四川省樂山市2024-2025學年高二數學上學期期末考試試題理含解析

PAGE22-四川省樂山市2024-2025學年高二數學上學期期末考試試題理（含解析）本試題卷分第一部分（選擇題）和其次部分（非選擇題）兩部分.第一部分1至2頁，其次部分3至4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷.草稿紙上答題無效.滿分150分，考試時間120分鐘.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共60分）留意事項1.選擇題必需用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上.2.第一部分共12小題，每小題5分，共60分.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據全稱命題的否定為特稱命題解答.【詳解】解：命題“，”為全稱命題故其否定為：，故選：【點睛】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關系，屬于基礎題．2.下列命題中正確的是（）A.若一個平面中有多數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行B.垂直于同一平面的兩個平面平行C.存在兩條異面直線同時平行于同一平面D.三點確定一個平面【答案】C【解析】【分析】依據空間中的平行與垂直關系，對題目中的命題進行分析、推斷正誤即可.【詳解】對于A，假如一個平面內有多數條直線有另一個平面平行，則這兩個平面也可能相交，故A錯誤；對于B，垂直于同一平面的兩平面平行或相交，故B錯誤；對于C，當兩條直線同時平行于同一平面時，這兩條直線可以平行、異面、相交，故存在兩條異面直線平行于同一個平面，故C正確；對于D，不共線的三點才能確定一個平面，故D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，考查邏輯思維實力和推理推斷實力，屬于基礎題．3.“且”是“表示圓的方程”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】依據圓的一般方程的形式，求得方程表示圓的條件，再依據充分條件、必要條件的判定方法，即可求解．【詳解】由方程表示圓時，滿意且，所以“且”是“表示圓的方程”的必要不充分條件．故選B．【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，以及圓的一般方程的綜合應用，屬于基礎題．4.已知平面內有一點，平面的一個法向量為，則下列點P中，在平面內的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可設出平面內內一點坐標，求出與平面平行的向量，利用數量積為0可得到，，的關系式，代入各選項的數據可得結果．【詳解】解：設平面內一點，則：，是平面的法向量，，，由得把各選項的坐標數據代入上式驗證可知適合．故選：．【點睛】本題考查空間向量點的坐標的概念，法向量的概念，向量數量積的概念．5.橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，假如的中點在軸上，那么是的（）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍【答案】A【解析】【分析】先求橢圓的焦點坐標，再依據點在橢圓上，線段的中點在軸上，求得點的坐標，進而計算，，即可求得結果.【詳解】∵橢圓左焦點是，右焦點是，∴為，為，設的坐標為，線段的中點為，因為段的中點在軸上，所以，∴，∴，任取一個為，∴，，∴，即是的7倍.故選：A.【點睛】本題重點考查橢圓的幾何性質，考查距離公式的運用，橢圓定義的應用，屬于中檔題.6.如圖，球內切于圓柱，記圓柱的側面積為，球的表面積為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設球的半徑為，可得圓柱的底面半徑為，高為，由此求出球的表面積與圓柱的側面積得答案.【詳解】設球的半徑為，可得圓柱的底面半徑為，高為，則球的表面積，圓柱的側面積，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了圓柱及其內切球的表面積的運算，屬于基礎題.7.已知是雙曲線：的左焦點，、為右支上的點，若的長等于虛軸長的2倍，且點在線段上，則的周長為（）A.22 B.28 C.38 D.44【答案】D【解析】【分析】依據題意畫出雙曲線圖象，然后依據雙曲線的定義到兩定點的距離之差為定值解決．求出周長即可.【詳解】∵雙曲線的左焦點，∴點是雙曲線的右焦點，則，即虛軸長為，雙曲線圖象如圖：∵

