處為圖書(shū)館，

.??小剛家與學(xué)校的距離為3000m,

小剛騎自行車(chē)勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m,

行駛的路程為5000-3000=2000m,

騎自行車(chē)的速度為2000+10=200m/min,

故答案為：3000,200；

(2)小剛從圖書(shū)館返回家的時(shí)間：5000-200=25(min).

總時(shí)間：25+20=45（min）.

設(shè)返回時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為、=入+),

‘20%+8=5000

把(20,5000),(45,0)代入得:<

45Z+人=0

k=-200

解得,

)=9000

.,.y=—200x+9000（20<x<45）.

（3）小剛出發(fā)35分鐘，即當(dāng)x=35時(shí)，

y=-200x35+9000=2000,

答：此時(shí)他離家2000m.

【點(diǎn)睛】本題考查從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車(chē)行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時(shí)解析式，用行駛的

具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問(wèn)題，掌握從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車(chē)行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時(shí)

解析式，用行駛的具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

26.如圖，A6C內(nèi)接于是;O的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NOCB=NQ4C.過(guò)圓心。作8C的平行

線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：CO是。的切線；

（2）若8=4,CE=6,求。的半徑及tanZOCB的值；

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）半徑為3,tanNOC8=2

【分析】（1）證明OC是10的半徑，即證明NOCD=90。，結(jié)合直徑所對(duì)圓周角是90°、等腰△OAC和已知

NQ4C=NOC4即可求解；

PC

（2）由（1）中結(jié)論和BC〃OE可知，tanZOCB=tanZEOC=—,再由CO、CE和平行線分線段成比例，

OC

即可找到以入OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用向△OCD三邊的勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，Q4=OC,

:.ZOAC^ZOCA,

NDCB=NOAC,

ZOCA=ZDCB,

QAB是。的直徑，

ZAC5=90°,

.,.NOC4+NOCB=90。，

:.ZDCB+NOCB=90°,即NOCD=90。，

.-.OC1DC,

又oc是。的半徑，

.?.co是oo的切線.

(2)-BC//OE,

BDCDBD42

----,即an---=-=一,

OBCEOB63

設(shè)BD=2x,則OB=OC—3x,OD-OB+BD-5x,

OCA.DC,

OC2+CD2=OD2

.?.(3x)2+42=(5x)2,解得％=1,

r.OC=3x=3.即。。的半徑為3,

BC//OE,

..ZOCB^ZEOC,

EC6

在RtOCE中，tanNEOC=----=—=2,

OC3

tanZ.OCB=tanZ.EOC=2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的證明、平行線分線段成比例、勾股定理和銳角三角函數(shù)，屬于中檔幾何綜合題，解題的

關(guān)鍵在于直徑所對(duì)圓周角是直角和方程思想.

27.問(wèn)題解決：如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊上，=OELAE于點(diǎn)G

圖2

（1）求證：四邊形A3CO是正方形；

（2）延長(zhǎng)C8到點(diǎn)，，使得3/7=AE,判斷A4所的形狀，并說(shuō)明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別在4氏8。邊上，與A尸相交于點(diǎn)G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求的長(zhǎng).

【答案】問(wèn)題解決：（1）見(jiàn)解析；（2）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；類比遷移：8

【分析】問(wèn)題解決：⑴證明矩形A8C。是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可.結(jié)合。E_LAE和ND4E=90°

可知ZBAF=NA￡）G,再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明一A3尸金-,即AB=AT>,即可求解；

（2）由（1）中結(jié)論可知AE=B/，再結(jié)合已知=即可證明f\ARH竺MCAF.,從而求得八4/7/等

腰三角形；

類比遷移：由前面問(wèn)題的結(jié)論想到延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使得B”=AE=6