①，②，而，∴①+②得：，∴周長為，故選：D.【點睛】本題考查三角形周長的計算，依據雙曲線的定義將三角形的兩邊之差轉化為，通過對定義的考查求出周長是解決本題的關鍵，考查學生的轉化能實力.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.6 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由三視圖還原原幾何體，把原幾何體分割為一個長方體與一個三棱柱求，依據柱體的體積公式即可得結論.【詳解】由三視圖可得，該幾何體分為上下兩部分，上面是一個三棱柱，下面是一個長方體，依據柱體體積公式可得該幾何體的體積為：，故選：A.【點睛】本題考查幾何體的三視圖的有關學問，考查計算實力，能夠精確推斷幾何體的形態(tài)是解題的關鍵，屬于中檔題.9.若雙曲線的右支上一點到直線的距離為，則的值為（）A. B. C.或 D.2或【答案】B【解析】【分析】點在雙曲線上，則有，即，依據點到直線的距離公式能夠求出的值，由此能夠得到的值.【詳解】點在雙曲線上，則有，即．，∴，又點在右支上，則有，∴，∴，，故選：B．【點睛】本題主要考查雙曲線的性質和點到直線的距離，解題時要留意公式的敏捷運用，屬于中檔題.10.在中，，是的中點，平面，假如、與平面成的角分別是30°和60°，那么與平面所成的角為（）A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】B【解析】【分析】設，由已知求出，，，，從而得到，由此能求出與平面所成角的大小.【詳解】設，∵在中，，是的中點，平面，、與平面成的角分別是和，∴，，是與平面所成角，∴，，，，∴，∴，∴，∴與平面所成角的大小為，故選：B.【點睛】本題主要考查線面角的大小的求法，解題時要仔細審題，留意空間思維實力的培育，屬于中檔題.11.如圖，過拋物線（）的焦點的直線交拋物線于點、，交其準線于點，若，且，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設|，依據拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而依據，利用比例線段的性質可求得.【詳解】如圖分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設，則由已知得：，由定義得：，故，在直角三角形中，∵，，∴，∴，從而得，∵，∴，求得，故選：C.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程．考查了學生對拋物線的定義和基本學問的綜合把握，屬于中檔題.12.如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先以，，三直線為，，軸，建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為2，，，，從而可求出向量的坐標，由得到，對函數求導，依據導數符號即可推斷該函數為減函數，從而求出的最大值．【詳解】解：依據已知條件，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則：，，；在線段上，設，；；；設，；函數是一次函數，且為減函數，；在恒成立，；在上單調遞減；時，取到最大值．故選：．【點睛】考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，異面直線所成角的概念及其范圍，向量夾角的概念及其范圍，以及向量夾角余弦的坐標公式，函數導數符號和函數單調性的關系．其次部分（非選擇題共90分）留意事項：1.考生須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內作答，作圖題可先用鉛筆畫線，確認后用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清晰，答在試題卷上無效.2.本部分共10小題，共90分.二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.13.拋物線x2=﹣8y的準線方程為．【答案】y=2【解析】試題分析：由于拋物線x2=﹣2py的準線方程為y=，則拋物線x2=﹣8y的準線方程即可得到．解：由于拋物線x2=﹣2py的準線方程為y=，則有拋物線x2=﹣8y的準線方程為y=2．故答案為y=2．14.的兩個頂點為，頂點C在曲線上運動，則的重心G的軌跡方程為______________.【答案】【解析】【分析】可設重心坐標為，頂點的坐標為，，依據已知條件將、用，表示，再代入曲線的方程，求軌跡方程．【詳解】解：設點坐標為，，重心坐標為，依題意有，，解得，，因點，在上移動，，所以，整理得為所求重心軌跡方程．故答案為：【點睛】本題考查軌跡方程的求法，解題時要仔細審題，留意三角形重心性質的敏捷運用．15.如圖，在正三棱柱中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則直線與平面所成的角為______________.【答案】30°【解析】【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用與平面所的一個法向量的夾角，求出則與平面所成的角．【詳解】解：以為坐標原點，以與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，1，，，0，，，2，，，，，，2，，，0，．設平面所的一個法向量為，，則即，取，則得，0，，，，與平面所成的角的正弦值為，與平面所成的角為故答案為：（）．【點睛】本題考查線面角的計算，利用了空間向量的方法．要留意相關點和向量坐標的精確性，及轉化時角的相等或互余關系．16.如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，P是雙曲線右支上的一點，直線與y軸交于點A，的內切圓在邊上的切點為Q，若，則該雙曲線的離心率為______________.【答案】2【解析】【分析】由，的內切圓在邊上的切點為，依據切線長定理，可得，結合，即可得出結論．【詳解】解：由題意，，的內切圓在邊上的切點為，依據切線長定理可得，，，，，，，即，雙曲線的離心率是．故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查三角形內切圓的性質，考查切線長定理，考查學生的計算實力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟.17.如圖，正方體中，對角線和平面交于點，、交于點，求證：、、三點共線.【答案】證明見解析【解析】【分析】欲證、、三點共線，只須證它們都在平面與平面的交線上，依據立體幾何中的公理可知，只要說明、、三點是平面與平面的公共點即可.【詳解】連接，∵，∴，，則面，面，又∵面，∴，則面，面，即、、均在面內，又在面內則、、必定在面與面的公共交線上，即、、三點共線.【點睛】本題主要考查三點共線的證明，解題時要仔細審題，留意空間思維實力的培育，屬于基礎題.18.已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程.【答案】或.【解析】【詳解】試題分析：本題考查拋物線的標準方程以及拋物線與直線相交的弦長問題，考查基本的計算實力.先設出拋物線方程，由拋物線與直線相交列出方程組，消參得關于x的方程，得到兩根之和、兩根之積，將弦進步行轉化，把兩根之和、兩根之積代入，解方程求出參數P，從而得拋物線方程.試題解析：設拋物線的方程為，則得，則或6，或.考點：1.拋物線的標準方程；2.弦長公式；3.兩根之和、兩根之積.19.已知點，圓（1）若過點A只能作一條圓C的切線，求實數a的值及切線方程；（2）設直線l過點A但不過原點，且在兩坐標軸上的截距相等，若直線l被圓C截得的弦長為2，求實數a的值.【答案】（1），切線方程：或，切線方程：；（2）或【解析】【分析】（1）由切線條數可確定在圓上，代入圓的方程可求得；依據在圓上一點處的切線方程的結論可干脆寫得結果；（2）設直線方程，代入點坐標得到；利用點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，依據直線被圓截得的弦長可構造方程求得.【詳解】（1）過點只能作一條圓的切線在圓上，解得：當時，，則切線方程為：，即當時，，則切線方程為：，即（2）設直線方程為：直線方程：圓圓心到直線距離，解得：或【點睛】本題考查過圓上一點的切線方程的求解、依據直線被圓截得的弦長求解參數值的問題；關鍵是能夠嫻熟駕馭直線與圓問題的常用結論：1.過圓上一點的切線方程為：；2.直線被圓截得的弦長等于.20.如圖，已知四棱錐，底面是菱形，平面，，是邊的中點，是邊上的中點，連接、.（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過底面是菱形，，可以得到，由平面可得，由線面垂直判定可得平面，進而可得結果；（2）如圖，取的中點為，連接，，通過，來證明平面平面，進而可得結論.【詳解】（1）證明：∵是菱形，，∴為等邊三角形，∴，∴.又∵平面，平面，∴，由，∴平面，而平面，∴.（2）如圖，取的中點為，連接，，則分別，的中位線，∴，則，，由線面平行判定定理可得：，又∵，則平面平面，而平面，故平面.【點睛】本題主要考查了通過線面垂直得到線線垂直，通過構造面面平行來得到線面平行，屬于中檔題.21.已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點，且．（1）求橢圓的方程；（2）設點是橢圓上的一個動點，且直線與直線分別交于兩點．是否存在點使得以為直徑的圓經過點？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）點不存在.【解析】分析：（1）依據橢圓的幾何性質知，即，再由離心率得，從而可得，得橢圓方程；（2）假設點P存在，并設，寫出PA的方程，求出M點坐標，同理得N點坐標，求出MN的中點坐標，即圓心坐標，利用圓過點D得一關于的等式，把P點坐標代入橢圓方程后也剛才的等式聯立解得，留意的范圍，即可知存在不存在．詳解：（1）由已知，得知，又因為離心率為，所以.

因為，所以,

所以橢圓的標準方程為.（2）假設存在.設由已知可得，所以的直線方程為，

的直線方程為，令，分別可得，，

所以，

線段

的中點，

若以為直徑的圓經過點D（2,0），則,

因為點在橢圓上，所以，代入化簡得，所以，而，沖突，所以這樣的點不存在.點睛：解析幾何中存在性命題常采納“確定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設